第四章　习题课　指数函数及其性质的应用-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.1　指数与指数函数
习题课　指数函数及其性质的应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图像大致是(　　)
2.函数f(x)=的单调递增区间为(　　)
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,1)
D.(1,+∞)
3.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是(　　)
A.2
B.
C.3
D.
4.设函数f(x)=,则函数f的定义域为
(　　)
A.(-∞,4]
B.-∞,
C.(0,4]
D.0,
5.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f=2,则不等式f(2x)>2的解集为　　　　.?
6.已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上的最大值为10,则a=　　　　.?
7.设函数f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.
(1)当a=2时,解不等式f(x)>30;
(2)当x∈(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.
能力提升练
1.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-3,1)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-∞,-3)
D.(1,+∞)
2.(多选题)已知函数f(x)=2-x-2x有下述四个结论,其中正确的结论是(　　)
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(-∞,+∞)上单调调递增
D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解
3.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)=　　　　;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为　　　　　.?
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　　.?
素养培优练
　已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.
第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.1　指数与指数函数
习题课　指数函数及其性质的应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图像大致是(　　)
解析函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),由于指数函数是单调函数,则有a>1.由底数大于1知指数函数的图像上升,且在x轴上面,可知B正确.
答案B
2.函数f(x)=的单调递增区间为(　　)
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,1)
D.(1,+∞)
解析令u(x)=x2-1,∵f(x)=,0<<1,
∴f(x)的单调递增区间为u(x)=x2-1的单调递减区间,即(-∞,0).
答案A
3.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是(　　)
A.2
B.
C.3
D.
解析当a>1时,指数函数y=ax单调递增,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=a,最小值ymin=.所以a+=5,求得a=2或a=(舍);
当0综上所述,a=2或a=.
答案AB
4.设函数f(x)=,则函数f的定义域为
(　　)
A.(-∞,4]
B.-∞,
C.(0,4]
D.0,
解析因为f(x)=,所以f=,因为4-≥0,即≤4,所以≤1,x≤4,所以f的定义域为(-∞,4].
答案A
5.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f=2,则不等式f(2x)>2的解集为　　　　.?
解析∵f(x)是偶函数,且f=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.由f(2x)>2,得2x>,即2x>2-1,∴x>-1,即不等式f(2x)>2的解集是(-1,+∞).
答案(-1,+∞)
6.已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上的最大值为10,则a=　　　　.?
解析若a>1,则函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上单调递增,当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10,即a2=7,
又a>1,所以a=.
若0当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,所以a=.
综上所述,a的值为.
答案
7.设函数f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.
(1)当a=2时,解不等式f(x)>30;
(2)当x∈(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.
解设2x=t(t>0),则y=t2-2a·t-a,
(1)当a=2时,f(x)>30?y=t2-4t-32>0,
∴t<-4或t>8.
∵t>0,∴t>8,∴2x>8,∴x>3,
∴不等式的解集为{x|x>3}.
(2)当x∈(-1,1)时,必有函数图像的对称轴t0=2a-1∈,即0故函数的最小值为m==-2,
∴a+22a-2=2,由于关于a的函数y=a+22a-2单调递增,故最多有一个实根,而当a=1时,a+22a-2=2,
∴a的值为1.
能力提升练
1.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-3,1)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-∞,-3)
D.(1,+∞)
解析当a<0时,-7<1?<8?2-a<23?-a<3?a>-3,∴-3答案A
2.(多选题)已知函数f(x)=2-x-2x有下述四个结论,其中正确的结论是(　　)
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(-∞,+∞)上单调调递增
D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解
解析f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;f(x)=-2x在R上是减函数,C错误;由于x→-∞时,f(x)→+∞;x→+∞时,f(x)→-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),它又是R上的减函数,因此对任意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.
答案ABD
3.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)=　　　　;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为　　　　　.?
解析设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=2-x-4.
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.
于是f(x-2)>0可化为解得x>4或x<0.
答案2-x-4　{x|x<0或x>4}
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　　.?
解析由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,|a-1|<,解得答案
素养培优练
　已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.
解(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数,
∴f(0)=0,∴n=1.
又由f(-1)=-f(1),得m=2.
检验知,当m=2,n=1时,原函数是奇函数.
(2)由(1)知f(x)==-,任取x1,x2∈R,设x1则f(x2)-f(x1)=.
∵函数y=2x在R上是增函数,且x1∴<0.
又(+1)(+1)>0,
∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)∴函数f(x)在R上是减函数.
∵f(x)是奇函数,∴不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x).
又f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x,即对一切x∈有k<恒成立.
设g(x)=-2·,令t=,t∈,则有h(t)=t2-2t,t∈,
∴g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,∴k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1).