章末综合测评1　集合与常用逻辑用语-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册检测（Word含答案解析）

章末综合测评(一)　集合与常用逻辑用语
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是(　　)
A．0∈　
B．∈Q
C．?
D．A∪＝
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(?RB)＝(　　)
A．{x|x>1}
B．{x|x≥－1}
C．{x|1D．{x|1≤x≤2}
3．满足{1}?X{1，2，3，4}的集合X有(　　)
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
4．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是(　　)
A．对任意x∈R，都有x2＜1
B．不存在x∈R，使得x2＜1
C．存在x∈R，使得x2≥1
D.存在x∈R，使得x2＜1
5．命题“?x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A．?x∈R，x3－x2＋1<0
B．?x∈R，x3－x2＋1≥0
C．?x∈R，x3－x2＋1>0
D．?x∈R，x3－x2＋1≤0
6.
“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的
(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
7．下列命题中，真命题是(　　)
A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1
B．?x∈R，2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．?x∈R，x2＋2≤0
8．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A?B成立的所有a组成的集合为(　　)
A．{a|2≤a≤7}
B．{a|6≤a≤7}
C．{a|a≤7}
D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．a2＞b2的一个充分条件是(　　)
A．a＞b
B．a＜b
C．a＞|b|
D．a＝2，b＝1
10．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0
(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A．a<0
B．a＜－2
C．a<－1
D．a＜1
11．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A??RB，那么m的值可以是(　　)
A．0　　　　B．1
C．2　　　　D．3
12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是(　　)
A．数域必含有0，1两个数；
B．整数集是数域；
C．若有理数集Q?M，则数集M必为数域；
D．数域必为无限集．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(?UB)＝________．
14．命题“?x∈[1，2]，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
15．已知集合P＝{x|－2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，当k＝4时，P∩Q＝________；当P∩Q＝时，k的取值范围是________．(本题第一空2分，第二空3分)
16．已知集合M＝{1，2，3，4}，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以(－1)k再求和，则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5＞0.
18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－219．(本小题满分12分)已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a∈R且a≠0.
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A?B，求实数m的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠.
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝，求a的取值范围．
22．(本小题满分12分)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.
章末综合测评(一)　集合与常用逻辑用语
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是(　　)
A．0∈　
B．∈Q
C．?
D．A∪＝
C　[空集中不含任何元素，A错误．是无理数，B错误．A∪＝A，D错误，应选C.]
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(?RB)＝(　　)
A．{x|x>1}
B．{x|x≥－1}
C．{x|1D．{x|1≤x≤2}
B　[由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知?RB＝{x|x≥1}，∴A∪(?RB)＝{x|x≥－1}．故选B.]
3．满足{1}?X{1，2，3，4}的集合X有(　　)
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
D　[集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，共7个．故选D.]
4．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是(　　)
A．对任意x∈R，都有x2＜1
B．不存在x∈R，使得x2＜1
C．存在x∈R，使得x2≥1
D.存在x∈R，使得x2＜1
D　[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1.故选D.]
5．命题“?x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A．?x∈R，x3－x2＋1<0
B．?x∈R，x3－x2＋1≥0
C．?x∈R，x3－x2＋1>0
D．?x∈R，x3－x2＋1≤0
C　[由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“?x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.]
6.
“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的
(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
B　[当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．]
7．下列命题中，真命题是(　　)
A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1
B．?x∈R，2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．?x∈R，x2＋2≤0
A　[当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C错误；?x∈R，x2＋2＞0，故?x∈R，x2＋2≤0错误，故选A.]
8．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A?B成立的所有a组成的集合为(　　)
A．{a|2≤a≤7}
B．{a|6≤a≤7}
C．{a|a≤7}
D．
C　[当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝?B；
当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠，
要使A?B，需有解得2≤a≤7.
综上可知，a≤7.故选C.]
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．a2＞b2的一个充分条件是(　　)
A．a＞b
B．a＜b
C．a＞|b|
D．a＝2，b＝1
CD　[A中，当a＝0，b＝－2时，a2＝0，b2＝4，不能推出a2＞b2；B中，当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，a＞|b|两边平方得a2＞b2，能推出a2＞b2；D中，a2＝4，b2＝1，能推出a2＞b2，故选C、D.]
10．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0
(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A．a<0
B．a＜－2
C．a<－1
D．a＜1
BC　[方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知＜0，即a＜0，故a＜0是一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件，其充分不必要条件应为(－∞，0)的真子集，故选B、C.]
11．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A??RB，那么m的值可以是(　　)
A．0　　　　B．1
C．2　　　　D．3
AB　[根据补集的概念，?RB＝{x|x≥2m}．
又∵A??RB，∴2m≤2.
解得m≤1，故m的值可以是0，1.故选A、B.]
12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是(　　)
A．数域必含有0，1两个数；
B．整数集是数域；
C．若有理数集Q?M，则数集M必为数域；
D．数域必为无限集．
AD　[数集P有两个元素m，n，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{}，则1∈M，∈M，但1＋M，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(?UB)＝________．
{x|x≤1}　[∵B＝{x|x＞1}，∴?UB＝{x|x≤1}，则A∪(?UB)＝{x|x≤1}．]
14．命题“?x∈[1，2]，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
{a|a≤1}　[命题p：a≤x2在[1，2]上恒成立，y＝x2在[1，2]上的最小值为1，∴a≤1.]
15．已知集合P＝{x|－2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，当k＝4时，P∩Q＝________；当P∩Q＝时，k的取值范围是________．(本题第一空2分，第二空3分)
{5}　k＜2或k＞4　[当k＝4时，Q＝{x|5≤x≤7}，∴P∩Q＝{5}；当P∩Q＝时，若Q＝时，k＋1>2k－1，∴k<2，P∩Q＝成立；
若Q≠，∴k＋1≤2k－1，即k≥2.
由题意知或∴k>4.
综上所述，k的取值范围是{k|k<2或k>4}．]
16．已知集合M＝{1，2，3，4}，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以(－1)k再求和，则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是________．
16　[因为M＝{1，2，3，4}，对它的非空子集A共有15个，分别是{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，其中数字1，2，3，4都出现了8次.
依题意得：8×[1×(－1)1＋2×(－1)2＋3×(－1)3＋4×(－1)4]＝16.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5＞0.
[解]　(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意”的否定为“存在一个”，
因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，
即“?x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．
(2)由于“?x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；
又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“?x∈R，x2＋2x＋5≤0”．
18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2[解]　
结合数轴，由图可知?RA＝{x|x≤－2或x≥3}，
又∵A∩B＝{x|－2∴?R(A∩B)＝?RA＝{x|x≤－2或x≥3}，
∴(?RA)∩B＝{x|－319．(本小题满分12分)已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a∈R且a≠0.
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解]　(1)设p：A＝{x|x－2＞0}，即p：A＝{x|x＞2}，
q：B＝{x|ax－4＞0}，
因为p是q的充分不必要条件，则AB，
则有解得a＞2.
所以实数a的取值范围为a＞2.
(2)由(1)及题意得BA，
①当a＞0时，由BA得＞2，即0＜a＜2；
②当a＜0时，显然不满足题意．
综上可得，实数a的范围为0＜a＜2.
20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A?B，求实数m的取值范围．
[解]　(1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|－2＜x＜3}．
(2)由A?B，知解得m≤－2，
即实数m的取值范围为{m|m≤－2}．
21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠.
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝，求a的取值范围．
[解]　(1)∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A?B.
∴
解得a的取值范围为≤a≤2.
(2)∵B＝{x|a＜x＜3a}且B≠，∴a＞0.
若A∩B＝，∴a≥4或3a≤2，
∴a的取值范围为0＜a≤或a≥4.
22．(本小题满分12分)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.
[证明]　法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得＞，
即＜.
必要性：由＜，得－＜0，即＜0.
因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.
所以＜的充要条件是xy＞0.
法二：＜?－＜0?＜0.
由条件x＞y?y－x＜0，故由<0?xy＞0.
所以＜?xy＞0，
即＜的充要条件是xy＞0.