2020-2021学年安徽省合肥市九年级（上）第四次月考数学试卷（word版含解析）

2020-2021学年安徽省合肥市九年级（上）第四次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．（4分）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长是（　　）
A．4
B．6
C．8
D．5
3．（4分）已知⊙O半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝6时，点A与⊙O的位置关系为（　　）
A．点在圆内
B．点在圆上
C．点在圆外
D．不能确定
4．（4分）下列说法中，不正确的是（　　）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
5．（4分）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
6．（4分）如图，点A、B、C在半径为6的⊙O上，劣弧的长为2π，则∠ACB的大小是（　　）
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
7．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．50°
B．65°
C．75°
D．130°
8．（4分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠ACB＝100°，则∠AOB的度数是（　　）
A．140°
B．80°
C．40°
D．70°
9．（4分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）
A．3α+β＝180°
B．2α+β＝180°
C．3α﹣β＝90°
D．2α﹣β＝90°
10．（4分）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
二、填空题
11．（3分）用反证法证明命题“在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC．”第一步应假设　
　．
12．（3分）已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的侧面积为　
　cm2．
13．（3分）已知⊙O的半径为1，弦AB＝AC＝1，求∠BAC的度数
　
　．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　
　．
三、解答题
15．如图，＝，求证：AB＝AC．
16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△AB2C2，画出△AB2C2，并求出AC扫过的面积．
17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
18．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．
（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．
19．如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的周长．
20．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，DE⊥AB，垂足为E，连接AC、AD、BD，弦AC、BD交于点F．
（1）求证：△ADF∽△BDA；
（2）求证：AE?AB＝DF?DB；
（3）若F为BD的中点，求sinB．
23．如图1，两块直角三角纸板（Rt△ABC和Rt△BDE）按如图所示的方式摆放（重合点为B），其中∠BDE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD＝DE＝AC＝2．将△BDE绕着点B顺时针旋转．
（1）当点D在BC上时，求CD的长；
（2）当△BDE旋转到A，D，E三点共线时，画出相应的草图并求△CDE的面积
（3）如图2，连接CD，点G是CD的中点，连接AG，求AG的最大值和最小值．
2020-2021学年安徽省合肥市九年级（上）第四次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．（4分）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形（不考虑颜色），不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长是（　　）
A．4
B．6
C．8
D．5
【分析】先根据垂径定理得出AB＝2AC，再根据勾股定理求出AD的长，进而得出AB的长．
【解答】解：连接OA，如图所示，
∵OC⊥AB，OC＝3，OA＝5，
∴AB＝2AC，
∵AC＝＝＝4，
∴AB＝2AC＝8．
故选：C．
3．（4分）已知⊙O半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝6时，点A与⊙O的位置关系为（　　）
A．点在圆内
B．点在圆上
C．点在圆外
D．不能确定
【分析】OP＝6，A为线段PO的中点，则OA＝3，因而点A与⊙O的位置关系为：点在圆上．
【解答】解：∵OA＝＝3，
∴OA＝⊙O半径，
∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆上．
故选：B．
4．（4分）下列说法中，不正确的是（　　）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、长度相等的弧是等弧，说法错误；
故选：D．
5．（4分）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
【分析】根据三角函数即可求解．
【解答】解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R．
四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，
正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R．
∵RRR，
∴a＜b＜c，
故选：A．
6．（4分）如图，点A、B、C在半径为6的⊙O上，劣弧的长为2π，则∠ACB的大小是（　　）
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
【分析】连接OA、OB．先由劣弧的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB＝60°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到∠ACB＝∠AOB＝30°．
【解答】解：连接OA、OB．设∠AOB＝n°．
∵劣弧的长为2π，
∴＝2π，
∴n＝60，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°．
故选：B．
7．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．50°
B．65°
C．75°
D．130°
【分析】首先证明∠DAC＝∠CAB＝25°，再证明∠ACB＝90°，利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠DAB＝50°，
∴∠CAB＝×50°＝25°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
8．（4分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠ACB＝100°，则∠AOB的度数是（　　）
A．140°
B．80°
C．40°
D．70°
【分析】利用三角形内切的性质，得到角平分线，再通过三角形的内角和定理可以求得．
【解答】解：
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
而∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3），∠ACB＝180°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝100°
∴∠1+∠3＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣40°＝140°．
故选：A．
9．（4分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）
A．3α+β＝180°
B．2α+β＝180°
C．3α﹣β＝90°
D．2α﹣β＝90°
【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
10．（4分）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
【分析】根据直径是圆中最长的弦，可知当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，由圆周角定理得出∠BAP＝90°，再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出AP＝CP，则△APC是等腰三角形，判断A正确；
当△APC是等腰三角形时，分三种情况：①PA＝PC；②AP＝AC；③CP＝CA；确定点P的位置后，根据等边三角形的性质即可得出PO⊥AC，判断B正确；
当PO⊥AC时，由垂径定理得出PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．如果点P在图1中的位置，∠ACP＝30°；如果点P在B点的位置，∠ACP＝60°；判断C错误；
当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置．如果点P在P1的位置，易求∠BCP1＝90°，△BP1C是直角三角形；如果点P在P2的位置，易求∠CBP2＝90°，△BP2C是直角三角形；判断D正确．
【解答】解：A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，
∴AP＝CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA＝PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；
②如果AP＝AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
③如果CP＝CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确，不符合题意；
C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．
如果点P在图1中的位置，∠ACP＝30°；
如果点P在B点的位置，∠ACP＝60°；
故本选项错误，符合题意；
D、当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3．
如果点P在P1的位置，∠BCP1＝∠BCA+∠ACP1＝60°+30°＝90°，△BP1C是直角三角形；
如果点P在P2的位置，∵∠ACP2＝30°，
∴∠ABP2＝∠ACP2＝30°，
∴∠CBP2＝∠ABC+∠ABP2＝60°+30°＝90°，△BP2C是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题
11．（3分）用反证法证明命题“在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC．”第一步应假设　AB＝AC　．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在△ABC中，∠B≠∠C，那么AB≠AC”的过程中，
第一步应是假设AB＝AC．
故答案为：AB＝AC．
12．（3分）已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的侧面积为　8π　cm2．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算该圆锥的侧面积．
【解答】解：根据题意，该圆锥的侧面积＝＝8π（cm2）．
故答案为8π．
13．（3分）已知⊙O的半径为1，弦AB＝AC＝1，求∠BAC的度数
　15°或105°　．
【分析】作直径AD，连接BD、OC，利用圆周角定理得到∠ABD＝90°，再判断△ABD为等腰直角三角形得到∠BAD＝45°，接着判断△AOC为等边三角形得到∠CAO＝60°，讨论：当C点与B点在直径AD的同旁，如图1，∠BAC＝∠CAO﹣∠BAD；当C点与B点在直径AD的两旁，如图2，∠BAC＝∠CAO+∠BAD．
【解答】解：作直径AD，连接BD、OC，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝2，AB＝，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝45°，
∵OA＝OC＝AC＝1，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠CAO＝60°，
当C点与B点在直径AD的同旁，如图1，∠BAC＝∠CAO﹣∠BAD＝60°﹣45°＝15°；
当C点与B点在直径AD的两旁，如图2，∠BAC＝∠CAO+∠BAD＝60°+45°＝105°，
综上所述，∠BAC的度数为15°或105°．
故答案为15°或105°．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　3或4　．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝＝4．
综上所述，BP的长为3或4．
三、解答题
15．如图，＝，求证：AB＝AC．
【分析】先由＝得到＝，则根据圆心角、弧、弦的关系得到∠C＝∠B，然后利用等腰三角形的判定即可得到AB＝AC．
【解答】证明：∵＝，
∴+＝+，
即＝，
∴∠C＝∠B，
∴AB＝AC．
16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△AB2C2，画出△AB2C2，并求出AC扫过的面积．
【分析】（1）根据关于原点对称点的性质得出A，B，C对应点，进而得出答案；
（2）根据图形旋转的性质画出△AB2C2，利用扇形的面积公式得出AC扫过的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求．
AC扫过的面积＝＝．
17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
18．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．
（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．
【分析】（1）根据四点共圆进行画图即可；
（2）根据90°的圆周角所对的弦是直径进行画图即可．
【解答】解：（1）如图1，∠P即为所求：
（2）如图2，∠CBQ即为所求．
19．如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的周长．
【分析】（1）直线与圆的位置关系无非是相切或不相切，可连接OD，证OD是否与CD垂直即可．
（2）阴影部分的周长可由CD+BC+扇形OBD的弧长求得；扇形的半径和圆心角已求得，那么关键是求出平行四边形CD的长，可通过证四边形ABCD是平行四边形，得出CD＝AB，由此可求出CD的长，即可得解．
【解答】解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OD，∠DAB＝45°，
∴∠ODA＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD，
又∵点D在⊙O上，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）∵⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，
∴AB＝2，
∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
由（1）知：△AOD是等腰直角三角形，
∵OA＝OD＝1，
∴BC＝AD＝，
∴图中阴影部分的周长＝CD+BC+＝2++．
20．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．
【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出＝，进而得出＝，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．
【解答】证明：连接AC，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴∠C＝∠A，
∴PA＝PC．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
【分析】（1）连接OE，由OB＝OE知∠OBE＝∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE＝∠CBE，据此得∠OEB＝∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；
（2）证△BDE∽△BEC得＝，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得＝，据此可得AD的长．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵ED⊥EB，
∴∠DEB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C＝90°，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵ED⊥BE，
∴∠BED＝∠C＝90°，
又∵∠DBE＝∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴＝，即＝，
∴BC＝；
∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝．
22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，DE⊥AB，垂足为E，连接AC、AD、BD，弦AC、BD交于点F．
（1）求证：△ADF∽△BDA；
（2）求证：AE?AB＝DF?DB；
（3）若F为BD的中点，求sinB．
【分析】（1）D为的中点，＝，证明∠ABD＝∠DAC，结合∠ADF＝∠BDA，易得结论；
（2）由AB为直径，DE⊥AB，可得∠ADB＝90°＝∠AED，证明△ADE∽△ABD，可得AD2＝AB?AE，由△ADF∽△BDA，可得AD2＝BD?DF，从而得到答案；
（3）由F为BD的中点，设DF＝BF＝α，可得BD＝2α，由AD2＝AB?AE，解得AD＝α，AB＝＝α，从而得到答案．
【解答】解：（1）证明：∵D为的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠DAC，
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△ADF∽△BDA．
（2）证明：∵AB为⊙O直径，DE⊥AB，
∴∠ADB＝90°＝∠AED，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴AD2＝AB?AE，
∵△ADF∽△BDA，
∴，
∴AD2＝BD?DF，
∴AE?AB＝DF?DB．
（3）∵F为BD的中点，
∴设DF＝BF＝α，
∴BD＝2α，
∵AD2＝BD?DF，
∴AD2＝2α?α＝2α2，
∴AD＝α，（负根舍去），
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝＝α，
∴sinB＝＝．
23．如图1，两块直角三角纸板（Rt△ABC和Rt△BDE）按如图所示的方式摆放（重合点为B），其中∠BDE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD＝DE＝AC＝2．将△BDE绕着点B顺时针旋转．
（1）当点D在BC上时，求CD的长；
（2）当△BDE旋转到A，D，E三点共线时，画出相应的草图并求△CDE的面积
（3）如图2，连接CD，点G是CD的中点，连接AG，求AG的最大值和最小值．
【分析】（1）如图1中，根据CD＝BC﹣BD，只要求出BC即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解，由三角形的面积公式可解决问题；
（3）如图4中，取BC的中点H，连接GH．由CG＝GD，CH＝HB，推出HG＝BD＝1，可得点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆，根据点与圆的位置关系即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝AC÷tan30°＝2，
∵BD＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣2．
（2）如图2中，当A、D、E共线时，易证四边形ACBD是矩形，
∴S△CDE＝×DE×CA＝×2×2＝2．
如图3中，当A、E、D共线时，作CH⊥AD于H．
在Rt△ADB中，∵AB＝2BD，
∴∠BAD＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠CAH＝30°，
∴CH＝AC＝1，
∴S△CDE＝×DE×CH＝×2×1＝1．
（3）如图4中，取BC的中点H，连接GH．
∵CG＝GD，CH＝HB，
∴HG＝BD＝1，
∴点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆，
在Rt△ACH中，AH＝＝＝，
∴AG的最小值＝AH﹣GH＝﹣1，
AG的最大值＝AH+GH＝+1．