7.4 平行线的性质 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
北师大版
八年级上
第七章
平行线的证明
7.4
平行线的性质
学习目标
1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点）
2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．（难点）
　判定方法1
同位角相等，两直线平行.
判定方法2
内错角相等，两直线平行.
判定方法3
同旁内角互补，两直线平行.
结论
　平行线的判定
条件
知识回顾
两条平行线
被第三条直
线所截
条件
结论
同位角？
内错角？
同旁内角？
新课导入
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
合作探究
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
文字语言
符号语言
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
问题3：你能说说证明的思路吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
G
H
1
2
证明：假设∠1
≠
∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=
∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH
∥
CD.
又因为AB
∥
CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1
≠
∠2的假设不成立，所以∠1
=∠2.
如果∠1
≠
∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
一般地，平行线具有如下性质：
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
∴∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
∵a∥b（已知）,
应用格式:
知识讲解
利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
尝试来证明一下
定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等.
1
2
b
c
3
a
已知：直线a∥b，∠1和∠2是
直线a，b被直线c截出的内错角.
求证：
∠1=∠2.
证明：∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)
∵∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1=∠2(等量代换)
.
定理3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
1
2
b
c
3
a
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直
线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证：
∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b
(已知),
∴∠2＝∠3
(两条直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠3
=180°
(平角等于180°),
∴∠1+∠2=180
°
(等量代换)
.
证明：∵a∥b，∴∠1=∠2，
同理∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥c.
定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，直线a,b,c被直线d所截，且a∥b,c∥b.
求证：a∥c.
平行线的性质
公理:
两直线平行,同位角相等.
∵
a∥b,
∴∠1=∠2.
性质定理1:
两直线平行,内错角相等.
∵
a∥b,
∴∠1=∠2.
性质定理2:
两直线平行,同旁内角互补.
∵
a∥b,
∴
∠1+∠2=1800
.
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
这里的结论,以后可以直接运用.
归纳总结
证明一个命题的一般步骤：
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知,求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
解：∠A=
∠C,
∠B=∠D.
理由：∵AB∥CD
（已知
）,
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
A
D
C
B
例1
如图所示，已知四边形ABCD
中，
AB∥CD，
AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D
的大小关系如何？
又
∵
AD∥BC
（已知）,
∴∠C+∠D=180°（
两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠
B=∠D（
同角的补角相等
）,
同理
∠A=∠C.
例题讲解
证法一：
∵AB∥DC（已知）,
∴∠B+∠C=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠B=∠D（已知）,
∴∠D+∠C=180°（等量代换）,
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
A
D
C
B
例2
已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
A
D
C
B
例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
证法二：
如图，延长BA
（构造一组同位角）.
∵AB∥CD（已知）,
∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）.
∵∠B=∠D（已知）,
∴∠1=∠B（等量代换）,
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）.
1
A
D
C
B
例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
证法三：
如图，连接BD.
（构造一组内错角）
∵AB∥CD（已知）,
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）.
∵∠B=∠D（已知）,
∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）,
∴∠2=∠3,
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.
1
2
3
4
1.
如图，b∥a,c∥a,∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角。
求证：b∥c
a
b
d
c
2
3
1
随堂训练
证明：∵b∥a（已知）,
∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵c∥a（已知）,
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠3（等量代换）.
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.
a
b
d
c
2
3
1
2.如图，已知DE∥BC,CD平分∠ACB,∠AED=80°,
求∠DCB的度数.
A
E
D
C
B
A
E
D
C
B
证明：∵
DE∥BC（已知）,
∴
∠ACB=∠AED（两直线平行，同位角相等）.
又∵
∠AED=80°（已知）,
∴
∠ACB=80°（等量代换）.
又∵
CD平分∠ACB（已知）,
∴∠ACD=∠DCB（角平分线定理）.
∴2∠DCB=∠ACB=80°,∴∠DCB=40°.
平行线的判定
判定公理：同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
判定定理
课堂小结
1.如图，直线a
∥b,直线c与a,b相交，
∠1＝65°，则∠2＝（
）.
A.
115°
B.
65°
C.
35°
D.
25°
a
b
2
1
c
3
B
当堂检测
2.如图，AB∥CD，∠CDE=∠140°，则∠A的度数为（
）.
A.
140°
B.
60°
C.
50°
D.
40°
A
D
C
B
E
140°
D
证明：∵
AD∥BC（已知）,
∴
∠DBC=∠D（两直线平行，内错角相等）.
又∵
∠ABD=∠D（已知）,
∴
∠DBC=
∠ABD（等量代换）,
∴
BD平分∠ABC.
3.已知：如图，AD∥BC，∠ABD=∠D.
求证：BD平分∠ABC.
A
B
C
D
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