7.5.2 三角形内角和定理 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
北师大版
八年级上
第七章
平行线的证明
7.5
三角形内角和定理
第2课时
学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义．（重点）
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算．（难点）
三角形内角和定理
在△ABC中，∠A
+∠B
+∠C
=180°.
A
B
C
D
E
∠ACD
是△ABC
的外角
知识回顾
外角的定义：△ABC
内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC
的外角。
∠1是△ABC
的外角。
D
A
B
C
1
4
知识讲解
1.三角形的外角
探究1：
画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？
有6个，它们是∠1，∠2，
∠3，
∠4，
∠5，
∠6.
探究2：
△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系）
∠1和∠4是对顶角，相等；
∠2和
∠5是对顶角，相等；
∠3和∠6是对顶角，相等.
★三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角，
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
★
三角形的外角的性质
问题1
：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题2：
如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？
∠A+∠B=∠BCD
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
D
证明：过C作CE∥AB，
A
B
C
1
2
∴∠1=
∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2=
∠A
，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD=
∠1+
∠2=
∠A+
∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
★三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
▼应用格式：
∵
∠ACD是△ABC的一个外角
∴
∠ACD=
∠A+
∠B.
拓
展
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
如图
1
，试比较∠2
、∠1的大小.
如图
2
，试比较∠3
、∠2、
∠1的大小.
图1
A
B
C
1
2
图2
A
B
C
1
2
E
3
D
三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
例1
一个零件的形状如图所示，按规定∠
应等于，∠，∠
应分别是，检验工人量得∠，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
解：如图
所示，延长
因为∠
是△
的一个外角，
所以∠
＝∠
∠.
又因为∠
是△
的一个外角，
所以∠
＝∠
∠.
所以∠
＝∠
∠
∠.
所以可以断定这个零件不合格.
例2
如图，△中，延长线上一点，
延长线上一点，上一点，连接.
求证：
∠
∠.
证明：∵
∠
是△
的一个外角，
∴
∠∠.
∵
∠
是△
的一个外角，
∴
∠∠，
∴
∠∠.
★
三角形的外角和
例3
如图，
∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=
∠2+
∠3，
∠CBF=
∠1+
∠3,
∠ACD=
∠1+
∠2.
又知∠1+
∠2+
∠3=180
°，
所以∠BAE+
∠CBF+
∠ACD=2(∠1+
∠2+
∠3)=360
°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
解法2：如图，∠BAE+∠1=180
°，
①
∠CBF
+∠2=180
°
，②
∠ACD
+∠3=180
°
.③
又知∠1+
∠2+
∠3=180
°，
①+
②+
③得
∠BAE+
∠CBF+
∠ACD+
(∠1+
∠2+
∠3)=540
°，
所以∠BAE+
∠CBF+
∠ACD=540
°-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
结论：三角形的外角和等于360°.
解法3
：如图所示，过点
作射线，使∥.
∵
∥，
∴
∠
＝∠，∠
＝∠.
∴
∠∠∠
＝∠∠∠.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
2
3
P
1
(
(
1.如图，在△ABC
中,∠B＝40°,∠ACD＝120°,
则∠A的度数是
40°
120°
80°
？
随堂训练
2.在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，
BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是
50°
？
70°
85°
3.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是
∠A
<
∠1
<
∠2
D
E
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360
°
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
课堂小结
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和。（
）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍。（
）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（
）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（
）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（
）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（
）
当堂检测
2.如图，AB//CD，∠A＝37°,
∠C＝63°，那么∠F
等于
（
）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
3.（1）如图，∠BDC是________
的外角,也是
的外角；
(2)若∠B=45
°，
∠BAE=36
°,
∠BCE=20
°,试求∠AEC的度数.
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC=
∠B+
∠BCE,
∠AEC=
∠ADC+
∠BAE.
所以∠AEC=
∠B+∠BCE+
∠BAE=45
°+20
°+36
°=101
°.
解：因为∠ADC是△ABD的外角，
4
.如图，D是△ABC的BC边上一点,
∠B=∠BAD,
∠ADC=80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B
的度数；（2）∠C的度数.
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
所以∠C=180?-40?-70?=70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
A
B
C
D
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+
∠E.
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180?,
∴∠A+
∠
B+∠C+
∠
D+∠E=
180?.
5.如图，求∠A+
∠B+
∠C+
∠D+
∠E的度数.
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.
360°
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