人教A版
必修1
第三章
章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数f(x)＝ln
x－
的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(e,3)
D．(e，＋∞)
2．当x∈(2,4)时，下列关系正确的是( )
A．x2<2x
B．log2x
C．log2x<
D．2x3.
设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足aA．2
B．奇数
C．偶数
D．至少2个
5．下列函数：①y＝lg
x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有2个零点的函数是( )
A．①②
B．③④
C．②③
D．④
6．某企业2020年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2020年度产值的月平均增长率为( )
A.
B.－1
C.
D.
7．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%(a≠b)的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为( )
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
8．下列函数中在某个区间(x0，＋∞)内随x增大而增大速度最快的是( )
A．y＝2020ln
x
B．y＝x2020
C．y＝
D．y＝2020·2x
9．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
单位(元/kg)
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
供给量(1000
kg)
50
60
70
75
80
90
表2 市场需求表
单位(元/kg)
4
3.4
2.9
2.6
2.3
2
需求量(1000
kg)
50
60
65
70
75
80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( )
A．(2.3,2.4)
B．(2.4,2.6)
C．(2.6,2.8)
D．(2.8,2.9)
10.有浓度为90%的溶液100
g，从中倒出10
g后再倒入10
g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg
2＝0.301
0，lg
3＝0.477
1)( )
A．19
B．20
C．21
D．22
11．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421
875，0.6253＝0.244
14)( )
A．0.25
B．0.375
C．0.635
D．0.825
12.
甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．
14.
若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．
15．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
16．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1
130
2
005
3
130
4
505
y2
5
94.478
1
785.2
33
733
6.73×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310
7
1.429
5
1.140
7
1.046
1
1.015
1
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．
18．(12分)截至2020年底，已知某市人口数为80万，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，此市人口数为y(万)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？
19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
20．(12分)某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．
(1)请写出相同时间内产品的总利润y与档次x之间的函数关系式，并写出x的定义域．
(2)在同样的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润．
21.(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图象．
(1)写出服药后y关于t的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？
(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克？(精确到0.1微克)
22.(12分)诺贝尔发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放资金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19
800万美元．设f(x)表示第x(x∈N
)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031
29≈1.32)人教A版
必修1
第三章
章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数f(x)＝ln
x－
的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(e,3)
D．(e，＋∞)
答案 B
解析 f(2)＝ln
2－＝ln
2－1＜1－1＝0，f(3)＝ln
3－＞1－＝＞0.故零点所在区间为(2,3)．
2．当x∈(2,4)时，下列关系正确的是( )
A．x2<2x
B．log2xC．log2x<
D．2x答案 B
解析 当x∈(2,4)时，x2∈(4,16)，2x∈(4,16)，log2x∈(1,2)，∈(，)，显然C，D不正确，对于选项A，若x＝3时，x2＝9>23，故A也不正确．
3.
设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 A
解析 在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．
可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．
4．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足aA．2
B．奇数
C．偶数
D．至少2个
答案 D
解析 由f(a)·f(b)<0知，y＝f(x)在(a，b)上至少有一零点，由f(c)·f(b)<0知，y＝f(x)在(b，c)上至少有一零点，y＝f(x)在(a，c)上至少有2个零点．
5．下列函数：①y＝lg
x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有2个零点的函数是( )
A．①②
B．③④
C．②③
D．④
答案 D
解析 分别作出这四个函数的图象，其中④y＝|x|－1的图象与x轴有两个交点，即有2个零点，选D.
6．某企业2020年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2020年度产值的月平均增长率为( )
A.
B.－1
C.
D.
答案 B
解析 设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)11，∴x＝－1.
7．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%(a≠b)的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为( )
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
答案 B
解析 根据配制前后溶质不变，有等式a%x＋b%y＝c%(x＋y)，即ax＋by＝cx＋cy，故y＝x.
8．下列函数中在某个区间(x0，＋∞)内随x增大而增大速度最快的是( )
A．y＝2020ln
x
B．y＝x2020
C．y＝
D．y＝2020·2x
答案 C
解析 当x>x0时，指数型函数增长速度呈“爆炸式”增长，又e>2，∴增长速度最快的是y＝.
9．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
单位(元/kg)
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
供给量(1000
kg)
50
60
70
75
80
90
表2 市场需求表
单位(元/kg)
4
3.4
2.9
2.6
2.3
2
需求量(1000
kg)
50
60
65
70
75
80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( )
A．(2.3,2.4)
B．(2.4,2.6)
C．(2.6,2.8)
D．(2.8,2.9)
答案 D
解析 根据题目中给出的表格，我们可以对应着作出数据的散点图，可很容易地发现适合用一次函数分别作供应量和需求量的近似模拟函数，则供给量函数为y＝20x＋10，需求量函数为y＝－15x＋110，由20x＋10＝－15x＋110，得x≈2.86，故选D.
10.有浓度为90%的溶液100
g，从中倒出10
g后再倒入10
g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg
2＝0.301
0，lg
3＝0.477
1)( )
A．19
B．20
C．21
D．22
答案 C
解析 操作次数为n时的浓度为()n＋1，由()n＋1<10%，得n＋1>＝≈21.8，
∴n≥21.
11．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421
875，0.6253＝0.244
14)( )
A．0.25
B．0.375
C．0.635
D．0.825
答案 C
解析 令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0，
∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625,0.75)内，
∵0.75－0.625＝0.125<0.25，
∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．
12.
甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1答案 A
解析 由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除C，D，再根据v1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析 设x1，x2是函数f(x)的零点，则x1，x2为方程x2－2x＋b＝0的两正根，
则有即
解得014.
若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．
答案 (1，＋∞)
解析 函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，如下图，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.
15．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
答案 (－2,2)
解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，则f(x)<0的x的取值范围是(－2,2)．
16．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1
130
2
005
3
130
4
505
y2
5
94.478
1
785.2
33
733
6.73×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310
7
1.429
5
1.140
7
1.046
1
1.015
1
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
答案 y2
解析 指数型函数的增长呈“爆炸式”增长，由表中数据，呈指数型变化的变量为y2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．
解 令f(x)＝4x3＋x－15，
∵y＝4x3和y＝x在[1,2]上都为增函数．
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上为增函数，
∵f(1)＝4＋1－15＝－10＜0，
f(2)＝4×8＋2－15＝19＞0，
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上存在一个零点，
∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内有一个实数解．
18．(12分)截至2020年底，已知某市人口数为80万，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，此市人口数为y(万)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？
解 (1)由题设条件知，经过x年后此市人口总数为
80(1＋1%)x(万)，
∴y＝f(x)＝80(1＋1%)x.
(2)∵此问题以年作为单位时间，
∴此函数的定义域是N
.
(3)y＝f(x)＝80(1＋1%)x是指数型函数，
∵1＋1%>1，
∴y＝80(1＋1%)x是增函数．
19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解 (1)由题意，得
y＝
(2)∵x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
所以1.5＋2log5(x－14)＝5.5，x＝39.
答 老张的销售利润是39万元．
20．(12分)某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．
(1)请写出相同时间内产品的总利润y与档次x之间的函数关系式，并写出x的定义域．
(2)在同样的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润．
解 (1)由题意知，生产第x个档次的产品每件的利润为8＋2(x－1)元，该档次的产量为60－3(x－1)件．则相同时间内第x档次的总利润
y＝(2x＋6)(63－3x)＝－6x2＋108x＋378，其中x∈{x∈N
|1≤x≤10}．
(2)y＝－6x2＋108x＋378＝－6(x－9)2＋864，
则当x＝9时，y有最大值为864.
故在相同的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．
21.(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图象．
(1)写出服药后y关于t的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？
(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克？(精确到0.1微克)
解 (1)当0≤t<1时，y＝8t；
当t≥1时，∴
∴y＝
(2)令≥2，解得t≤5.
∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药．
(3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y1＝＝(微克)；含第二次服药后药量为y2＝＝4(微克)，y1＋y2＝＋4≈4.7(微克)．
故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．
22.(12分)诺贝尔发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放资金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19
800万美元．设f(x)表示第x(x∈N
)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031
29≈1.32)
解 (1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，
f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，
∴f(x)＝19
800(1＋3.12%)x－1(x∈N
)．
(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为
f(10)＝19
800(1＋3.12%)9＝26
136，
故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．