三垂线定理

(共15张PPT)
三垂线定理
P
O
自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影;
这个点与垂足间的线段叫做
这点到这个平面的垂线段。
一、射影
一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.
斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
A
C
B
过斜线(段)上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线(段)叫做斜线(段)在这个平面上的射影.
斜线上任意一点在平面上的射影,一定在斜线的射影上.
O

a
A
P
已知 PO、PA分别是 平面 的垂线、斜线, OA是PA在平面 上 的射影,a ,a⊥OA,
求证: a⊥PA.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直,那么,它就和这条
斜线垂直.
二、三垂线定理
P
A
O
a
α
三垂线定理包含几种垂直关系？
②线射垂直
P
A
O
a
α
①线面垂直
③线斜垂直
P
A
O
a
α
直 线 和
平面垂直
平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直
平面内的直线和平面的一条斜线垂直
P
A
O
a
α
b
c
d
e
三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理,这两条直线可以是：
①相交直线
②异面直线
使用三垂线定理还应注意些什么？
P
M
C
A
B
P
A
O
a
α
A1
C1
C
B
B1
O
A
α
a
P
我们要学会从纷繁的已知条件中找出
或者创造出符合三垂线定理的条件：
三垂线定理解题的关键：找三垂！
一找直线和平面垂直;
二找平面的斜线在平面
内的射影和平面内的一
条直线垂直.
注意:由已知一垂、二垂推出第三垂,
并不是三垂都作为已知条件.
P
A
O
a
α
直线a 在一定要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成立.
P
A
O
a
α
例如:当 b⊥ 时,
b⊥OA,
注意:如果将定理中“在平面内”的条件去掉,结论仍然成立吗
b
但b不垂直于OP.
线射垂直
线斜垂直
P
A
O
a
α
P
A
O
a
α
平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直
平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直
三、三垂线定理的逆定理
？
在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线
的射影垂直.
P
A
O
a
α
已知:PA、PO分别
是平面 的垂线和
斜线,AO是PO在平
面 的射影,a ,
a ⊥PO,
求证：a ⊥AO
三垂线定理的逆定理
三垂线定理的逆理：
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
线斜垂直
定
理
逆
定
理
例1:两平行直线在同一个面内的射影
可能是什么？
变:两异面直线在同一个面内的射影
可能是什么？
变:直角在同一个面内的射影
可能是什么？