2.3.2双曲线的简单几何性质

(共14张PPT)
金乡二中高二数学组
孙 春 彬
F1 ( -c, 0) F2 (c, 0)
温故知新
一、双曲线的定义
二、双曲线的标准方程
F1(0, - c) F2(0, c)
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距
类比椭圆的几何性质，你认为研究双曲线的哪些性质呢？
活动任务分配：
1、一组探讨双曲线的范围
2、二组探讨双曲线的对称性
3、三组探讨双曲线的顶点
4、四组探讨双曲线的离心率
最后各组推荐一名学生，展示学习成果
2、对称性
探究双曲线 的简单几何性质
1、范围
关于x轴、y轴和原点都是对称的。
坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的
对称中心，又叫做双曲线的中心。
x
y
o
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
探究新知
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x
y
o
-b
b
-a
a
如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做半实轴长；
（2）
实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线
（3）
线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的半虚轴长
4、离心率
离心率。
c>a>0
e >1
（1）定义：
（2）e的范围：
（4）等轴双曲线的离心率e=
(3)双曲线中的基本量
5、渐近线
y
A1
A2
x
O
F1
F2
B2
B1
由刚才的研究产生了如图的矩形，作出
矩形的两条对角线，它们与双曲线有何
关系？
你有何感觉？
从演示你发现了什么？
M的横坐标愈大，点就
愈接近对角线，但永远
不会达到对角线
即双曲线的各支向外延
伸时，会与这两条直线
无限接近，但永不相交.
y
A1
A2
x
O
F1
F2
B2
B1
由刚才的研究产生了如图的矩形，作出
矩形的两条对角线，它们与双曲线有何
关系？
5、渐近线
这两条对角线称为双曲线的渐近线
渐近线的方程是：
即：
（1）
（2）
利用渐近线可以较准确的
画出双曲线的草图
（3）
y
A1
A2
x
O
F1
F2
B2
B1
y
A1
A2
x
O
F1
F2
B2
B1
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
e的含义：
渐近线与离心率的关系
图象
方程
范围
对称性
顶点
离心率
渐近线
(0,－a) (0, a)
(－a, 0) (a, 0)
x≤－a或x≥a
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称
y= ± x ( ± = 0)
探究新知
双曲线与椭圆简单几何性质的异同
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
y
x
O
A2
B2
A1
B1
.
.
F1
F2
y
B2
A1
A2
B1
x
O
.
.
F2
F1
A1（- a，0），A2（a，0）
B1（0，-b），B2（0，b）
F1(-c,0) F2(c,0)
F1(-c,0)
F2(c,0)
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
渐进线
无
例1 :求双曲线
的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
渐近线方程:
144
16
9
2
2
=
-
x
y
1
3
4
2
2
2
2
=
-
x
y
5
3
4
2
2
=
+
4
5
=
=
a
c
e
应用新知
总结提升
1. 通过类比椭圆学习了双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，并且感双曲线与渐近线的关系。
2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现与给出过程蕴含了重要的数学方法．
3．渗透了类比、数形结合等重要的数学思想．
作业布置
1．巩固训练：
课本习题2.3 A组第3、4题．
2．课外拓展：
已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为16，__________，求双曲线的标准方程(在横线上填上一个条件，并做出相应解答．)