高一数学学案
序号
012
高一
年级
清北
班
学生
基本不等式（1）
学习内容
1.
掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义；
2.
能够利用基本不等式求最大(小)值；
学习重难点
利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.
一.新课学习
一、重要不等式与基本不等式
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,那么正方形的边长为.
问题1:上述情境中,正方形的面积为 ,4个直角三角形的面积的和 ,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式: ,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有 当且仅当 时,等号成立.?
问题2:基本不等式
若a,b均为正数,则 ?,当且仅当 时,等号成立.?
问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.
(1)基本不等式的几何解释:
RT三角形中,RT三角形斜边上的 高 不超过
斜边上的中线 .圆中,半径不小于半弦长.?
(2)如果把看作正数a、b的 算术平均数 ,看作正数a、b的 几何平均数
,那么该定理可以叙述为:两个正数的 算术平均数 不小于它们的
几何平均数
.?
(3)在数学中,我们称为a、b的 算术平均数 ,称为a、b的 几何平均数
.因此,两个正数的
算术平均数 不小于它们的 集合平均数 .?
二.典型例题
例1
(1)已知，求函数的最小值，
（2）
的最小值
解：（1），，当且仅当时等号成立，
即函数的最小值为2.
的定义域为，
当且仅当时等号成立
即函数的最小值为
一般地：已知都是正数，
有下列结论:
①如果积是定值，那么当时，和有最小值；
②如果和是定值，那么当时，积有最大值．
变式练习：（1）已知，求的最值。
（2）已知，求函数的最大值。
解:（1）,,当且仅当时等号成立，
，因此的最大值为-2.
（2），
当且仅当时，取等号。
因此，当时，函数的最大值4
例2
已知，求函数的最大值。
解：，，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
三．当堂检测
1.下列函数：
②
③。其中最小值为2的有 0
求的最小值。
解：
当且仅当，即时等号成立。
3.已知，求函数的最大值.
解：设，
，当时，取得最大值。即当时，的最大值
4.设，则的最小值为（
C
）
A．2
B．3
C．4
D．
四、课后作业
1.若，则的有最
小
值
2.若，则的有最
大
值
3.已知，且，
则的最小值为
4.已知，且x，y都是正数，xy的最大值为
5.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x
的值.
（1）
（2）
解：（1），（当且仅当时取等号）
综上所述，当时，的最小值为5
（2），
，当且仅当时取等号，此时
综上所述，当时，的最小值为
6.已知都是正数，求证：；
解：都是正数，
，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成
立；，当且仅当时，等号成立.
当且仅当时，
等号成立.
7.已知为两两不相等的实数，求证：
解：
三个式子相加可得，当且仅当时等号成立.
又因为为两两不相等的实数，所以。
8.已知正数满足求的最小值。
解：
，当且仅当时取得等号。
综上所述，的最小值为3.
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序号
012
高一
年级
清北
班
学生
基本不等式
（1）
学习内容
1.
掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义；
2.
能够利用基本不等式求最大(小)值；
学习重难点
利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.
一.新课学习
一、重要不等式与基本不等式
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,那么正方形的边长为.
问题1:上述情境中,正方形的面积为 ,4个直角三角形的面积的和 ,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式: ,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有 当且仅当 时,等号成立.?
问题2:基本不等式
若a,b均为正数,则 ?,当且仅当 时,等号成立.?
问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.
(1)基本不等式的几何解释:
RT三角形中,RT三角形斜边上的 斜边上 .圆中,半径不小于半弦长.?
(2)如果把看作正数a、b的 ,看作正数a、b的 ,那么该定理可以叙述为:两个正数的 不小于它们的 .?
(3)在数学中,我们称为a、b的 ,称为a、b的
.因此,两个正数的
不小于它们的 .?
二.典型例题
例1
(1)已知，求函数的最小值，
（2）
的最小值
一般地：已知都是正数，
有下列结论:
①如果积是定值，那么当时，和有最小值；
②如果和是定值，那么当时，积有最大值．
变式练习：（1）已知，求y＝x＋的最值。
（2）已知，求函数的最大值。
例2
已知，求函数的最大值。
三．当堂检测
1.下列函数：
②
③。其中最小值为2的有
求的最小值。
3.已知，求函数的最大值.
4.设，则的最小值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．
四、课后作业
1.若，则的有最
值
2.若，则的有最
值
3.已知，且，
则的最小值为
4.已知，且x，y都是正数，xy的最大值为
5.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x
的值.
（1）
（2）
6.已知都是正数，求证：；
7.已知为两两不相等的实数，求证：
8.已知正数满足求的最小值。
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