5.1 任意角和弧度制 讲义 2020-2021学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word无答案）

必修第一册·第五章
三角函数
5.1
任意角和弧度制
考点一
任意角与象限角（一般考点）
1．什么是角、正角、负角和零角？
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
（1）正角：一条射线绕其端点按
方向旋转形成的角叫做正角．
（2）负角：一条射线绕其端点按
方向旋转形成的角叫做负角．
（3）零角：如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．
2．什么是象限角？
把角放在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的
重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
考点二
终边相同的角（一般考点）
终边相同的角指什么？
一般地，所有与角
α
终边相同的角，连同角
α
在内，可构成一个集合
S＝｛β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与角
α
终边相同的角，都可以表示成角
α
与整数个周角的和．
典型例题
1．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在0°～
360°范围内与其终边相同的角．
（1）405°；
（2）－45°；
（3）495°；
（4）－520°．
2．求与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角．
（1）－210°；
（2）－1484°37′．
考点必知
角
α
所在象限
一
二
三
四
角
所在象限
考点三
弧度制（常考考点）
1．什么是1弧度的角？
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号
rad
表示，读作弧度．
我们把半径为1的圆叫做单位圆．如图，在单位圆O中，的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．
2．什么是弧度数？
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为
α
rad，
那么|
α
|＝
．
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
3．角度与弧度的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝
rad
2π
rad＝
°
180°＝
rad
π
rad＝
°
1°＝
rad≈0.017
45
rad
1
rad＝（）°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×（）°＝度数
典型例题
设
α
＝510°，
β
＝－．
（1）将
α
用弧度表示出来，并指出它是第几象限角；
（2）将
β
用角度表示出来，并在－360°～
360°内找出与它终边相同的
所有的角．
4．弧长公式，扇形面积公式
设扇形的半径为R，α（
0
＜
α
＜
2
π
）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积
（1）弧长公式：l
＝
αR．
（2）扇形面积公式：S
＝
αR2
＝
lR
．
典型例题
1．已知扇形的周长为20
cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
2．如图所示，一绳索绕在半径为40厘米的滑轮上，绳索的下端B处悬挂着物体W．如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转6圈，那么需要经过几秒才能使物体W升高100厘米？