3.1.2椭圆的简单几何性质 课后提升同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.1.2课时
椭圆的简单几何性质
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
2．在中，，如果一个椭圆通过?两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在上，则这个椭圆的离心率（
）
A．
B．
C．
D．
3．过点M(－2，0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝4交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于（
）
A．－2
B．2
C．
D．－
4．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b等于（
）
A．1
B．±1
C．－1
D．±2
5．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在直线的方程是（
）
A．x＋2y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0
D．2x－y＋3＝0
6．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为45°的直线，交椭圆于两点．设为坐标原点，则等于（
）
A．
B．
C．或
D．
7．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为A（0，b），直线x＝﹣上存在一点P满足（+）?＝0，则椭圆的离心率的取值范围为（
）
A．[，1）
B．[，1）
C．[，1）
D．（0，]
8．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（
）
A．2个
B．至少一个
C．1个
D．0个
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。多选题
9．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知直线y=kx+1与椭圆，则（
）
A．直线y=kx+1恒过定点(0，1)
B．方程表示椭圆的条件为m>0
C．方程表示椭圆的条件为0D．直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5
11．若直线与椭圆相切，则斜率的值是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（
）
A．椭圆的离心率为
B．存在，使为直角三角形
C．存在，使的周长最大
D．当时，四边形面积最大
三、填空题。本大题共4小题。
3．已知椭圆C：
1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是_____.
4．已知F为椭圆的右焦点，A为椭圆C的左顶点，P是椭圆C上一点，且PF垂直于x轴，若直线AP的斜率为，则椭圆C的离心率为__．
5．设椭圆的短轴端点为、，为椭圆的一个焦点，则________.
6．已知椭圆G：（）左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点P在椭圆C上，且满足，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是__．
四、解答题。本大题共4小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
18．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)已知P(0，2)，过点Q(﹣1，﹣2)作直线l交椭圆C于A、B两点(异于P)，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2
是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．
19．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
（1）求此弦所在的直线方程；
（2）求此弦长．
20．已知椭圆：()的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点，若点关于轴的对称点为，证明：直线与轴相交于定点.
参考答案
1．B
【解析】因为点在椭圆的外部，
所以，即，解得或.
故选：B.
2．D
【解析】设另一个焦点为，如图所示，∵，，
，则，
设，则，，
∴，，，∴，
故选:D.
3．D
【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．过点M的直线l的方程为y－0＝k1(x＋2)，与椭圆方程联立可得
据此可知x1＋x2＝，
则点P的横坐标为，
点P的纵坐标为k1(x1＋2)＝.
据此得k2＝－.综上可得k1k2＝－.
故选：D
4．B
【解析】因为椭圆的焦点F1(0，－3)，F2(0，3)，
点代入直线，得，点代入直线，得
所以b＝1或－1.
故选：B
5．A
【解析】由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1，1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.由消去y，得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，
所以＝＝1，解得，所以所求直线方程为，即.
故选：A
6．B
【解析】由
，得
，焦点为
设直线过右焦点，倾斜角为
，直线的方程为
代入得
即
设
则
同理当直线过左焦点时，
故选：B
7．C
【解析】由题意可得A（0，b），F（﹣c，0），设点P（﹣），则，，，
因为（+）?＝0，所以，即a4﹣3a2c2+c4＝﹣m2c2≤0，即e4﹣3e2+1≤0，
解得，即，又因为椭圆离心率e＜1，所以椭圆的离心率为[），
故选：C．
8．A
【解析】直线和圆没有交点，直线与圆相离，圆心，半径
，即
点在以原点为圆心，半径为2的圆内，
又椭圆短轴长为4，圆=2内切于椭圆，点在椭圆内，
则过点的直线与椭圆的交点个数为2个.
故选：A.
9．AC
【解析】由椭圆的定义可得，可得，椭圆的离心率为，则，
所以，.
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为.
故选：AC.
10．AD
【解析】解析：由于直线y=kx+1可以化为y-1=k(x-0)，恒过点(0，1)，故A正确；
而方程表示椭圆的条件为m>0且m≠5，故B，C错误；
若直线与椭圆总有公共点，则点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5，故D正确.
故选：AD.
11．AB
【解析】解：已知直线与椭圆有且只有一个交点，
由消去并整理，得，
由题意知，，
解得：.
故选：A
B.
12．BD
【解析】解：如图所示：
对于，由椭圆方程可得，，，则，椭圆的离心率为，故错误；
对于，当时，可以得出，
若取时，得，
根据椭圆的对称性，存在使为直角三角形，故正确；
对于，由椭圆的定义得，的周长
，
，，当过点时取等号，
，即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大，
此时直线的方程为，但是，
不存在，使的周长最大，故错误；
对于，一定，根据椭圆的对称性可知，当时，最大，四边形面积最大，故正确．
故选：．
13．x+y﹣1＝0
【解析】椭圆C：1的右焦点为F（1，0），
直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），
若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，
可知直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程是：y＝﹣（x﹣1），
即x+y﹣1＝0.
故答案为：x+y﹣1＝0.
14．
【解析】解：设直线AP的倾斜角为θ，在Rt△PAF中，
由题意可得tanθ＝＝，整理可得3b2＝（a2+ac），
即3（a2﹣c2）＝（a2+ac），
可得3e2+e﹣3+＝0，解得e＝﹣1（舍去），e＝．
故答案为：．
15．
【解析】如图所示，由题意、、，
在中，，所以.
由椭圆的对称性知，.
故答案为：.
16．①③
【解析】由椭圆的对称性及，
所以可得以，为焦点的椭圆为椭圆，
则点
P
为椭圆与椭圆的交点，
因为椭圆G的长轴顶点
，短轴的绝对值小于，
椭圆的长轴顶点，短轴的交点的横坐标的绝对值小于，
所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，
点
P
靠近坐标轴时（或），越大，
点
P
远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，
此时两椭圆方程为：，，
两方程相加得，即的最小值为
2，③正确；
椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点
P
不在坐标轴上，
∴，④错误．
故答案为：①③．
17．（1）或；（2）．
【解析】（1）若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝，解得a2＝27.
∴椭圆的方程为.
∴所求椭圆的方程为或；
（2）设椭圆方程为(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为．
18．(Ⅰ)＝1；(Ⅱ)是，定值为4.
【解析】(Ⅰ)由题意得，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆C的方程为＝1．
(Ⅱ)k1+k2为定值4，证明如下：
(ⅰ)当直线l斜率不存在时，l方程为x＝﹣1，由方程组
易得，，
于是k1＝，k2＝，所以k1+k2＝4为定值．
(ⅱ)当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣(﹣2)＝k[x﹣(﹣1)]，即y＝kx+k﹣2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组，消去y，得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k＝0，
由韦达定理得(
)
∴k1+k2＝＝
＝＝2k+(k﹣4)?，将(
)式代入上式得k1+k2＝4为定值.
19．（1）x＋2y－4＝0；（2）2.
【解析】（1）设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，①
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，
解得k＝－，
直线方程为，即x＋2y－4＝0.
（2）由（1）将k＝－代入①得，x2－4x＝0，
∴，
∴|AB|＝
＝＝2．
20．（1）；（2）证明见解析.
【解析】解：（1）由题意可知，，，则解得，
∴椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线一定存在斜率，设斜率为，设直线的方程为，
联立消去并化简得：，
∵，∴，
设、，则，，，
∴直线的斜率，
则直线的方程为，
当直线与轴相交时，
则
，
∴直线与轴相交于定点.