3.2.1 双曲线及其标准方程 课后提升同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修
3.2.1课时
双曲线及其标准方程
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为（
）
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
2．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
4．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是　　
A．
B．
C．
D．
5．已知双曲线=1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|=m，则的周长为（
）
A．4a
B．4a-m
C．4a+2m
D．4a-2m
6．已知、为双曲线：的左右焦点，点在上，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，，，的面积为，则该双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（
）
A．2
B．7
C．17
D．22
10．已知两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是（
）
A．爆炸点在以为焦点的椭圆上
B．爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上
C．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
D．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
11．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是
A．若为椭圆,则
B．若为双曲线,则或
C．曲线可能是圆
D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
12．已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（
）
A．点P到x轴的距离为
B．
C．为钝角三角形
D．
三、填空题。本大题共4小题。
13．双曲线16x2
-
9y2=144的左?右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=64，则∠F1PF2=________.
14．已知双曲线＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是____．
15．已知F1，F2分别为双曲线C：的左?右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________.
16．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．
四、解答题。本大题共4小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知双曲线的方程是，点在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为，点是的中点，求的大小(为坐标原点).
18．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离.
19．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1），经过点；
（2）与双曲线有相同的焦点，且经过点.
20．一块面积为12公顷的三角形形状的农场，如图所示△PEF，已知，，试建立适当直角坐标系，求出分别以E，F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.
参考答案
1．A
【解析】由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PO|﹣|PF|＝|PO|﹣|PM|＝|MO|（定值），
又显然|MO|＜|FO|，∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的双曲线．
故选：A．
2．B
【解析】由题意，根据双曲线的定义，可得当时，此时点的轨迹是以为焦点的双曲线，
所以命题甲成立时，命题乙不一定成立，即充分性不成立；
反之，命题乙成立时，可得命题甲一定成立，即必要性成立，
所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
3．B
【解析】
连接ON，如图，
由题意可得|ON|＝1，且N为线段MF1的中点，∴|MF2|＝2，
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
∴由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，
∴由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，故选：B
4．C
【解析】解：由题设知：焦点为，，，
，，
与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是．
故选：．
5．C
【解析】不妨设|AF2|>|AF1|，
由双曲线的定义，
知|AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，
所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a，
于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.
故选：C
6．A
【解析】曲线，，，.
所以，又，所以，.
所以.
故选:A
7．B
【解析】解：由题意双曲线和椭圆有相同的焦点，
，
，
当且仅当即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
8．C
【解析】如下图所示：
为的中点，为的中点，则，即，可得，
且有，则，
在中，由余弦定理得，
，
则的面积为，解得，.
因此，该双曲线的标准方程为.
故选：C.
9．AD
【解析】因为a2＝25，所以a＝5．
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10．
由题意知|PF1|＝12，
所以|PF1|－|PF2|＝±10，
所以|PF2|＝22或2．
故选：AD
10．BD
【解析】依题意，两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，
设爆炸点为，则，所以爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上.所以A选项错误，B选项正确.
若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以，
即，结合可得.
所以C选项错误，D选项正确.
故选：BD
11．AD
【解析】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，方程即为，它表示圆，
综上，选AD.
12．BC
【解析】由双曲线方程得，，则，
由△的面积为20，
得，得，即点到轴的距离为4，故错误，
将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，
则，
由双曲线的定义知，
则，
则，故正确，
在△中，，
则，为钝角，
则△为钝角三角形，故正确，
，
则错误，
故正确的是，
故选：．
13．60°
【解析】双曲线方程16x2
-
9y2=144，可化为，
∴F1(-5,0)，F2(5,0).
设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义，知|m-n|=2a=6，又m·n=64，
在△PF1F2中，由余弦定理知：
，
∴∠F1PF2=60°.
故答案为：60°.
14．
【解析】解析：由于双曲线=1
的右焦点为F(5，0)，
将代入双曲线方程可得，即为点M到右焦点的距离．
由双曲线的定义知M到左焦点的距离为.
故答案为：.
15．4
【解析】由双曲线方程知：，
在△PF1F2中，由余弦定理知：
，
∴，而，
∴.
故答案为：4.
16．
【解析】对于双曲线，则，，，如下图所示：
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
17．或
【解析】由题可知：是的中位线，∴，
∵，，∴或，
则或.
18．4或16.
【解析】由双曲线的标准方程，可得，
由双曲线定义得，即，解得或.
19．（1）；（2）.
【解析】（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为，
把点A的坐标代入，可得，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为，
把A点的坐标代入，可得，故所求双曲线的标准方程为.
（2）设所求双曲线的方程为，
因为双曲线过点，所以，解得或
(舍去).
所以双曲线的标准方程为.
20．=1.
【解析】
以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，
设以，为焦点且过点的双曲线方程为，
焦点为，．
由，，，
得直线和直线的方程分别为和．
将此二方程联立，解得，，即点坐标为，．
在中，，上的高为点的纵坐标，
由题设条件，，即点坐标为．
由两点间的距离公式，
．
又，
故所求双曲线的方程为．