3.2.2课时 双曲线的简单几何性质 课后提升同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.2.2课时
双曲线的简单几何性质
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知双曲线C：，F为C的右焦点，过点F的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为点M，与另一条渐近线的交点为N．若直线MN的斜率为3，则其渐近线方程为（
）
A．y＝±x
B．y＝±3x
C．y＝±x
D．y＝±x
2．已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．直线与双曲线(，)的左支、右支分别交于、两点，为坐标原点，且为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
4．直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是（
）
A．(1，2)
B．(-2，-1)
C．(-1，-2)
D．(2，1)
5．已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．2
C．
D．
6．设为坐标原点，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于?两点，若的面积为，则的焦距的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（
）
A．y＝±x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝±x
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．设为双曲线C：的左、右焦点，过左焦点且斜率为的直线l与在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是（
）
A．直线l倾斜角的余弦值为
B．若，则的离心率
C．若，则的渐近线方程
D．不可能是等边三角形．
10．直线y=mx+1与双曲线x2-y2=1有公共点，则m的取值不能为（
）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
11．已知中心在原点，且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线M的方程可能是（
）
A．
B．
C．
D．
12．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（
）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数在R上单调递增
C．函数的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D．函数不存在零点
三、填空题。本大题共4小题。填空题
13．已知双曲线C：＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是______________．
14．与双曲线＝1有相同渐近线，且经过点(3，－3)的双曲线的标准方程是________．
15．过双曲线的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点，则|AB|=________.
16．已知曲线与直线x+y-1=0相交于P，Q两点，且(O为原点)，则________.
四、解答题。本大题共4小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．求双曲线的顶点坐标?焦点坐标?实轴长?虚轴长?离心率和渐近线方程.
18．已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
19．已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
20．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，求其离心率的值.
参考答案
1．A
【解析】由题意可知，
所以与直线MN垂直的双曲线C的渐近线方程为，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为：．
故选：A．
2．A
【解析】因为椭圆的焦点为为顶点，左顶点为，右顶点为，
又双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，所以，，则，
即双曲线的方程为，由得，
即双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
3．B
【解析】解：联立，解得，即，，
又是等腰直角三角形，即，等价于，
代入坐标得.
故选：B.
4．C
【解析】将y=x-1代入2x2-y2=3，得x2+2x-4=0.由此可得弦的中点的横坐标为=，所以y1+y2=(x1+x2)-2=-4，故弦的中点的纵坐标为-2，所以弦的中点坐标是(-1，-2).
故选：C
5．D
【解析】设，
因为是弦的中点，根据中点坐标公式，可得，
又由直线:的斜率为，所以.
因为两点在双曲线上，可得，
两式相减并化简得，
所以，所以.
故选：D
6．B
【解析】由题意知：双曲线的渐近线方程为，
因为D，E分别为直线与双曲线C的渐近线的交点，
所以不妨设，，故，
又由，即，，
当且仅当等号成立，所以.
故选：B.
7．C
【解析】由题意已知椭圆的焦点坐标为，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中，
渐近线方程为，其中一条为，
于是有，，∴，
∴渐近线方程为．
故选：C．
8．D
【解析】由△PF1F2的外心M，知：，
∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，
在△中，，而，
∴，即，
∴，而，
∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．
故选：D．
9．ABD
【解析】对于选项A，设直线的倾斜角为α，则，
∵，∴是锐角，则，
∴，解得，故A正确；
对于选项B，由P在第一象限内，且，则，
∴，由余弦定理可得，
整理得，则，解得或（舍去），故B正确；
对于选项C，由选项B，可得，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，故C错误；
对于选项D，由，可知不可能是等边三角形，故D正确.
故选：ABD.
10．AD
【解析】解析：由得(1-m2)x2-2mx-2=0.
由题意知1-m2=0，或解得.
故选：AD
11．AB
【解析】焦点到一条渐近线的距离为b，所以，因为，所以，所以该双曲线的方程为或．
故选：AB
12．ACD
【解析】由题意，方程，
当时，，表示椭圆在第一象限的部分；
当时，，表示双曲线在第四象限的部分；
当时，，表示双曲线在第二象限的部分；
当时，，此时不成立，舍去，
其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A是正确的；
由函数的图象可得，该函数在为单调递减函数，所以B不正确；
由图象可得，函数的图象上的点到原点的距离的最小的点在的图象上，
设点，则点满足时，，即
则，当时，，所以C正确；
令，可得，即，
则函数的零点，即为函数与的交点，
又由直线为双曲线和渐近线，
所以直线与函数没有交点，即函数不存在零点，
所以D是正确的.
故选：ACD.
13．(4，＋∞)
【解析】解：因为等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，所以双曲线C：－＝1的离心率e>，即>2．所以m>4．
故答案为：(4，＋∞).
14．
【解析】解析：设所求双曲线的方程为．
因为所求双曲线经过点(3，－3)，所以，
所以所求双曲线的标准方程为．
故答案为：
15．
【解析】解析：由双曲线的方程得a=，b=，
所以c==3，F1(-3，0)，F2(3，0).
直线AB的方程为y=
(x-3).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得5x2+6x-27=0.
所以x1+x2=，x1x2=，
所以AB=|x1-x2|=·.
故答案为：
16．2
【解析】将y=1-x代入，
得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1+x2=，x1x2=.
因为=x1x2+y1y2
=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1，
所以+1=0，
即2a+2ab-2a+a-b=0，
即b-a=2ab，
所以.
故答案为：2
17．答案见解析
【解析】双曲线方程可化为：，
则双曲线焦点在轴上，，，；
，，，
顶点坐标为；焦点坐标为；实轴长为；虚轴长为；离心率；渐近线方程为.
18．不能，证明见解析.
【解析】当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为x=1，
又双曲线，右顶点为（1,0）在直线l上
所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意；
当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且，
因为A、B在双曲线上，
所以，两式相减可得，
所以，
若点为线段AB的中点，
则，即，代入上式，
所以，则直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即，
将直线l与双曲线联立，可得，
，故方程无解
所以不存在这样的直线l，
综上，点P不能是线段AB的中点.
19．（1）；（2）0，，.
【解析】（1）由，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴
解得，且，
∴k的取值范围为．
（2）结合（1），设A(x1，y1)、B(x2，y2)．则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴，
∵点O到直线l的距离d＝，
∴，解得，
故或，检验符合.
故实数k的值为0，，.
20．2
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，即
因为双曲线的右焦点到渐近线的距离为，可得，
又由，所以，可得，
所以双曲线的离心率为.