3.3.1抛物线及其标准方程 课后提升同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.3.1课时
抛物线及其标准方程
一、单选题
1．若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
2．抛物线的焦点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
3．抛物线的焦点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
4．设抛物线上一点到轴的距离是则点到该抛物线焦点的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
5．准线与轴垂直，且经过点的抛物线的标准方程是（
）
A．
B．
C．
D．
6．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与点到直线的距离和的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若，则（
）
A．6
B．12
C．36
D．42
8．已知双曲线与抛物线有公共焦点，到的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．对抛物线，下列描述不正确的是(　　)
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为
D．开口向右，焦点为
10．若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹不可能是（
）
A．抛物线
B．线段
C．直线
D．射线
11．对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（
）
A．焦点坐标为(0，1)
B．焦点坐标为
C．准线方程为y=-
D．准线方程为y=-1
12．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（
）
A．的准线方程为
B．点的坐标为
C．
D．三角形的面积为（为坐标原点）
三、填空题
13．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为________．
14．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____.
15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米，则水面宽为________米.
16．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为________.
四、解答题
17．根据下列条件确定抛物线的标准方程.
（1）关于y轴对称且过点(-1，-3)；
（2）过点(4，-8)；
（3）焦点在x-2y-4=0上；
（4）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.
18．抛物线y2=2x，F为焦点，点A(3,2)，点M为抛物线上一点，求|MA|+|MF|的最小值，并求出点M的坐标.
19．已知某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度，问：该货船在现有状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
20．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程．
参考答案
1．A
【解析】根据题意可知抛物线的准线方程为，∵到该抛物线的焦点的距离为，
∴到准线的距离为，即，∴，代入抛物线方程求得，
∴点到轴的距离为.
故选：A
2．C
【解析】由抛物线方程知其焦点在轴上且，其焦点坐标为.
故选：C.
3．A
【解析】，焦点坐标，
故选：A.
4．C
【解析】由，可得，据已知抛物线方程可得其准线方程为，
又由点到轴的距离为，可得点的横坐标.
由抛物线定义可知点到焦点的距离等于其到准线的距离，即.
故选：C.
5．B
【解析】由题意可设抛物线的标准方程为，则，
即，因此抛物线的标准方程为.
故选：B.
6．D
【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
过点作准线于点，连接，
如图所示，由抛物线的定义，可得，则，
所以当为与抛物线的交点时，点到的距离与点到准线的距离之和的最小值为，
所以点到的距离与到直线的距离和的最小值是.
故选：D.
7．C
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为.
∵，∴.
不妨设P在第一象限，则，
∴.
∴
故选：C.
8．A
【解析】抛物线，即抛物线的焦点为，即，
双曲线的渐近线方程为，即，
可得点到渐近线的距离为，，
因此，双曲线的方程为.
故选：A
9．BCD
【解析】因为抛物线的标准方程为，所以，，开口向上，
因此抛物线的焦点为，准线为.故A正确，BCD都错.
故选：BCD.
10．BCD
【解析】因为动点到定点的距离等于到定直线的距离，且点不在直线上，符合抛物线的定义，所以P点的轨迹是抛物线，不可能是线段、直线、射线，
故选：BCD
11．BC
【解析】由y=4x2，得，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为.
故选：BC
12．ACD
【解析】如图，不妨设点位于第一象限，
设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.
由抛物线的解析式可得准线方程为，
点的坐标为，则，，
在直角梯形中，中位线，
由抛物线的定义有，结合题意，有，
故，，.
故选：ACD.
13．x2＝－4y
【解析】由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，－c)，其中c＝＝.所以抛物线焦点坐标为(0，－)，所以抛物线方程为x2＝－4y.
故答案为：x2＝－4y
14．5
【解析】如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3）
抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2.
过作准线的垂线，垂足为，则有
当且仅当三点共线时，等号成立，
所以△PMF的周长最小值为55.
故答案为：5.
15．4.4
【解析】解析：如图，建立直角坐标系，
设抛物线方程为x2=my，
将A(2，)代入x2=my，
得m=，
所以x2=y，代入B(x0，2.42)得x0=2.2，
故水面宽为4.4米.
故答案为：4.4
．
16．
【解析】解析：如图，FPM是等边三角形.
由抛物线的定义知PM⊥l，，
在中，|QF|=2，∠QMF=30°，所以|MF|，即等边三角形边长为4，
故等边三角形面积为.
故答案为：.
17．（1）；（2）y2=16x或x2=-2y；（3）x2=-8y或y2=16x；（4）y2=-12x.
【解析】（1）设抛物线方程为，代入得，
所以抛物线方程为.
（2）设抛物线方程为或，代入点得：
或，
所以或，
所以抛物线方程为或.
（3）点和在直线上.
所以或，即或，
所以抛物线方程为或.
（4）双曲线方程可化为，所以左顶点坐标为，
所以，
所以抛物线方程为.
18．|MA|+|MF|取最小值，M
(2,2).
【解析】由点M在抛物线上，知：|MF|等于点M到其准线的距离|MN|，如下示意图：
.
当A，M，N三点共线时，|MA|+|MN|取最小值，即|MA|+|MF|取最小值，此时M的纵坐标为2.
∴可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x0=2，即M(2,2).
19．货船在现有状况下不能通过该桥孔，理由见解析.
【解析】解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系.
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，
所以A(10，).
设桥孔上部抛物线方程是(p>0)，
则102=，所以p=25，
所以抛物线方程为x2=y，即y=x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x=8时，
y=×82=，
即船体在x=±8之间通过，B(8，)，此时B点距水面6+()=4.72(米).
而船体高为5米，所以无法通行.
又因为54.72=0.28(米)，0.28÷0.04=7，
150×7=1050(吨)，
所以若该货船通过增加货物通过桥孔，则要增加1050吨，而货船最多还能装1000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过该桥孔.
20．，
【解析】解：设，
则，
整理，得，．
动点的轨迹方程是，．
故答案为：，．