1.2矩形的性质与判定 能力提升训练（Word版 附答案） 2021-2022学年北师大版九年级数学上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》能力提升训练（附答案）
1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠AOB＝60°，则BD的长为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．2
3．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝65°，则∠BAC的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．65°
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P为AD边上一点，过点P分别作AC、BD的垂线，垂足分别为E、F，若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（　　）
A．4.8
B．6
C．8
D．不能确定
5．如图，长方形ABCD中，点E和F分别在BC边和CD边上，且△AEF和△ADF关于AF轴对称，已知∠AEB＝40°，则∠AFD的度数是（　　）
A．75°
B．70°
C．65°
D．50°
6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F．若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6
B．10
C．12
D．24
7．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB＝5，BC＝12，则四边形ABOM的周长是（　　）
A．24
B．21
C．23
D．20
8．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠CDB＝2：3，则∠BDE度数为（　　）
A．18°
B．20°
C．30°
D．45°
9．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AC＝BD
B．AC⊥BD
C．AB＝DC
D．AB⊥DC
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为（　　）
A．
B．5
C．
D．2.5
11．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，则四边形CODE的周长是
　
　．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO于点E，则BD的长为
　
　．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝6，AB＝10，则点E的坐标是
　
　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作?ABDE，连接AD、EC，AC和DE相交于点O．
（1）求证：OD＝OC；
（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
16．如图，将?ABCD的边DA延长到F，使AF＝DA，连接CF，交AB于点E．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若∠AEC＝2∠D，求证：四边形AFBC为矩形．
17．已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若AC＝CD，求证四边形AMCN是矩形；
（3）若∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是菱形．
18．如图，在菱形AECF中，对角线AC，EF交于点O，AB⊥CF的延长线于点B，CD∥AB交AE的延长线于点D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．
19．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
21．如图，已知长方形ABCO中，边AB＝8，BC＝4，以点O为原点OA，OC所在直线为y轴和轴建立直角坐标系．
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）若点P从C点出发，以2个单位长度/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以1个单位长度/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P，Q两点同时出发，在它们移动的过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
22．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ＝CD．
23．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F．
（1）求证：AEPF是矩形；
（2）D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE＝DF．
24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）延长AE至G，使EG＝AE，连接CG，延长CF，交AD于点P．
①当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由；
②若AP＝2DP＝8，CP＝，CD＝5，求四边形EGCF的面积．
参考答案
1．解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝2，
∴BD＝2OB＝4，
故选：A．
3．解：连接BD，交AC于O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵BE＝AC，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E＝65°，
∴∠DBE＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴∠BAC＝∠OBA＝90°﹣50°＝40°，
故选：A．
4．解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝＝4.8．
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB＝40°，
由折叠性质得：∠DAF＝∠FAE＝∠DAE＝，
∴∠AFD＝90°﹣∠DAF＝90°﹣20°＝70°，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC?CD＝12，故S阴影＝12．
故选：C．
7．解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是矩形；
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADB：∠CDB＝2：3，
∴∠ADB＝36°
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADB＝36°，
∴∠DOC＝72°．
∵DE⊥AC，
∴∠BDE＝90°﹣∠DOC＝18°，
故选：A．
9．解：若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是AB⊥DC，理由如下：
∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG＝AB，EG∥AB，
同理，FH＝AB，FH∥AB，GF∥DC，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵AB⊥DC，GF∥DC，FH∥AB，
∴GF⊥FH，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形，
故选：D．
10．解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC＝∠MEC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE＝CM，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB?CM＝BC?AC，
∴CM的最小值＝＝，
∴线段DE的最小值为；
故选：A．
11．解：如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．．
且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，
∵E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，
∴BP1＝t＝3，
∴t＝3．
故选：B．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝3，
∴AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OD＝DE＝CE＝OC＝，
∴四边形CODE的周长＝4OC＝6，
故答案为：6．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
故答案为：12．
14．解：设CE＝a，则BE＝6﹣a，
由题意可得，EF＝BE＝6﹣a，
由对折知，AF＝AB＝10，
∴，
∴CF＝OC﹣OF＝10﹣8＝2，
∵∠ECF＝90°，
∴a2+22＝（6﹣a）2，
解得，a＝，
∴点E的坐标为（10，），
故答案为（10，）．
15．证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；
∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；
又∵AB＝AC（已知），
∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），
∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；
∵在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS），
∴∠ACD＝∠EDC（全等三角形对应角相等），
∴OA＝OC（等角对等边）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），
∴AE∥CD；
又∵BD＝CD，
∴AE＝CD（等量代换），
∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），
∴∠ADC＝90°，
∴?ADCE是矩形．
16．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DA＝AF，
∴AF＝BC，
∴四边形AFBC是平行四边形，
∴BE＝AE；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠ABC，
∵2∠D＝∠AEC＝∠BEF，∠BEF＝∠ABC+∠ECB，
∴2∠ABC＝∠ABC+∠ECB，
∴∠ECB＝∠ABC，
∴CE＝BE，
∵四边形AFBC是平行四边形，
∴AE＝BE，CE＝EF，
∴AB＝CF，
∴平行四边形AFBC是矩形．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵M、N分别是AD和BC的中点，
∴AM＝，CN＝，
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）∵AC＝CD，M是AD的中点，
∴CM⊥AD，
∴∠AMC＝90°，
由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（3）∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，
∴CM＝AD＝AM，
由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是菱形．
18．证明：（1）∵四边形AECF是菱形，
∴AD∥BC，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形AECF是菱形，AB＝4，BC＝8，
设BF＝x，则FC＝8﹣x，
∴AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中
AB2+BF2＝AF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴FC＝8﹣3＝5，
∴S菱形AECF＝FC?AB＝5×4＝20．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝6，BF＝8，
∴BC＝＝＝10，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝10．
20．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+42＝（12﹣x）2，
解得：，
∴AQ的长是．
21．解：（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，AB＝OC＝8，AO＝BC＝4，BC∥AO，
∴点A（0，4），点B（8，4），点C（8，0）；
（2）四边形OPBQ的面积不随t的增大而变化，理由如下：
设运动时间为t秒，则OQ＝t，CP＝2t，
∴AQ＝4﹣t，
∴S△ABQ＝×AB×AQ＝×8×（4﹣t）＝16﹣4t，
S△BCP＝×PC×BC＝×2t×4＝4t，
∴S四边形OPBQ＝S矩形ABCO﹣S△ABQ﹣S△BCP＝32﹣（16﹣4t）﹣4t＝16，
∴四边形OPBQ的面积不随t的增大而变化．
22．解：（1）设经过x（s），四边形PQCD为平行四边形
即PD＝CQ
所以24﹣x＝3x，
解得：x＝6．
（2）设经过y（s），四边形PQBA为矩形，
即AP＝BQ，
所以y＝26﹣3y，
解得：y＝．
（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形．
过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，
∴∠QEP＝∠DFC＝90°
∵四边形PQCD是等腰梯形，
∴PQ＝DC．
又∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴AB＝QE＝DF．
在Rt△EQP和Rt△FDC中，
，
∴Rt△EQP≌Rt△FDC（HL）．
∴FC＝EP＝BC﹣AD＝26﹣24＝2．
又∵AE＝BQ＝26﹣3t，
∴EP＝AP﹣AE＝t﹣（26﹣3t）＝2．
得：t＝7．
∴经过7s，PQ＝CD．
23．证明：（1）∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，
∴PE∥AF，
∴PF∥AE，
∴AEPF是平行四边形，
∵PE⊥AB，
∴AEPF是矩形；
（2）连接DA，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝135°，
又由（1）知AE＝PF，△CFP是等腰直角三角形，
∴CF＝PF＝AE，
∴△DAE≌△DCF，
∴DE＝DF
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：①当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形；
②如图，过点C作CH⊥AD于H，连接CE，
则CH2＝CD2﹣DH2＝CP2﹣PH2，
∵AP＝2PD＝8，
∴PD＝4，
设DH＝x，则PH＝4﹣x，
∴52﹣x2＝（）2﹣（4﹣x）2，
∴x＝3，
∴DH＝3，PH＝1，
∴CH＝＝＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△BCD＝S?ABCD＝×（8+4）×4＝24，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，OB＝OD，
∴EF＝BD，
∴S△EFC＝S△BCD＝12，
由①知：四边形EGCF是平行四边形，
S四边形EGCF＝2S△EFC＝24．