2020-2021学年 北师大版七年级数学上册2.3 绝对值 同步练习（word版含答案）

2.3
绝对值
一、选择题
1．下列各组判断中，正确的是（　　）
A．若|a|＝b，则一定有a＝b
B．若|a|＞|b|，则一定有a＞b
C．若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|
D．若|a|＝b，则一定有a2＝（﹣b）2
2．下列式子中正确的是（　　）
A．|a|＞﹣a
B．|a|＜﹣a
C．|a|≤﹣a
D．|a|≥﹣a
3．a，b是有理数，若a＞b且|a|＜|b|，下列说法正确的是（）
A．a一定是正数
B．a一定是负数
C．b一定是正数
D．b一定是负数
4．若0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，则的值是（　　）
A．0
B．﹣1
C．﹣3
D．﹣4
5．已知有理数a，b，c满足++＝1，则（　　）
A．﹣1
B．1
C．0
D．±1
6．若ab＜|ab|，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0，b＜0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．ab＜0
7．如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求|a+b|+|a﹣c|﹣|b+c|的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．不能确定
二、填空题
8．非零整数m、n满足|m|+|n|﹣5＝0，所有这样的整数组（m，n）共有　
　组．
9．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a+b﹣c＝　　．
10．若a＜0，ab＜0，那么|b﹣a+1|﹣|a﹣b﹣5|等于　
　．
11．若a＞0，则＝　
　；若a＜0，则＝　
　．
12．已知0≤a≤4，那么|a﹣2|+|3﹣a|的最大值等于　
　．
13．设a+b+c＝0，abc＞0，则的值是　
　．
14．当1＜x＜3时，化简的结果是　　．
三、解答题
15．已知（a+1）2+|b﹣2|＝0，分别求a，b的值．
16．如果有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，求|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|﹣|1﹣c|的值．
17．若a+b＜0，且＞0，化简|a|﹣|b|+|a+b|+|ab|．
18．如果0＜m＜10并且m≤x≤10，化简|x﹣m|+|x﹣10|+|x﹣m﹣10|．
19．已知a是非零有理数，求的值．
20．已知abc≠0，求的值．
21．若1＜x＜2，化简﹣+．
22．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道|x|＝，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
（2）当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
（3）当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．
综上讨论，原式＝
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）求出|x+2|和|x﹣4|的零点值；
（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列各组判断中，正确的是（　　）
A．若|a|＝b，则一定有a＝b
B．若|a|＞|b|，则一定有a＞b
C．若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|
D．若|a|＝b，则一定有a2＝（﹣b）2
【分析】根据绝对值的性质即可求出答案．
【解答】解：（A）当a＜0时，若|a|＝b，故A错误；
（B）若a＝﹣7，b＝3，
此时|a|＞|b|，但a＜b；
（C）若a＝7，b＝﹣9，
此时若|a|＞b，但|a|＜|b|；
故选：D．
2．下列式子中正确的是（　　）
A．|a|＞﹣a
B．|a|＜﹣a
C．|a|≤﹣a
D．|a|≥﹣a
【分析】由于|a|是非负数，而a不一定是非负数，﹣a也不一定是非负数，根据以上即可作出判断．
【解答】解：A、当a＝﹣1时，则|a|＝﹣a，故此选项不符合题意；
B、当a＝﹣1时，则|a|＝﹣a，故此选项不符合题意；
C、当a≤5时，当a＞0时，所以|a|≥﹣a，故此选项不符合题意；
D、当a≤0时，当a＞3时，所以|a|≥﹣a，故此选项符合题意．
故选：D．
3．a，b是有理数，若a＞b且|a|＜|b|，下列说法正确的是（）
A．a一定是正数
B．a一定是负数
C．b一定是正数
D．b一定是负数
【分析】若a＞b且|a|＜|b|，只有一种情况，就是b一定是负数，如：1＞﹣2，则|1|＜|﹣2|．
【解答】解：∵a＞b且|a|＜|b|，
∴b一定是负数．
故选：D．
4．若0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，则的值是（　　）
A．0
B．﹣1
C．﹣3
D．﹣4
【分析】可以用特殊值法进行计算，令a＝，b＝﹣，代入即可得出答案．
【解答】解：令a＝，b＝﹣，
代入，得：﹣2﹣1﹣1＝﹣3．
故选：C．
5．已知有理数a，b，c满足++＝1，则（　　）
A．﹣1
B．1
C．0
D．±1
【分析】先依据题意判断出a、b、c中负数的个数，然后依据绝对值的性质进行化简即可．
【解答】解：∵有理数a，b，c满足++，
∴a、b、c中必然有两个正数，
∴abc为负数，
∴＝﹣1．
故选：A．
6．若ab＜|ab|，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0，b＜0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．ab＜0
【分析】根据同号得正，异号得负，当a，b同号时，ab＞0，此时|ab|＝ab，已知条件不成立，由此得出a，b异号，通过判断B，C选项不全面，从而得出D选项符合题意．
【解答】解：若a，b同号，
∴ab＞0．
∵正数的绝对值是它本身，
∴|ab|＝ab．
但已知ab＜|ab|，
∴a，b异号．
∴A选项不正确．
而B，C选项又不全面．
∵a，b异号，
∴ab＜0．
故选：D．
7．如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求|a+b|+|a﹣c|﹣|b+c|的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．不能确定
【分析】根据a、b、c三个数在数轴上对应的点的位置，分别确定a+b、a﹣c、b+c的正负号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算，得出结论．
【解答】解：由题意，得
b＜﹣1，﹣1＜c＜7，
∴a+b＜0，a﹣c＞0，
∴|a+b|+|a﹣c|﹣|b+c|
＝﹣（a+b）+（a﹣c）﹣[﹣（b+c）]
＝﹣a﹣b+a﹣c+b+c
＝6．
故选：C．
二、填空题
8．非零整数m、n满足|m|+|n|﹣5＝0，所有这样的整数组（m，n）共有　16　组．
【分析】已知等式变形，利用绝对值的代数意义判断即可得到结果．
【解答】解：已知等式变形得：|m|+|n|＝5，
当|m|＝1时，|n|＝5，|n|＝3，|n|＝2，|n|＝2，
此时整数组为（1，4），﹣7），4），﹣4），8），﹣3），3），﹣4），2），﹣2），4），﹣2），1），﹣2），1），﹣1），
故答案为：16．
9．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a+b﹣c＝　　．
【分析】先利用绝对值的代数意义求出a，b及c的值，再根据a＞b＞c，判断得到各自的值，代入所求式子中计算即可得到结果．
【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝2，
∴a＝±3，b＝±2，
∵a＞b＞c，
∴a＝﹣1，b＝﹣7，b＝﹣2，
则a+b﹣c＝2或2．
故答案为：2或0
10．若a＜0，ab＜0，那么|b﹣a+1|﹣|a﹣b﹣5|等于　﹣4　．
【分析】由a小于0，ab小于0，得到b大于0，﹣a大于0，﹣b小于0，进而得到b﹣a+1为三个正数之和，故大于0，a﹣b﹣5为三个负数之和，故小于0，然后利用正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数化简所求的式子，合并后即可求出值．
【解答】解：∵a＜0，ab＜0，
∴b＞4，﹣a＞0，
∴b﹣a+1＞4，
又﹣b＜0，∴a﹣b﹣5＜4，
则|b﹣a+1|﹣|a﹣b﹣5|
＝b﹣a+4﹣[﹣（a﹣b﹣5）]
＝b﹣a+1+a﹣b﹣4
＝﹣4．
11．若a＞0，则＝　1　；若a＜0，则＝　﹣1　．
【分析】利用绝对值的性质解答即可．
【解答】解：∵a＞0，
∴＝＝1，
故答案为：2；
∵a＜0，
∴＝＝﹣1，
故答案为：﹣5．
12．已知0≤a≤4，那么|a﹣2|+|3﹣a|的最大值等于　5　．
【分析】由于0≤a≤4，则a﹣2及3﹣a的符号不能确定，故应分类讨论出a﹣2及3﹣a的符号，再由绝对值的性质求出所求代数式的值即可．
【解答】解：①当0≤a≤2时，
|a﹣3|+|3﹣a|＝2﹣a+5﹣a＝5﹣2a≤6，当a＝0时达到最大值5；
②当2＜a≤3时，
|a﹣2|+|3﹣a|＝a﹣2+3﹣a＝3；
③当3＜a≤4时，
|a﹣2|+|3﹣a|＝a﹣2+a﹣2＝2a﹣5≤5×4﹣5＝4．当a＝4时．
综合①、②、③的讨论可知，|a﹣2|+|7﹣a|的最大值是5．
故答案为：5．
13．设a+b+c＝0，abc＞0，则的值是　1　．
【分析】由a+b+c＝0，abc＞0，可知a、b、c中二负一正，将b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c代入所求代数式，可判断，，中二正一负．
【解答】解：∵a+b+c＝0，abc＞0，
∴a、b、c中二负一正，
又b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
∴＝++，
而当a＞2时，＝﹣1，＝1，
∴，，的结果中有二个7，
∴的值是1．
故答案为：1．
14．当1＜x＜3时，化简的结果是　　．
【分析】根据绝对值的定义，再根据已知条件，化简式子即可得出结果．
【解答】解：∵1＜x＜3，
∴|x﹣3|＝3﹣x，
|x﹣1|＝x﹣1，
∴＝＝，
故答案为：．
三、解答题
15．已知（a+1）2+|b﹣2|＝0，分别求a，b的值．
【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（a+1）2+|b﹣6|＝0，
∴a+1＝7，b﹣2＝0，
解得：a＝﹣6，b＝2．
16．如果有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，求|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|﹣|1﹣c|的值．
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：a＜b＜0＜c＜1，且|c|＜|b|＜|a|，
∴a+b＜4，b﹣1＜0，5﹣c＞0，
则原式＝﹣a﹣b+b﹣1+a﹣c﹣4+c＝﹣2．
17．若a+b＜0，且＞0，化简|a|﹣|b|+|a+b|+|ab|．
【分析】根据题意判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：由a+b＜0，且＞0得a＜2，ab＞0，
则|a|﹣|b|+|a+b|+|ab|＝﹣a+b﹣a﹣b+ab＝﹣2a+ab．
18．如果0＜m＜10并且m≤x≤10，化简|x﹣m|+|x﹣10|+|x﹣m﹣10|．
【分析】利用给出字母的取值范围，先将三个绝对值的绝对值符号去掉，再进行运算．
【解答】解：∵x≥m，
∴x﹣m≥0．
∴|x﹣m|＝x﹣m．
∵x≤10，
∴x﹣10≤0．
∴|x﹣10|＝﹣（x﹣10）＝10﹣x．
∵m＜10，x≤10，
∴x﹣m﹣10＜3．
∴|x﹣m﹣10|＝﹣（x﹣m﹣10）＝﹣x+m+10．
∴|x﹣m|+|x﹣10|+|x﹣m﹣10|
＝x﹣m+10﹣x﹣x+m+10
＝20﹣x．
19．已知a是非零有理数，求的值．
【分析】化简时首先要对a的符号进行讨论，然后根据绝对值的性质，正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉原式中的绝对值符号，从而进行化简．
【解答】解：当a＞0时，|a|＝a，
∴原式＝1+3+1＝3；
当a＜8时，|a|＝﹣a，
原式＝﹣1+1﹣6＝﹣1．
20．已知abc≠0，求的值．
【分析】根据绝对值的意义，分别计算0个负数、1个负数、2个负数和3个负数对应的代数式的值．
【解答】解：当a、b、c没有负数；
当a、b、c中有一个负数，则b＞0，原式＝﹣1+6﹣1＝﹣1；
当a、b、c中有两个负数，b＜3，原式＝1﹣1﹣8＝﹣1；
当a、b、c中有三个负数，
综上所述，原式的值为﹣1或4．
21．若1＜x＜2，化简﹣+．
【分析】根据x的范围判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣6＜0，x﹣1＞3，
则原式＝﹣1+1+7＝1．
22．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道|x|＝，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
（2）当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
（3）当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．
综上讨论，原式＝
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）求出|x+2|和|x﹣4|的零点值；
（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
【分析】（1）根据题意，可以求得|x+2|和|x﹣4|的零点值；
（2）根据题目中的例子和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
x+2＝0，x﹣2＝0，
解得，x＝﹣2，
即|x+6|和|x﹣4|的零点值是﹣2和5；
（2）|x+2|+|x﹣4|，
当x＜﹣6时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣3+4﹣x＝﹣2x+2，
当﹣2≤x＜4时，|x+7|+|x﹣4|＝x+2+5﹣x＝6，
当x≥4时，|x+8|+|x﹣4|＝x+2+x﹣7＝2x﹣2，
由上可得，|x+5|+|x﹣4|＝．