2.3用公式法求解一元二次方程 同步优生辅导训练（附答案） 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
同步优生辅导训练（附答案）
1．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0根的判别式的值是（　　）
A．20
B．﹣20
C．﹣28
D．28
2．方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　）
A．有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
3．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，实数a、b、c满足4a﹣2b+c＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根
D．方程的根的情况无法确定
4．若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　）
A．﹣1
B．0
C．1
D．
5．如果关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜4
B．k≤4
C．k≤4且k≠3
D．k＜4且k≠3
6．函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
7．已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判断
8．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　
　．
9．关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝　
　．
10．在△ABC中，BC＝2，AC＝，AB＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则∠A的度数是　
　．
11．已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，则m的取值范围是　
　．
12．一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为　
　．
13．已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为
　
　．
14．解方程
（1）2x2+3x﹣3＝0；
（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x．
15．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣10x+25＝9；
（2）4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0；
（3）3x2﹣4x﹣1＝0．
16．按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；
（2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
17．小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴x＝（第三步）
∴x1＝，x2＝（第四步）
（1）小明解答过程是从第　
　步开始出错的，其错误原因是　
　．
（2）写出此题正确的解答过程．
18．已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．
（1）求证：方程有两个不等的实数根；
（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．
19．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝4，若b、c是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0两个实数根，求等腰△ABC的周长．
20．已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．
①不解方程，判别方程根的情况；
②若方程有一个根为﹣1，求m的值．
参考答案
1．解：根据题意得：
△＝（﹣2）2﹣4×（﹣6）
＝4+24
＝28，
故选：D．
2．解：∵x2﹣2x＝0，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，
故选：B．
3．解：当把x＝﹣2代入方程ax2+bx+c＝0能得出4a﹣2b+c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣2，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，
故选：A．
4．解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1，
∴m只能为，
故选：D．
5．解：根据题意得k﹣3≠0且△＝22﹣4（k﹣3）＞0，
解得k＜4且k≠3；
故选：D．
6．解：根据图象可得k＜0，b＜0，
所以b2＞0，﹣4k＞0，
因为Δ＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，
所以Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
7．解：△＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2＝4（c+a+b）（c﹣a﹣b）．
∵a，b，c分别是三角形的三边，
∴a+b＞c．
∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴△＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
8．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：﹣≤k＜且k≠0．
故答案为：﹣≤k＜且k≠0．
9．解：∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4c＝0，
∴c＝，
∴原方程可表示为：x2+bx+＝0，
∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，
∴m2+bm+＝（m+2）2+b（m+2）+，
∴b＝﹣2m﹣2，
∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x+，
当x＝m时，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）m+＝m2﹣2m2﹣2m+m2+2m+1＝1，
故答案为：1．
10．解：∵一元二次方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝0，即（﹣4）2﹣4b＝0，
∴b＝4．
∴AB＝4，
∵AC?＝（）?＝12，BC2＝2?＝4，AB?＝4?＝16，
∴AC2+BC2＝AB2＝16，
∵△ABC为直角三角形，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°．
故答案是：30°．
11．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数a都有实数根，
∴△＝n2﹣4m（﹣m﹣3）≥0，m≠0，
∴只要4m（m+3）≥0，方程一定有实数根，
解得：m＞0或m≤﹣3．
故答案为m＞0或m≤﹣3．
12．解：∵一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，
∴△＝（﹣）2﹣4×1×（b+1）＜0，
解得：b＞﹣，
故答案为：b＞﹣．
13．解：根据题意，△＝62﹣4k＝0，
解得k＝9,
故答案为9．
14．解：（1）∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，
∴△＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x，
x（2x﹣5）+2（2x﹣5）＝0，
（2x﹣5）（x+2）＝0，
∴x1＝，x2＝﹣2．
15．解：（1）x2﹣10x+25＝9，
（x﹣5）2＝9，
∴x﹣5＝±3，
∴x1＝8，x2＝2；
（2）4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0，
[2（3x﹣1）+3（3x+1）][2（3x﹣1）﹣3（3x+1）]＝0，
∴15x+1＝0或﹣3x﹣5＝0，
则x1＝﹣，x2＝﹣；
（3）3x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝16+12＝28＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
16．解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
则x＝＝，
即x1＝1，x2＝﹣．
17．解：（1）原方程化为：x2﹣5x﹣1＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
故答案为：一，原方程没有化成一般形式；
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴x＝
18．解：（1）∵a＝﹣1，b＝2a﹣2，c＝﹣a2+2a，
∴△＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＝4＞0，
∴方程有两个不等的实数根；
（2）∵a＝﹣1，b＝2a﹣2，c＝﹣a2+2a，
∴△＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＝4＞0，
∴x＝，
∴x1＝a，x2＝a﹣2，
∵方程只有一个实数根小于1，a﹣2＜a，
∴a﹣2＜1，且a≥1，
∴1≤a＜3．
19．解：根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣16k+8
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∴x＝，
即x1＝2，x2＝2k﹣1，
∵△ABC为等腰三角形，
而b＝c＝2时，b+c＜a不合题意，
∴2k﹣1＝4，解得k＝，
∴等腰△ABC的周长为4+4+2＝10．
20．解：①∵Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）
＝4m2﹣4m2+4
＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
②将x＝﹣1代入方程，得：1﹣2m+m2﹣1＝0，
整理，得：m2﹣2m＝0，
解得m＝0或m＝2．