1.1菱形的性质与判定 能力提升训练（附答案）2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》能力提升训练（附答案）
1．下列命题正确的是（　　）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC＝3，则该菱形的周长为（　　）
A．12
B．15
C．6+4
D．3+6
3．已知菱形ABCD，BD＝8，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（　　）
A．5
B．10
C．10
D．20
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．24
B．48
C．72
D．96
5．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC＝6，BD＝8，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，点E，F是菱形ABCD边AB，BC的中点，BA＝BD，EF＝，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．2
B．4
C．2
D．3
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若菱形的周长为16，OE的长为（　　）
A．2
B．1
C．4
D．3
8．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　　）
A．AB＝AC
B．AD＝BD
C．BE平分∠ABC
D．BE⊥AC
9．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确的是（　　）
①S△ABE＝S△OBF；
②四边形EBFD是菱形；
③四边形ABCD的面积为OC×OD；
④∠ABE＝∠OBE．
A．①②
B．②④
C．②③
D．③④
10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．5
11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为
　
　．
12．如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，BE⊥AB，则BE＝　
　．
13．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为
　
　．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为
　
　．
15．如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，AE＝BE，∠C＝120°，若BD＝12cm，则DE＝　
　cm．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作AD∥BC，CD∥AB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE．
（1）求证：四边形ACEB是菱形；
（2）若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积．
17．如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．
（1）求证：∠BOD＝∠C；
（2）若BC＝CD，求证：四边形OBCD是菱形．
18．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠DAB和∠CAB的度数；
（2）如果AC＝4，求DE和AD的长．
19．已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝DM；
（2）若DF＝3，求菱形ABCD的周长．
20．如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD、EF和AF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求证：四边形CDEF为菱形．
（3）若BC＝2，求AF．
参考答案
1．解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原命题是假命题；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝12，
故选：A．
3．解：设AC与BD交于点O，如图：
∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OB＝BD＝4，OA＝OC，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的面积＝24，
∴AC×BD＝24，
即AC×8＝24，
∴AC＝6，
∴OA＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20，
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝8，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×4＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝×12×8＝48，
故选：B．
5．解：设AC、BD交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，
∴CD＝＝＝5，
∵AE⊥CD，
∴?AC?BD＝CD?AE，
即×6×8＝5AE，
∴AE＝，
故选：B．
6．解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵E、F是AB和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC＝2EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝AD，
∵BA＝BD，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∵AC⊥BD，
∴∠BAO＝30°，
∴OB＝OA＝1，
∴BD＝2OB＝2，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×2×2＝2，
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴BC＝4，
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝BC＝2，
故选：A．
8．解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠EBD，
∴∠EBD＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵BD＝DE，
∴四边形DBFE是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴AE＝EO＝FO＝CF，
∴S△ABE＝S△OBF，故①正确；
∵EO＝OF，BO＝DO，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形EBFD是菱形，故②正确；
∵菱形ABCD的面积＝AC×BD＝2OC?OD，故③错误；
∵四边形EBFD是菱形，
∴∠OBF＝∠OBE，∠ABE≠∠OBE，故④错误；
故选：A．
10．解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD＝BC?AF＝CD?AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝＝4，
故选：A．
11．解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5cm，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD＝，
∴OE＝，
∴AE＝2OE＝2，
故答案为：2．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥OD，OA＝AC＝4，OD＝BD＝3，
由勾股定理得到：，
∵AC?BD＝AD?BE，
∴BE＝4.8．
故答案为：4.8．
13．解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4，
由勾股定理得，AO＝＝＝3，
∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCD＝BD?AC＝×24×6＝72；
故答案为：72．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝8，
又∵S菱形ABCD＝，
∴BD＝6，
∵DH⊥AB，
在Rt△BHD中，点O是BD的中点，
∴OH＝＝3．
故答案为：3．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠BAD＝120°，∠ABC＝60°，∠ABD＝ABC＝30°，AB＝AD，
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE＝∠ADB＝30°，
∴∠DAE＝90°，
设AE＝BE＝xcm，则DE＝（12﹣x）cm，
∴12﹣x＝2x，
∴x＝4，
∴DE＝8cm，
故答案为：8．
16．证明：（1）∵AD∥BC，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵DC＝CE，
∴AB＝CE，
∵AB∥CD，
∴AB∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴平行四边形ACEB是菱形；
（2）如图，连接AE，交BC于点O，
∵四边形ACEB是菱形，
∴AE⊥BC，
∵AB＝4，BC＝6，
∴OB＝BC＝3，
∴OA＝，
∴AE＝2OA＝2，
∴．
17．证明：（1）延长AO到E，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
又∠BOE＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO，
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE＝2∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO），
即∠BOD＝2∠BAD，
又∠C＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠C；
（2）连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，
又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴BO＝BC，
又OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四边形OBCD是菱形．
法二，连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠B＝∠D，∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴四边形BCDO是平行四边形，
∵BC＝CD，
∴平行四边形BCDO是菱形．
18．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠CAB，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，
∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AD＝AB＝DB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠CAB＝30°；
（2）∵AC＝4，
∴AO＝CO＝2，
∵AB2﹣BO2＝AO2，
∴3BO2＝12，
∴BO＝2，
∴DB＝4＝AD＝AB，
∴AE＝BE＝2，
∴DE＝＝＝2．
19．（1）证明：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB∥CD，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∴DF＝EB，
∵E是AB中点，
∴AE＝EB，
∴AE＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠EAM＝∠ADF，
在△AEM和△DFM中，
，
∴△AME≌△DFM（AAS），
∴AM＝DM；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AEM＝∠F．
又∵∠FMD＝∠AME，∠AME＝∠AEM，
∴∠FMD＝∠F，
∴△DFM是等腰三角形，
∴DF＝DM＝AD．
∴AD＝2DF＝6，
∴菱形ABCD的周长为6×4＝24．
20．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF；
（2）证明：∵DE∥BC，DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵∠CAB＝∠B＝30°，
∴∠ACF＝60°，
∴∠CED＝60°，
∵DE＝BC，CE＝AC，BC＝AC，
∴DE＝CE，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝DC，
∴平行四边形CDEF为菱形．
（3）解：∵平行四边形CDEF为菱形，
∴DE＝EF＝FC＝CD，
∵△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝CD，
∴EF＝FC＝EC，
∵AE＝EC，
∴AE＝EF＝EC，
∵∠CEF＝60°，
∴∠EAF＝∠EFA＝30°，
∴∠AFC＝90°，
∵CF＝BC＝1，
∴AF＝CF＝．