1.3正方形的性质与判定 能力提升训练（附答案） 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
能力提升训练（附答案）
1．下列性质中不是正方形和菱形共有的是（　　）
A．相邻两角都互补
B．相邻两边都相等
C．对角线所在直线是对称轴
D．对角线垂直且相等
2．如图，在正方形OABC中，O是坐标原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标是（　　）
A．（﹣，1）
B．（﹣1，）
C．（，1）
D．（﹣，﹣1）
3．如图，延长正方形ABCD边B至点E，使AE＝BD，则∠E为（　　）
A．22.5°
B．25°
C．30°
D．45°
4．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连接CE，AE，则∠DAE的度数为（　　）
A．22.5°
B．25°
C．30°
D．32.5°
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF＝1，AF与BE相交于点G．则AG的长为（　　）
A．1.4
B．2.4
C．2.5
D．3
6．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于（　　）
A．135°
B．45°
C．22.5°
D．30°
7．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BED的度数是（　　）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AB至点E，使得BE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　）
A．2
B．3
C．
D．
9．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（　　）
A．S＝2
B．S＝2.4
C．S＝4
D．S与BE长度有关
10．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH＝BC，③OD＝BF，④∠CHF＝45°．正确结论的个数为（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
11．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为
　
　度．
12．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，且∠DAE＝67.5°．若DE＝1，则BD的长为
　
　．
13．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：?ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件，使矩形ABCD成为正方形，并说明理由．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E，点F是BC延长线上的点，且DF⊥DB．
（1）求证：AD＝CF；
（2）当点C为BF中点时，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，当△BDF满足什么条件时，四边形ABCD是正方形？（不必说明理由）
15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON；
（2）若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长．
16．如图，已知平行四边形ABCD，对角AC与BD交于点O，以AD、AB边分别为边长作正方形ADEF和正方形ABHG，连接FG．
（1）求证：FG＝2AO；
（2）若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝60°，请求出△AGF的面积．
17．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥CD于E，PF⊥BC于点F．
（1）求证：PA＝PC；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求四边形PFCE的周长．
18．（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．
（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．
19．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点（DE＜BE），连接AE，过点E分别作EF⊥AE交BC于点F，EG⊥BD交BC的延长线于点G．
（1）若AD＝2，DE＝1，求EG的长度；
（2）求证：FG＝AB．
20．如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且AF＝AD，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．
（1）求证：AE＝GE；
（2）求证：CG＝DE．
21．如图，正方形ABCD和正方形BEFG有公共顶点B，且顶点A，G，F三点共线，顶点C，F，E三点共线，DM⊥AG于点M，AB＝15，BE＝9．
（1）求证：△ABG≌△DAM；
（2）连接DG，求DG的长；
（3）直接写出△ABH与△CFH的面积差．
22．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．
（1）如图1，求证：CE＝BH；
（2）如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等．
参考答案
1．解：∵正方形和菱形都属于平行四边形，平行四边形邻角互补，
∴选项A不符合题意；
∵正方形和菱形的四边均相等，
∴选项B不符合题意；
∵正方形和菱形都关于对角线所在的直线对称，
∴选项C不符合题意；
∵正方形的对角线垂直且相等，菱形的对角线相互垂直平分，
∴选项D符合题意；
故选：D．
2．解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
在正方形OABC中，∠AOC＝90°，AO＝CO，
∵∠AOC＝∠CDO＝90°，
∴∠COD+∠AOE＝∠COD+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠AOE，
在△OCD和△AOE中，
，
∴△OCD≌△AOE（AAS），
∴CD＝OE＝1，OD＝AE＝，
∴C（﹣，1）．
故选：A．
3．解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，且∠CAB＝45°，
又∵BD＝AE，
∴AE＝CA，
∴∠E＝∠ACE，
∵∠CAB＝∠ACE+∠E＝2∠E＝45°，
∴∠E＝22.5°．
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∵BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝2.4，
故选：B．
6．解：∵AC是正方形的对角线，
∴∠BAC＝×90°＝45°，
∵AF是菱形AEFC的对角线，
∴∠FAB＝∠BAC＝×45°＝22.5°．
故选：C．
7．解：设∠BAE＝x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵AE＝AB，
∴AB＝AE＝AD，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝90°﹣x°，
∴∠DAE＝90°﹣x°
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°+x°，
∴∠BED＝90°﹣x°+45°+x°＝135°．
故选：C．
8．解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°．
∵EF⊥AE，EF＝AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝45°，
∴∠CAF＝90°．
∵AB＝BC＝2，
∴AC＝＝2．
∵AE＝EF＝AB+BE＝2+1＝3，
∴AF＝＝3，
∴CF＝＝＝．
∵M为CF的中点，
∴AM＝CF＝．
故选：D．
9．解：连接FB
∵四边形EFGB为正方形
∴∠FBA＝∠BAC＝45°，
∴FB∥AC
∴△ABC与△AFC是同底等高的三角形
∵2S△ABC＝S正ABCD，S正ABCD＝2×2＝4
∴S＝2
故选：A．
10．解：∵EC＝CF，∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF＝90°，
∴∠BHD＝∠BHF＝90°，
∵BH＝BH，∠HBD＝∠HBF，
∴△BHD≌△BHF，
∴DH＝HF，∵OD＝OB
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF；故①正确；
∴OH＝BF，∠DOH＝∠CBD＝45°，
∵OH是△BFD的中位线，
∴DG＝CG＝BC，GH＝CF，
∵CE＝CF，
∴GH＝CF＝CE
∵CE＜CG＝BC，
∴GH＜BC，故②错误．
∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF，∠EBC＝22.5°，
∵CE＝CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），
∴∠EBC＝∠CDF＝22.5°，
∴∠BFH＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH＝CH，
∴∠CDF＝∠DCH＝22.5°，
∴∠HCF＝90°﹣∠DCH＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠BFH＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，故④正确；
∴∠ODH＝∠BDC+∠CDF＝67.5°，
∴∠OHD＝180°﹣∠ODH﹣∠DOH＝67.5°，
∴∠ODH＝∠OHD，
∴OD＝OH＝BF；故③正确．
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是正方形，且AC为正方ABCD的对角线，
∴△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB＝45°，
∴∠AED＝∠AEB，
∵∠AEB为△EBC的外角，
∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝25°+45°＝70°，
∴∠AED＝70°，
故答案为70．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，
∵∠DAE＝67.5°，
∴∠EAD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴AD＝DE＝1，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，
∴AC＝＝，
故答案为．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：AB＝AD（答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
14．（1）证明：∵AC⊥BD，DF⊥DB，
∴AC∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD＝CF；
（2）证明：∵点C为BF中点，
∴BC＝CF，
∵AD＝CF，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DF⊥DB，BC＝CF，
∴DC＝BC＝BF，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：当△BDF满足是等腰三角形时（BD＝DF），四边形ABCD是正方形．
证明：∵DF⊥DB，
∴∠BDF＝90°，
∵BD＝DF，
∴∠DBF＝∠DFB＝（180°﹣∠BDF）＝×（180°﹣90°）＝45°，
由（2）知，四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBF＝45°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBF＝45°+45°＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形．
15．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON；
（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为6，
∴OH＝HA＝3，
∵E为OM的中点，
∴HM＝6，
则OM＝＝3，
∴MN＝OM＝3．
16．（1）证明：∵四边形ADEF和四边形ABHG都是正方形，
∴AD＝AF，AB＝AG，∠BAG＝∠DAF＝90°，
∴∠GAF+∠BAD＝180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠GAF＝∠ADC，
在△AFG和△DAC中，
，
∴△AFG≌△DAC（SAS），
∴GF＝AC，
∵平行四边形ABCD中，AC＝2AO，
∴GF＝2AO；
（2）解：过点D作DM⊥AB于点M，
∵AD＝4，∠BAD＝60°，∠AMD＝90°，
∴DM＝4×sin60°＝4×＝2，
∴S平行四边形ABCD＝AB?DM＝6×2＝12，
∴S△DAC＝，
∵△AFG≌△DAC，
∴S△DAC＝S△AGF＝6．
即△AGF的面积为6．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠C＝90°，
在△ABP与△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC；
（2）∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴∠PFC＝90°，∠PEC＝90°．
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EC＝PF，PE＝CF，
∵∠CBD＝45°，∠PFB＝90°，
∴BF＝PF，
又∵BC＝1，
∴矩形PFCE的周长为2（PF+FC）＝2（BF+FC）＝2BC＝2．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，
如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，
在△AMD和△CFD中，
，
∴△AMD≌△CFD（SAS），
∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，
∵∠EDF＝45°，
∴∠ADE+∠FDC＝45°，
∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，
∴∠MDE＝∠EDF，
在△EDF和△EDM中，
，
∴△EDF≌△EDM（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝AM+AE＝AE+CF，
∴EF＝AE+CF；
（2）EF2＝AE2+CF2，
理由如下：
如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，
由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，
∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，
∴EN2＝AE2+AN2，
∵∠EDF＝45°，
∴∠CDF+∠ADE＝45°，
∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，
在△EDF和△EDN中，
，
∴△EDF≌△EDN（SAS），
∴EF＝EN，
∴EF2＝AE2+CF2．
19．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴BE＝BD﹣DE＝2﹣1，
∵EG⊥BD，∠DBG＝45°，
∴∠DBG＝∠EGB＝45°，
∴EB＝EG＝2﹣1；
（2）∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠BEG＝90°，
∴∠AEB＝∠GEF，
又∵BE＝EG，∠ABD＝∠FGE＝45°，
∴△ABE≌△FGE（AAS），
∴FG＝AB．
20．证明：（1）∵AF＝AD，AE⊥DF，
∴∠DAE＝∠EAF＝∠DAF，
∵AF平分∠EAF，
∴∠BAG＝∠FAG＝∠BAF，
∵∠GAE＝∠EAF﹣∠FAG＝（∠DAF﹣∠BAF），
∴∠GAE＝45°，
∴∠GAE＝∠AGE＝45°，
∴AE＝GE；
（2）如图，过点C作CH⊥DF于H，
∴∠AED＝∠CHD＝90°，
∴∠ADE+∠EAD＝90°＝∠ADE+∠CDH，
∴∠EAD＝∠CDH，
在△ADE和△DCH中，
，
∴△ADE≌△DCH（AAS），
∴CH＝DE，DH＝AE＝GE，
∴DE＝GH＝CH，
∴GC＝CH＝DE．
21．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAD＝∠FGB＝90°，AB＝AD，
∵DM⊥AG，
∴∠DMA＝∠AGB＝90°，
∵∠DAM+∠GAB＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，
∴∠ADM＝∠GAB，
∴△ABG≌△DAM（AAS）；
（2）解：在Rt△ABG中，AG＝＝12，
∵△ABG≌△DAM，
∴DM＝AG＝12，AM＝BG＝9，
∴MG＝AG﹣AM＝3，
在Rt△DMG中，DG＝＝3；
（3）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠ABC＝∠GBE＝90°，AB＝BC，
∴∠ABG＝∠CBE，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴S△ABG＝S△CBE，
∵S△ABH﹣S△CHF＝S△ABH+S四边形BHFE﹣（S△CHF+S四边形HFEB）＝S△ABG+S正方形GBFE﹣S△CBE＝S正方形BGFE＝92＝81，
∴△ABH与△CFH的面积差为81．
22．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵BM⊥CE，
∴∠HMC＝∠ADC＝90°，
∴∠H+∠HCM＝90°＝∠E+∠ECD，
∴∠H＝∠E，
在△EDC和△HCB中，
，
∴△EDC≌△HCB（AAS），
∴CE＝BH；
（2）△BCG，△DCF，△DHF，△ABF，
理由如下：∵AE＝AB，
∴AE＝BC＝AD＝CD，
∵△EDC≌△HCB，
∴ED＝HC，
∵AD＝CD，
∴AE＝HD＝CD＝AB，
在△AEG和△BCG中，
，
∴△AEG≌△BCG（AAS），
∴AG＝BG＝AB，
同理可证△AFB≌△DFH，
∴AF＝DF＝AD，
∴AG＝AF＝DF，
在△AEG和△ABF中，
，
∴△AEG≌△ABF（SAS），
同理可证△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．