4.1 函数年同步练习 2020-2021 学年北师大版 八年级数学上册 （word版含解析）

4.1
函数
一、选择题
1.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（　　）
A．物体
B．速度
C．时间
D．空气
3在下表中，设x表示乘公共汽车的站数，y表示应付的票价（元）
x（站）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y（元）
1
1
1
2
2
3
3
3
4
4
根据此表，下列说法正确的是（　　）
A．y是x的函数
B．y不是x的函数
C．x是y的函数
D．以上说法都不对
4函数自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥1且x≠3
B．x≥1
C．x≠3
D．x＞1且x≠3
5下列是关于变量x和y的四个关系式：①y＝x；②y2＝x；③2x2＝y；④y2＝2x．其中y是x的函数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是
（　　）
A．y＝0.05x
B．y＝5x
C．y＝100x
D．y＝0.05x+100
7已知等腰三角形的周长为10cm，将底边长ycm表示为腰长xcm的关系式是y＝10﹣2x，则其自变量x的取值范围是（　　）
A．0＜x＜5
B．2.5＜x＜5
C．一切实数
D．x＞0
8弹簧挂上物体会伸长，测得一弹簧的长度x（cm）与所挂的物体的重量y（kg）间的关系如下表：
x
0
1
2
3
4
5
6
y
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂物体时的长度为0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧的长度y增加0.5cm
D．所挂的物体的质量为7kg时，弹簧的长度为13.5cm
9若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（　　）
A．±
B．4
C．±或4
D．4或﹣
二、填空题
10一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的　　，其中x是　　，y是　　．
11小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数x（本）与总金额y（元）的关系式可以表示为　　，其中变量是　　，常量是　　．
12飞船每分钟转30转，用函数解析式表示转数n和时间t之间的关系式是　　．
13在函数y＝中，自变量x的取值范围是
　　．
14林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中　　是常量，　　是变量．
15小丽和小明上山游玩，小丽乘缆车，小明步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小明行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小丽在小明出发后1小时才乘上缆车，缆车的平均速度为190m/min．设小明出发xmin后行走的路程为ym．图中的折线表示小明在整个行走过程中y与x的函数关系．
（1）小明行走的总路程是　　m，他途中休息了　　min；
（2）当小丽到达缆车终点时，小明离缆车终点的路程是　　m．
三、解答题
16求下列函数中自变量x的取值范围．
（1）y＝3x﹣1；
（2）y＝2x2+7；
（3）y＝；
（4）y＝．
17“十一”期间，小华约同学一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝60（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
18如图所示，在四边形OABC中，A（3，4）、B（10，4），C（10，0）点P沿A→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒．
（1）分别写出点P在线段AB或在线段BC上的坐标（用含t的代数式表示）及t的取值范围；
（2）当S△AOP＝时，求出t的值．
4.1
函数
一、选择题
1.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的概念；函数的图象．
【专题】函数及其图象．
【答案】D
【分析】运用函数的定义，x取一个值，y有唯一值对应，可直接得出答案．
【解答】解：A、根据图象知给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，故A是函数，
B、根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故B是函数，
C、根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故C是函数，
D、根据图象知给自变量一个值，有3个函数值与其对应，故D不是函数，
故选：D．
2从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（　　）
A．物体
B．速度
C．时间
D．空气
【考点】常量与变量．
【答案】C
【分析】根据函数的定义解答．
【解答】解：因为速度随时间的变化而变化，
故时间是自变量，速度是因变量，
即速度是时间的函数．
故选：C．
3在下表中，设x表示乘公共汽车的站数，y表示应付的票价（元）
x（站）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y（元）
1
1
1
2
2
3
3
3
4
4
根据此表，下列说法正确的是（　　）
A．y是x的函数
B．y不是x的函数
C．x是y的函数
D．以上说法都不对
【考点】函数的概念．
【专题】常规题型．
【答案】A
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出正确答案．
【解答】解：根据题意：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
故y是x的函数．
故选：A．
4函数自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥1且x≠3
B．x≥1
C．x≠3
D．x＞1且x≠3
【考点】函数自变量的取值范围．
【答案】A
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0且x﹣3≠0，
解得x≥1且x≠3．
故选：A．
5下列是关于变量x和y的四个关系式：①y＝x；②y2＝x；③2x2＝y；④y2＝2x．其中y是x的函数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】函数的概念．
【答案】B
【分析】根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应即可确定有几个函数．
【解答】解：是函数的有：
①y＝x；③2x2＝y．
故选：B．
6据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是
（　　）
A．y＝0.05x
B．y＝5x
C．y＝100x
D．y＝0.05x+100
【考点】函数关系式．
【专题】模型思想；应用意识．
【答案】B
【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x分钟可滴100×0.05x毫升，据此即可求解．
【解答】解：y＝100×0.05x，
即y＝5x．
故选：B．
7已知等腰三角形的周长为10cm，将底边长ycm表示为腰长xcm的关系式是y＝10﹣2x，则其自变量x的取值范围是（　　）
A．0＜x＜5
B．2.5＜x＜5
C．一切实数
D．x＞0
【考点】函数自变量的取值范围．
【答案】B
【分析】根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围．
【解答】解：根据三角形的三边关系得：
，
解得：2.5＜x＜5．
故选：B．
8弹簧挂上物体会伸长，测得一弹簧的长度x（cm）与所挂的物体的重量y（kg）间的关系如下表：
x
0
1
2
3
4
5
6
y
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂物体时的长度为0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧的长度y增加0.5cm
D．所挂的物体的质量为7kg时，弹簧的长度为13.5cm
【考点】常量与变量；函数关系式；函数值．
【答案】B
【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm；当不挂重物时，弹簧的长度为10cm，然后逐个分析四个选项，得出正确答案．
【解答】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确；
B、弹簧不挂重物时的长度为10cm，故B选项错误；
C、物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故C选项正确；
D、由C知，y＝10+0.5x，则当x＝7时，y＝13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故D选项正确．
故选：B．
9若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（　　）
A．±
B．4
C．±或4
D．4或﹣
【考点】函数值．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】把y＝8直接代入函数即可求出自变量的值．
【解答】解：把y＝8代入函数，
先代入上边的方程得x＝，
∵x≤2，x＝不合题意舍去，故x＝﹣；
再代入下边的方程x＝4，
∵x＞2，故x＝4，
综上，x的值为4或﹣．
故选：D．
二、填空题
10一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的　　，其中x是　　，y是　　．
【考点】函数的概念．
【专题】函数及其图象；数感．
【答案】函数，自变量，因变量．
【分析】根据函数的定义进行解答．
【解答】解：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
故答案为：函数，自变量，因变量．
11小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数x（本）与总金额y（元）的关系式可以表示为　　，其中变量是　　，常量是　　．
【考点】常量与变量；函数关系式．
【专题】销售问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】总金额等于每个练习薄的价格乘以购买的总数，则y＝2x（x为自然数），然后根据变量与常量的定义常量，变量．
【解答】解：关系式是：y＝2x（x为自然数），其中2为常量，x和y为变量．
故答案为y＝2x（n为自然数）；x和y；2．
12飞船每分钟转30转，用函数解析式表示转数n和时间t之间的关系式是　　．
【考点】函数关系式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由飞船每分钟转30转，可知当t＝1时，n＝30，由此本题可容易解出．
【解答】解：∵飞船每分钟转30转，
∵T＝1时，n＝30，
T＝2时，n＝2×30，
T＝3时，n＝3×30，
…
T＝t时，n＝t×30，
故答案为：n＝30t．
13在函数y＝中，自变量x的取值范围是
　　．
【考点】分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
14林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中　　是常量，　　是变量．
【考点】常量与变量．
【答案】见试题解答内容
【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
【解答】解：在这三个量当中元/升是常量，数量、金额是变量．
15小丽和小明上山游玩，小丽乘缆车，小明步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小明行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小丽在小明出发后1小时才乘上缆车，缆车的平均速度为190m/min．设小明出发xmin后行走的路程为ym．图中的折线表示小明在整个行走过程中y与x的函数关系．
（1）小明行走的总路程是　　m，他途中休息了　　min；
（2）当小丽到达缆车终点时，小明离缆车终点的路程是　　m．
【考点】函数的图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）观察函数图象，即可得出小明行走的总路程以及途中休息的时间；
（2）根据时间＝路程÷速度可求出小丽乘坐缆车需要的时间，设小明在60≤x≤90段的y关于x的函数关系式为y＝kx+b，根据图中点的坐标利用待定系数法即可求出该时间段y关于x的函数关系式，代入x＝70即可求出y值，再用总路程减去该值即可得出结论．
【解答】解：（1）根据图形可得出：小明行走的总路程是3800m；途中休息时间为60﹣30＝30（min）．
故答案为：3800；30．
（2）小丽到达缆车终点的时间为3800÷2÷190+60＝70（min），
设小明在60≤x≤90段的y关于x的函数关系式为y＝kx+b，
将（60，2000）、（90，3800）代入y＝kx+b中，得：
，解得：，
∴小明在60≤x≤90段的y关于x的函数关系式为y＝60x﹣1600．
当x＝70时，y＝60×70﹣1600＝2600，
此时小明离缆车终点的路程是3800﹣2600＝1200（m）．
故答案为：1200．
三、解答题
16求下列函数中自变量x的取值范围．
（1）y＝3x﹣1；
（2）y＝2x2+7；
（3）y＝；
（4）y＝．
【考点】函数自变量的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据一次函数的自变量的取值范围是全体实数，可得答案；
（2）根据二次函数的自变量的取值范围是全体实数，可得答案；
（3）根据分母不能为零，可得函数自变量的取值范围；
（4）根据二次根式的被开方数是非负数，可得函数自变量的取值范围．
【解答】解：（1）y＝3x﹣1自变量的取值范围是全体实数；
（2）y＝2x2+7自变量的取值范围是全体实数；
（3）y＝自变量的取值范围是x+2≠0，解得x≠﹣2，
（4）y＝自变量的取值范围是x﹣2≥0，解得x≥2．
17“十一”期间，小华约同学一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝60（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
【考点】函数关系式．
【专题】函数及其图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）单位耗油量＝耗油量÷行驶里程，剩余油量＝油箱内油的升数﹣行驶路程的耗油量；
（2）把x＝60千米代入剩余油量公式，计算即可；
（3）计算出35﹣3＝32升油能行驶的距离，与200千米比较大小即可得．
【解答】解：（1）该汽车平均每千米的耗油量为（35﹣25）÷80＝0.125（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝35﹣0.125x；
（2）当x＝60时，Q＝35﹣0.125×60＝27.5（升），
答：当x＝60（千米）时，剩余油量Q的值为27.5升；
（3）他们能在汽车报警前回到家，
（35﹣3）÷0.125＝256（千米），
由256＞200知他们能在汽车报警前回到家．
18如图所示，在四边形OABC中，A（3，4）、B（10，4），C（10，0）点P沿A→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒．
（1）分别写出点P在线段AB或在线段BC上的坐标（用含t的代数式表示）及t的取值范围；
（2）当S△AOP＝时，求出t的值．
【考点】坐标与图形性质；三角形的面积；四边形；轨迹．
【专题】代数几何综合题；四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）点P坐标为（3+2t，4）（0≤t≤）或（10，11﹣2t）（）；
（2）t＝．
【分析】（1）分别对点P在AB上或者BC上进行讨论，当点在AB上时，其纵坐标为4；点P在BC上时，其横坐标为10，再根据点P的运动规律求解即可；
（2）分点P在AB或BC上两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，PA＝2t，
点P坐标为（3+2t，4）（0≤t≤）；
当点P在BC上运动时，PB＝2t﹣7，PC＝BC﹣PB＝4﹣（2t﹣7）＝11﹣2t，
点P坐标为（10，11﹣2t）（）．
（2）∵S四边形OABC＝＝34．
∴S△AOP＝S四边形OABC＝17．
①当P在AB上时，
S△AOP＝AP?4＝4t＝17，解得：t＝＞（不符合题意，舍去）．
②当P在BC上时，若S△AOP＝17，
则S△ABP+S△OCP＝（AB?BP+OC?CP）＝[7×（2t﹣7）+10×（11﹣2t）]＝17．
解得：t＝（符合题意）．
综上所述，t＝．