2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步优生辅导训练（附答案） 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
同步优生辅导训练（附答案）
1．一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
2．已知关于x的方程2x2+x+a＝0有一个根为1，则另一个根是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣
B．k≥﹣且k≠0
C．k＜﹣
D．k＞﹣且k≠0
4．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0
B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0
D．x2﹣2x﹣3＝0
5．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．0
B．4
C．0或4
D．0或﹣4
6．已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值为（　　）
A．4
B．9
C．12
D．15
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
8．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
9．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为
　
　．
10．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为
　
　．
11．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为
　
　．
12．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　
　．
13．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x13x2﹣3x12x2＝　
　．
14．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2（a+1）x+a+5＝0有实根，则实数a的取值范围是　
　．
15．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　
　．
16．实数x，y分别满足99x2+2021x＝﹣1．y2+2021y＝﹣99，且xy≠1．则＝　
　．
17．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　
　时，△ABC是直角三角形．
18．若x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，则代数式x1（x12﹣2x1）+2021x2的值为　
　．
19．关于x的一元二次方程mx2﹣3x+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
23．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝4，若b、c是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0两个实数根，求等腰△ABC的周长．
参考答案
1．解：∵一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0中，
a＝2019，b＝﹣2020，c＝2021，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2020）2﹣4×2019×2021＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
2．解：设关于x的方程2x2+x+a＝0的另一个根为x＝t，
∴1+t＝﹣，
解得，t＝﹣；
故选：D．
3．解：由题意知，k2≠0，且Δ＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1≥0．
解得k≥﹣且k≠0．
故选：B．
4．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
5．解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4m2﹣16m＝0，
∴m＝0或m＝4，
∴m＝4，
故选：B．
6．解：∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，
∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，
∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）
＝（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）
＝9αβ
＝9，
故选：B．
7．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
8．解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：B．
9．解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴3m﹣1＝﹣m2，
∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴m+n＝﹣3，
∴＝＝＝3，
故答案为3．
10．解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
11．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
12．解：∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，解得m≥0，
α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，
∵＝1，即＝1，
∴＝1，
解得m1＝0，m2＝3，
经检验，m1＝0不合题意，m2＝3符合题意，
∴m＝3．
故答案为：3．
13．解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，
∴x12﹣3x1＝1，x1x2＝﹣1，
∴x13x2﹣3x12x2＝x1x2?（x12﹣3x1）＝（﹣1）×1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．解：根据题意得a﹣1≠0且△＝4（a+1）2﹣4（a﹣1）（a+5）≥0，
解得a≤3且a≠1．
故答案为a≤3且a≠1．
15．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
16．解：∵y2+2021y＝﹣99，
∴99（）2+2021?+1＝0，
∵99x2+2021x＝﹣1，
即99x2+2021x+1＝0，
∴实数x、可看作方程99t2+2021t+1＝0的两实数解，
∴x+＝﹣，x?＝，
∴原式＝x+10?+
＝﹣+10×
＝﹣．
故答案为﹣．
17．解：∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]＝0，
∴x1＝k+1，x2＝k+2，
即AB、AC的长为k+1，k+2，
当（k+1）2+（k+2）2＝52时，△ABC为直角三角形，解得k1＝2，k2＝﹣5（舍去）；
当（k+1）2+52＝（k+2）2时，△ABC为直角三角形，解得k＝11；
综上所述，当k＝2或11时，△ABC是直角三角形．
故答案为2或11．
18．解：∵x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x12﹣2x1＝2021，
则原式＝2021x1+2021x2
＝2021（x1+x2）
＝2021×2
＝4042．
故答案为：4042．
19．解：（1）根据题意得m≠0且△＝（﹣3）2﹣4m×2≥0，
解得m≤且m≠0；
（2）∵m≤且m≠0，m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程化为x2﹣3x+2＝0，
即（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
20．解：（1）∵△＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝，
∵，
∴x1+x2＝6，
∵x1+x2＝4m，
∴4m＝6，
∴，
∴，
∴x1＝6，x2＝0．
21．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
22．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．
23．解：根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣16k+8
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∴x＝，
即x1＝2，x2＝2k﹣1，
∵△ABC为等腰三角形，
而b＝c＝2时，b+c＜a不合题意，
∴2k﹣1＝4，解得k＝，
∴等腰△ABC的周长为4+4+2＝10．