《1.2矩形的性质与判定》同步能力提升训练（附答案） 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
同步能力提升训练（附答案）
1．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（　　）
A．16cm2
B．8cm2
C．16cm2
D．32cm2
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（　　）
A．16
B．8
C．4
D．2
3．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．8
4．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA＝OB＝OC＝OD，则四边形ABCD是（　　）
A．平行四边形
B．矩形
C．正方形
D．菱形
5．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC＝40°，则∠E的度数是（　　）
A．65o
B．60o
C．50o
D．40°
6．如图，矩形ABCD中，对角线AC＝4，△AOB是等边三角形，则AD的长为（　　）
A．2
B．3
C．2
D．2
7．矩形的边长为10cm和15cm，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　）
A．6cm和9cm
B．5cm和10cm
C．4cm和11cm
D．7cm和8cm
8．如图，四边形ABCD是长方形，点F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝15°，则∠ACF的度数是（　　）
A．15°
B．20°
C．30°
D．45°
9．如图，AC为矩形ABCD的对角线，∠BAC的平分线交BC于点E，BM⊥AE于点M，交AC于点F．若点N是BC的中点，连接MN．已知AB＝6，BC＝8．则MN的长为（　　）
A．3.5
B．3
C．2.5
D．2
10．如图，矩形ABCD的周长为20cm，AC交BD于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连结CE，则△CDE的周长为（　　）cm．
A．6
B．8
C．10
D．12
11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为　
　．
12．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为　
　cm．
13．设长方形的长a＝2，宽b＝3，则面积S＝　
　．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为　
　．
15．若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件　
　（一个即可）使四边形ABCD为矩形．
16．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC＝8，如果∠AOD＝60°，那么AD＝　
　．
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝　
　度．
18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，BC＝6，则GH的长度为
　
　．
19．如图．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝6，点E是AD的中点．连接BE．点M是BE上一动点，取CM的中点为N．连接AN，则AN的最小值是　
　．
20．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
21．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．
22．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交D的延长线于点F．
（1）若AB＝2．AD＝3．求EF的长；
（2）若G是EF的中点，连接BG和DG．求证：△BCG≌△DFG．
23．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求菱形AECF的周长．
24．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，那么PE和PF之间有怎样的数量关系？写出理由．
变式一：当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系，直接写出结果．
变式二：当点P是DC延长线上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系，写出推理过程．
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）延长AE至G，使EG＝AE，连接CG，延长CF，交AD于点P．
①当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由；
②若AP＝2DP＝8，CP＝，CD＝5，求四边形EGCF的面积．
26．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：①OC＝BC；
②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
27．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）求点D的坐标；
（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．
参考答案
1．解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，
∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，
∵∠ECD＝30°，
∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
过点E作EG⊥CF于G，
则EG＝EF＝×4＝2cm，
∴矩形的面积＝8×2＝16cm2．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO为平行四边形，
∵OD＝OC，
∴四边形DECO为菱形，
∴OD＝DE＝EC＝OC＝1，
则四边形OCED的周长为1+1+1+1＝4，
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
4．解：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：B．
5．解：如图，连接BD，
∵矩形ABCD中，∠BAC＝40°，OA＝OB，
∴∠ABD＝40°，∠DBE＝90°﹣40°＝50°，
∵AC＝BD，AC＝BE，
∴BD＝BE，
∴△BDE中，∠E＝（180°﹣∠DBE）＝（180°﹣50°）＝65°，
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC，OA＝OC＝AC＝2，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝BC＝2；
故选：D．
7．解：如图，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝10cm，
∴CE＝BC﹣AB＝15﹣10＝5cm，
即这两部分的长为5cm和10cm．
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠BCE，
∵∠AGC＝∠F+∠GAF，∠GAF＝∠F，
∴∠AGC＝2∠F，
∵∠ACG＝∠AGC，
∴∠ACG＝2∠F，
∴∠ACF＝2∠ECB，
∵∠ECB＝15°，
∴∠ACF＝2×15°＝30°．
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝，
∵∠BAC的平分线交BC于点E，BM⊥AE于点M，
∴△ABF是等腰三角形，
∴BM＝MF，AB＝AF，
∴FC＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，
∵点N是BC的中点，
∴MN是△BFC的中位线，
∴2MN＝FC＝4，
∴MN＝2，
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，BC＝AD，OA＝OC＝OB＝OD，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵矩形ABCD的周长为20cm，
∴BC+DC＝10cm，
∵EF⊥AC，
∴CE＝CF，
在△ODE和△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF（ASA），
∴DE＝BF，
∴△CDE的周长＝DE+CE+DC＝BF+CF+DC＝BC+DC＝10cm．
故选：C．
11．解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
12．解：矩形的两条对角线交角为60°的三角形为等边三角形，
又因为两条对角线的和为8cm，故一条对角线为4cm，
又因为矩形的对角线相等且相互平分，
故矩形的一条较短边为2cm．
故答案为：2．
13．解：面积S＝2×3＝10×12＝120×2＝240．
故答案为240．
14．解法一：∵四边形ABCD为矩形，
∴△OAD为等腰三角形，
∴PE+PF等于△OAD腰OA上的高，即Rt△ADC斜边上的高，
∴PE+PF＝＝．
解法二：连接PO，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OD，
由勾股定理得：AC＝＝＝5，
∴OA＝OD＝AC＝，
∵S△AOD＝OA×PE+OD×PF＝×4×3，
∴××（PE+PF）＝×4×3，
∴PE+PF＝
故答案是：．
15．解：添加条件∠A＝90°，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A＝90°．
16．解：在矩形ABCD中，OA＝OD＝AC＝×8＝4，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OA＝4．
故答案为：4．
17．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB═OC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝67.5°，
∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°．
故答案为22.5°．
18．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝4，BC＝6，
∴AE＝AB＝4＝2，CF＝BC＝6＝3，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝3，CH＝PH，
∴AP＝AD﹣PD＝3，
∴PE＝＝＝，
∵点G是EC的中点，
∴GH＝EP＝
故答案为：．
19．解：取BC的中点N′，连接AN′、DN′，如图所示：
∴BN′＝CN′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AD＝2AB＝6，
∴AB＝BN′＝CN′＝CD＝3，
∴∠AN′B＝∠DN′C＝45°，AN′＝＝3，
∴∠AN′D＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是AD的中点，N′是BC的中点，
∴DE＝BN′，DE∥BN′，
∴四边形BEDN′是平行四边形，
∴BE∥DN′，
∴DN′平分CM，即CM的中点N在DN′上，
∴当N与N′重合时，AN⊥DN′，
根据垂线段最短定理知，AN′的值就是AN的最小值为3．
故答案为：3．
20．证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴?BECD是矩形．
21．（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC＝4：3，
∴∠AOB：∠ABO＝4：3，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，
∴∠ABO＝54°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADO＝90°﹣54°＝36°．
22．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝3，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝2．
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝90°，
∴∠F＝∠CEF＝45°，
∴CE＝CF＝1，
∴EF＝CE＝；
（2）证明：连接CG，如图：
∵△CEF是等腰直角三角形，G为EF的中点，
∴CG＝FG，∠ECG＝45°，
∴∠BCG＝∠DFG＝45°，
又∵DF＝CD+CF＝3，
∴DF＝BC，
在△BCG和△DFG中，
，
∴△BCG≌△DFG（SAS）．
23．证明：（1）∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）设AF＝x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF＝x，BF＝3﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
22+（3﹣x）2＝x2，
解得
x＝．
∴AF＝，
∴菱形AECF的周长为．
24．解：连接OP，如图1，设点C到BD的距离为h．
在Rt△BCD中，BD＝＝＝5，
由S△BCD＝BD?h＝BC?CD，得h＝＝＝．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD，
由S△COD＝S△DOP+S△COP，得，
OD?h＝OD?PE+OC?PF，
化简得PE+PF＝h＝，
变式一：猜想：PE+PF＝，
变式二：猜想：PF﹣PE＝，
连接OP、BP，如图2．
由S△BPD＝S△COD+S四边形BOCP＝S△COD+S△COP+S△BOP得，
BD?PF＝OD?h+OC?PE+OB?PF，
化简得2PF＝h+PE+PF，即PF﹣PE＝h＝．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：①当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形；
②如图，过点C作CH⊥AD于H，连接CE，
则CH2＝CD2﹣DH2＝CP2﹣PH2，
∵AP＝2PD＝8，
∴PD＝4，
设DH＝x，则PH＝4﹣x，
∴52﹣x2＝（）2﹣（4﹣x）2，
∴x＝3，
∴DH＝3，PH＝1，
∴CH＝＝＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△BCD＝S?ABCD＝×（8+4）×4＝24，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，OB＝OD，
∴EF＝BD，
∴S△EFC＝S△BCD＝12，
由①知：四边形EGCF是平行四边形，
S四边形EGCF＝2S△EFC＝24．
26．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∵BO⊥CE，
∴∠CFO＝∠CFB＝90°，
在△OCF与△BCF中，
，
∴△OCF≌△BCF（ASA），
∴OC＝BC；
②∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝90°，
在△OCE与△BCE中，
，
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠EOC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∵OC＝BC，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠ECB＝OCB＝30°，
∵∠EBC＝90°，
∴EB＝EC，
∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，
∴EB＝，EC＝2，
∵OE⊥AC，OA＝OC，
∴EC＝EA＝2，
在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，
∴DE＝＝＝．
27．解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是（﹣6，8）．
∴∠BAD＝∠OCB＝90°，AB＝OC＝6，OA＝BC＝8，
∴BO＝＝10；
由折叠的性质得：BE＝AB＝6，∠BED＝∠BAD＝90°，DE＝AD，
∴OE＝BO﹣BE＝10﹣6＝4，∠OED＝90°，
设D（0，a），则OD＝a，DE＝AD＝OA﹣OD＝8﹣a，
在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2＝OD2，
即（8﹣a）2+42＝a2，解得：a＝5，
∴D（0，5）；
（2）存在，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）；理由如下：
①当OM、OE都为菱形的边时，OM＝OE＝4，
∴M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；
②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1所示：
则OG＝OE＝2，
∵OA＝8，OD＝5，
∴AD＝DE＝3，
∴E到y轴的距离＝＝＝，
∴OH＝，
∵EM2﹣MH2＝42﹣（）2，
∴OM2﹣（OM﹣）2＝42﹣（）2，
解得：OM＝，
∴M（﹣，0）；
③当OM为菱形的对角线，OE为边时，如图2所示：
同②得：M（﹣，0）；
综上所述，在x轴上存在点M，使以M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．
28．（1）证明：如图1中，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．
∵AN＝BN＝2，
∴AB＝CD＝4，
∵AE∥DC，
∴∠E＝∠MCD，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AME≌△DMC，
∴AE＝CD＝4，
∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，
∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．
②如图3中，延长CM、BA交于点E．
由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，
∴EM＝CM＝3，EN＝CN＝4，设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，
∴42﹣x2＝62﹣（x+4）2，
∴x＝，
∴BC＝＝＝