《1.3正方形的性质与判定》同步能力提升训练（附答案） 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
同步能力提升训练（附答案）
1．如图，E为正方形ABCD的对角线上一点，四边形EFCG为矩形，若正方形ABCD的边长为4，则EG+GC的长为（　　）
A．4
B．8
C．16
D．32
2．如图是一个正方形和直角三角形的组合图形，直角三角形的斜边和一条直角边的长分别为10cm，8cm，则该正方形的面积为（　　）
A．6cm2
B．36cm2
C．18cm2
D．2cm2
3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四边相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
4．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连接CE，AE，则∠DAE的度数为（　　）
A．22.5°
B．25°
C．30°
D．32.5°
5．如图，将平行四边形ABCD的∠ABC变成直角，则平行四边形ABCD变成（　　）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
6．正方形、菱形、矩形、平行四边形共同具有的性质是（　　）
A．对角线相等
B．对角线相互平分
C．对角线相互垂直
D．对角线相互垂直平分
7．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，连接AC，CF，那么AF的长是（　　）
A．
B．2
C．3
D．2
8．下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
9．如图，正方形的面积是2，，，分别是，，上的动点，的最小值为（
）
A．3
B．
C．2
D．1
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD的边上，且DE=1，△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，将△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，连接FG，则线段FG的长为（
）
A．4
B．
C．5
D．6
11．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　）
A．当AC＝BD时，它是正方形
B．当AC⊥BD时，它是矩形
C．当∠ABC＝90°时，它是菱形
D．当AB＝BC时，它是菱形
12．下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等
B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度
C．对角线平分每一组对角
D．四边相等且有一个角是直角
13．如图，将正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（3，4），则点A的坐标为
　
　．
14．菱形ABCD中，AD＝4，∠DAB＝60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝　
　．
15．如图，正方形ABCD的边长为12，对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接BE并延长交正方形ABCD的边于点F，若OE＝3，则CF＝　
　．
16．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，5），点C在第一象限，则点C的坐标是
　
　．
17．如图，正方形ABCD中，点P在边AD上，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，AC＝m，PE+PF＝n，则m，n满足的数量关系是
　
　．
18．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF＝∠ABE．
19．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
20．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：
（1）△AHE≌△BEF；
（2）四边形EFGH是正方形．
21．如图，在四边形ABDE中，AD与BE相交于点O，OA＝OB＝OE＝OD，AB＝BD．
（1）求证：四边形ABDE是正方形；
（2）若∠ACB＝90°，连接OC，OC＝6，AC＝5，求BC的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，过点D分别作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）证明：四边形DECF为正方形；
（2）若AC＝6cm，BC＝8cm，求四边形DECF的面积．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴EG＝DG，
∵四边形EFCG为矩形，
∴EF＝GC，
∴EF+EG＝GC+DG＝DC＝4，
故选：A．
2．解：如图所示：
∵△ABE是直角三角形，AE＝8cm，BE＝10cm，
∴AB＝（cm），
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2＝36（cm2），
故选：B．
3．解：菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形．
正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性，由矩形对角线相等满足条件．
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∵BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
故选：B．
6．解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、对角线相互垂直、对角线相互垂直平分不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠B＝∠E＝90°，
∴AC＝＝，
CF＝＝，
∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CEFG的对角线，
∴∠ACG＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ACF中，
AF＝＝＝2．
故选：D．
8．解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，正确，不合题意；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不合题意；
C．对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意．
故选：C．
9．解：过点作交于点，交于点，如图所示：
EMBED
Equation.DSMT4
四边形为正方形，
，
（当时取等号），（当时取等号），
，
正方形的面积是2，
．
的最小值为．故选：．
10．解:如图，连接BE，
∵△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，
∴AF=AD，∠EAD=∠EAF，
∵△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，
∴AG=AE，∠GAB=∠EAD，
∴∠GAB=∠EAF，
∴∠GAB+∠BAF=∠EAF+∠BAF，
∴∠GAF=∠EAB，
∴△GAF?△EAB（SAS），
∴FG=EB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=4，
∵DE=1，
∴CE=3，
∴在Rt△BCE中，BE=，
∴FG=5故选C
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC＝BD时，它是矩形，故选项A不符合题意；
当AC⊥BD时，它是菱形，故选项B不符合题意；
当∠ABC＝90°时，它是矩形，故选项C不符合题意；
当AB＝BC时，它是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
12．解：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，但是对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形中的对角线就有可能垂直且相等，故选项A不符合题意；
一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度的四边形不一定是正方形，如直角梯形，故选项B不符合题意；
对角线平分每一组对角的四边形不一定是正方形，如菱形，故选项C不符合题意；
四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故选项D符合题意；
故选：D．
13．解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点D作DE⊥x轴于E，
∵四边形OACD是正方形，
∴OA＝OD，∠AOD＝90°，
∴∠DOE+∠AOB＝90°，
又∵∠OAB+∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠DOE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOB≌△ODE（AAS），
∴AB＝OE，OB＝DE，
∵点D的坐标为（3，4），点C在第二象限，
∴点C的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
14．解：过点E作AB的垂线分别交AB于N、交CD延长线于M，
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠MEH+∠NEF＝90°，
∵∠NEF+∠EFN＝90°，
∴∠MEH＝∠EFN，
在△EMH与△FNE中，
，
∴△EMH≌△FNE（AAS），
∴EM＝NF，EN＝MH，
设MD＝x，
在菱形ABCD中，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴MD＝DE，
∴DE＝2x，EM＝＝x，
∴AE＝4﹣2x，AN＝＝2﹣x，
∴EN＝＝（2﹣x），
∴NF＝x，HM＝（2﹣x），DH＝MH﹣MD＝2﹣x﹣x，
∴AF＝2﹣x+x，
∵AB＝CD，BF＝DH，
∴AF＝CH＝2﹣x+x，
∵DH+CH＝4，
∴2﹣x+x+2﹣x﹣x＝4，
解得：x＝﹣1，
∴DH＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
15．解：∵正方形ABCD的边长为12，
∴AC＝12，
∴OA＝OC＝6，
∵OE＝3，
∴E点是OA或OC的中点，
如图1，当E点是OA的中点时，过点E作NE⊥AB交AB于N，
∴AE＝3，
∴AN＝NE＝3，
∵NE∥AF，
∴AF＝4，
∴DF＝8，
∴CF＝4；
如图2，当E为CO的中点时，过点E作EM⊥BC交BC于M，
则EC＝3，
∴EM＝MC＝3，
∴BM＝9，
∵EM∥FC，
∴FC＝4；
综上所述：FC的长为4或4．
16．解：∵四边形OBCD是正方形，
∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，
∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，5），
∴OD＝5，
∴OB＝BC＝CD＝5，
∴C的坐标为（5，5）．
故答案为：（5，5）．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝45°，AC⊥BD，AC＝2OA，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴△APE是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，
∴PE＝AE，PF＝OE，
∴OA＝AE+OE＝PE+PF，
∵AC＝m，PE+PF＝n，AC＝2OA，
∴m＝2n．
故答案为：m＝2n．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴DF＝CE，
∵∠FDE＝∠BCE＝90°，
∴△FDE∽△BCE，
∴∠DEF＝∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CEB，
∴∠ABE＝∠DEF．
19．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
20．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，
又∵AE＝BF＝DH＝CG，
∴AH＝BE＝CF＝DG，
∴△AHE≌△BEF（SAS）；
（2）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝DG＝CF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），
∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，
∴∠EHA+∠GHD＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
21．解：（1）∵OA＝OB＝OE＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AD＝BE，
∴四边形ABDE是矩形，
又∵AB＝BD，
∴四边形ABDE是正方形．
（2）如图所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
又∠AMO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
又∵∠ACB＝∠AMF＝∠CFM＝90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF＝5，
∴OF＝AM＝CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC＝6，
根据勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，
解得：CF＝OF＝6，
∴FB＝OM＝OF﹣FM＝6﹣5＝1，
∴BC＝CF+BF＝6+1＝7．
22．（1）证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠DFC＝∠FCE＝∠DEC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF∥EC，
∴∠FDC＝∠ECD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠ECD，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴DF＝CF，
∴四边形DECF是正方形；
（2）解：∵四边形DECF是正方形，
∴DF＝FC＝CE＝DE，
设DF＝FC＝CE＝DE＝x，
∵DF∥BC，
∴x＝，
即DF＝FC＝CE＝DE＝，
∴四边形DECF的面积是×＝．