《第1章勾股定理》综合培优提升测评（附答案）2021-2022学年北师大版八年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》综合培优提升测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（　　）
A．AC2+AB2＝BC2
B．AB2+BC2＝AC2
C．AC2﹣BC2＝AB2
D．AC2+BC2＝AB2
2．如图，圆柱的高为4cm，底面半径为cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（　　）cm．
A．5
B．5π
C．3+
D．3+
3．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距（　　）
A．10海里
B．20海里
C．30海里
D．40海里
4．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　）
A．23
B．46
C．65
D．69
5．下列各组数中，能称为勾股数的是（　　）
A．1，，2
B．1.5，2.5，2
C．9，12，15
D．4，5，6
6．如图，一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，木杆折断之前的高度为（　　）
A．7米
B．8米
C．9米
D．12米
7．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，EF＝2AB＝2CD，AB＝3，则A、F两点间的距离是（　　）
A．18
B．20
C．22
D．24
8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（　　）
A．94
B．26
C．22
D．16
9．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）
A．20cm
B．25cm
C．26cm
D．30cm
10．一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（　　）
A．18cm
B．20cm
C．24cm
D．25cm
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为边BC、AC、AB的长．若a+b＝16，c＝12，则Rt△ABC的面积为
　
　．
12．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240m．如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以72km/h的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为　
　秒．
13．如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝　
　（点A，B，C，D，E是网格线交点）．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝10，BC＝20，则AD＝　
　．
15．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部　
　m处．
16．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为　
　．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC和BC为边，向外作等腰直角三角形△ACD和△BCE，则图中的阴影部分的面积是　
　．
18．如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为　
　．
19．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是　
　．
20．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是　
　．
三．解答题（共7小题，21、22、23每小题8分，余下每小题9分，共计60分）
21．如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．
22．某运动公园有一块空地，如图，△ABC所示，∠ACB＝90°，公园管理处计划在△ADC区域内安装健身器材，其余部分种植草坪，绿化环境．经测量：CD＝30米，AD＝40米，BC＝120米，AB＝130米．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）若种植草坪的费用每平方米300元，求种植草坪的总费用．
23．济南的泉城广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．历下区某校七年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度．
24．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，求AE的长．
26．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．
27．综合与实践．
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
（1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形说明a2+b2＝c2．
（2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如图2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．请你利用这个图形说明c2+a2＝b2．（提示：连接EC，CD）
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，故选项D正确，选项A、B、C错误，
故选：D．
2．解：把圆柱体沿着AC直线剪开，得到矩形如下：
则AB的长度为所求的最短距离，
根据题意圆柱的高为4cm，底面半径为cm，
则可以知道AC＝4cm，BC＝底面周长，
∵底面周长为2πr＝2×π×＝6（cm），
∴BC＝3cm，
∴根据勾股定理得出AB2＝AC2+BC2，
即AB2＝42+32，
∴AB＝5（cm）．
答：蚂蚁至少要爬行5cm路程才能食到食物，
故选：A．
3．解：如图所示：∠1＝∠2＝45°，AB＝12×1.5＝18（海里），AC＝16×1.5＝24（海里），
∴∠BAC＝∠1+∠2＝90°，即△ABC是直角三角形，
∴BC＝30（海里）．
故选：C．
4．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2
＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝132﹣102
＝69．
故选：D．
5．解：A、不是正整数，该组数不是勾股数，不符合题意．
B、1.5，2.5不是正整数，该组数不是勾股数，不符合题意．
C、由于92+122＝152，所以该数是勾股数，符合题意．
D、由于42+52≠62，所以该组数不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
6．解：∵一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，
∴折断的部分长为＝5（米），
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故选：B．
7．解：过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，
∵EF＝2AB＝2CD，AB＝3，
∴CD＝3，EF＝6，
根据题意，AG＝AB+CD+EF＝12，GF＝BC+DE＝16，
在Rt△AGF中，
AF＝20．
故选：B．
8．解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，
即S3＝6+10+4+6＝26．
故选：B．
9．解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝25（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故选：B．
10．解：设另一条直角边是a，斜边是c．根据题意，得，联立解方程组，得．故选D．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：a2+b2＝c2，
∵c＝12，
∴a2+b2＝144，
∵a+b＝16，
∴a2+b2+2ab＝256，
∴ab＝56，
∴Rt△ABC的面积为：ab＝，
故答案为：28．
12．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，
∵∠QON＝30°，OA＝240米，
∴AC＝120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，
∵AB＝200米，AC＝120米，
∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，
∵火车在铁路MN上沿ON方向以72km/h＝20米/秒的速度行驶，
∴影响时间应是：320÷20＝16（秒）．
故答案为：16．
13．解：设小正方形的边长是1，连接AD，
∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
即△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAC+∠DAC+∠CDE＝180°，
∴∠BAC+∠CDE＝45°，
故答案为：45°．
14．解：连接AE，
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，又EO⊥AC，
∴∠AEO＝∠CEO，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CEO，
∴∠AEO＝∠ADE，
∴AD＝AE，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即102+（20﹣AE）2＝AE2，
∴AE＝，
∴AD＝AE＝，
故答案为：．
15．解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：
62+x2＝（16﹣6）2，
解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．
故答案为：8．
16．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝8
当AB＝AP时，由△ABC≌△APC可知：
PC＝BC＝8
∴BP＝16，
∴t＝16，
当BA＝BP时，BP＝10，
∴t＝10，
当PA＝PB时，设BP＝x，
在Rt△ACP中，
由勾股定理得：
（8﹣x）2+62＝x2，
∴x＝，
∴BP＝．
∴t＝．
故答案为：16或10或．
17．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，
∴BC2+AC2＝AB2＝16，
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，
∴图中的阴影部分的面积是BC2+AC2＝×16＝8．
故答案为：8．
18．解：∵两个正方形的面积分别是64和49，
∴AB＝BD＝8，DC＝7，
根据勾股定理得：AC＝17．
19．解：如图，∵勾AE＝6，弦AD＝弦AB＝10，
∴股BE＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4．
故答案是：4．
20．解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD＝9，
在Rt△ACD中，
CD＝5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD＝9，
在Rt△ACD中，CD＝5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的周长为：15+13+4＝32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．
综上所述，△ABC的周长是42或32．
故填：42或32．
三．解答题（共7小题21、22、23每小题8分，余下每小题9分，共计60分）
21．证明：（1）∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝xcm，∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝xcm，
∵△BDC为直角三角形，
∴△ADC也为直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴x2＝（x﹣5）2+122，
解得：，
∴＝＝．
22．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴△ACB是直角三角形，
∵BC＝120米，AB＝130米，
∴AC＝50（米），
∵CD＝30米，AD＝40米，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）由（1）得：种植草坪的面积为：
×AC×BC﹣×AD×DC＝×50×120﹣×30×40＝2400（平方米），
∵种植草坪的费用每平方米300元，
∴2400×300＝720000（元），
答：种植草坪的总费用为720000元．
23．解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得：
CD＝20（米），
所以CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米），
答：风筝的高度CE为21.7米．
（2）由等积法知：BD×DC＝BC×DH，
解得：DH＝＝12，
在Rt△BHD中，BH＝9（米），
答：BH的长度为9米．
24．解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长．
在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）．
由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329．
所以AB＝73（cm）．
因此，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73cm．
25．解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：AB＝20．
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴AE＝BE＝AB＝10．
26．（1）证明：连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；
（2）解：∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝8，
在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，
∵CE＝BE，
∴62+AE2＝（8﹣AE）2，
解得：AE＝，
∴AE的长为．
27．解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2，
即c2＝a2+b2；
（2）连接EC，CD，
∵Rt△ABC≌Rt△DAE，
∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°＝∠BAC+∠AED，
∴∠AFE＝90°，
∴AC⊥DE，
∵四边形ABCD的面积＝（BC+AD）×AB＝，
四边形AECD的面积＝S△AEC+S△ACD＝AC×DE＝b2，
∴△BEC的面积＝四边形ABCD的面积﹣四边形AECD的面积＝﹣b2＝ac﹣a2，
∴c2+a2＝b2．