《1.1菱形的性质与判定》同步能力提升训练（附答案）2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
同步能力提升训练（附答案）
一．选择题（共10小题）
1．如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（　　）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
2．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝4，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．48
B．32
C．16
D．12
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断平行四边形ABCD是菱形的为（　　）
A．AO＝CO
B．AO＝BO
C．∠AOB＝90°
D．∠BAD＝∠ABC
4．下列四边形中不一定为菱形的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形
B．对角线平分一组对角的平行四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形
D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
5．已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．其中能使平行四边形ABCD是菱形的有（　　）
A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为4，6，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A．3
B．
C．
D．
7．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A．
B．2
C．
D．
8．如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（　　）
A．10
B．12
C．13
D．
9．如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（　　）
A．15
B．16
C．19
D．20
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（　　）
①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
A．①③④
B．①④
C．①②③
D．②③④
二．填空题（共7小题）
11．已知菱形ABCD，∠ABC＝60°，一条对角线长为6，则菱形的边长为
　
　．
12．如图，菱形ABCD中，DB为对角线，AB＝5，DB＝6，点E为边AB上一点，则阴影部分的面积为
　
　．
13．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的一点，且AD＝AE，若OE＝1，OD＝5，则菱形ABCD的面积为
　
　．
14．数学兴趣小组根据赵爽弦图启发设计了如图图形：其中四边形ABCD为菱形，△ADH、△CBF、△AEB、△CGD均为直角三角形．若AH＝，DH＝1，CG＝2，则EF的长为
　
　．
15．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足　
　时，四边形EGFH是菱形．
16．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，过对角线AC延长线上的一点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为E、F，则PE﹣PF＝　
　．
17．如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是　
　．
三．解答题（共6小题）
18．菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若BE＝10，BD＝6，求菱形ABCD的面积．
19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AD＝3，CD＝，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长．
21．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值，如果变化，说明理由．
22．如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题：
（1）求证：OB＝OD；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）求AM的长．
23．如图，在平行四边形ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形．
（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形GEHF是菱形？请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，
在△ABD中，
∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：B．
2．解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF＝BC，
∴BC＝2EF＝2×4＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，
∴菱形ABCD的周长＝32，
故选：B．
3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
4．解：对角线相等的平行四边形是矩形，两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形；四条边都相等的四边形为菱形；有一条对角线平分一组对角的平行四边形为菱形；用两个全等的等边三角形拼成的四边形为菱形．
故选：A．
5．解：①?ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定?ABCD是菱形；故①正确；
②?ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定?ABCD是矩形，而不能判定?ABCD是菱形；故②错误；
③?ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定?ABCD是菱形；故③正确；
D、?ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定?ABCD是矩形，而不能判定?ABCD是菱形；故④错误．
故选：A．
6．解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝2，BO＝BD＝3，AC⊥BD，
在Rt△BOC中，
∴BC＝＝＝，
∵S菱形ABCD＝AC?BD＝×4×6＝12，
又∵S菱形ABCD＝BC?AE，
∴AE＝12，
∴AE＝，
故选：B．
7．解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝6﹣x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CG＝，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×2＝，
即图中重叠（阴影）部分的面积为，故选：C．
8．解：由作图过程可知：OC＝OD，OC＝CE＝DE，
∵OC＝OD＝DE＝CE，
∴四边形ODEC是菱形．
如图，连接CD交OE于点F
，
∵四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD，OF＝FE＝OE＝8，OC＝10，
∴CF＝DF＝6，
∴CD＝12．
故选：B．
9．解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是4，
∴AE＝AF＝4，
∵S四边形ABCD＝AE?BC＝AF?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，
，
设AB＝BC＝x，则BE＝8﹣x，
∵BC2＝BE2+CE2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
解得x＝5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：
5×4＝20，
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
二．填空题（共7小题）
11．解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
当AC＝6时，
∴AB＝AC＝6，
当BD＝6时，则BO＝3，
设AO＝x，AB＝2x，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
x2+32＝（2x）2，
∵x＞0，
∴x＝，
∴AB＝2，
∴菱形的边长为：6或2．
故答案为：6或2．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝3，AC⊥BD，
∴AO＝，
∴AC＝2AO＝8，
∴菱形ABCD的面积＝，
∴△DCE的面积＝12，
∴阴影部分的面积＝12，
故答案为：12．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2DO＝10，
∵AD＝AE，
∴AD＝AE＝AO+OE＝1+OA，
∵AD2＝OD2+AO2，
∴（1+OA）2＝25+AO2，
∴AO＝12，
∴AC＝24，
∴菱形ABCD的面积＝＝＝120，
故答案为：120．
14．解：∵△ADH、△CBF、△AEB、△CGD均为直角三角形，
∴AH⊥DH，BE⊥AH，CF⊥BE，DG⊥CF，
∴四边形EFGH是矩形，
∴HG＝EF，
∵AH＝，DH＝1，
∴AD2＝AH2+DH2＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DG＝＝＝2，
∴EF＝HG＝1，
故答案为1．
15．解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG∥AB，同理HF∥AB，∴EG∥HF，EG＝HF＝AB，
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵EG＝AB，又可同理证得EH＝CD，
∵AB＝CD，∴EG＝EH，
∴四边形EGFH是菱形．
故答案为AB＝CD．
16．解：连接BD，AC交BD于O，如图：
∵菱形ABCD，∠ABC＝120°，AB＝4，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝4，BD⊥AC，
Rt△AOD中，OD＝AD＝2，OA＝，
∴AC＝2OA＝4，
Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE＝AP，
Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF＝CP，
∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，
∴PE﹣PF＝2，
故答案为：2．
17．解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝10，∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，
∵∠BOD＝90°，BD＝10，
∴EO＝5，
故AO的最小值为：AO＝AE﹣EO＝5﹣5．
故答案为：5﹣5．
三．解答题（共6小题）
18．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB＝90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，
∴∠AOB＝∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）∵四边形ACDE是平行四边形，BE＝10，BD＝6，
∴DE∥AC，DC＝AE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝AB＝DC，OD＝3，
∴ED⊥BD，
∴BE＝2AE＝2AB＝AD＝10，
∴AD＝5，
在Rt△AOD中，OA＝，
∴AC＝8，
∴菱形ABCD面积＝．
19．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH＝30°，
∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，
∴DC＝DH＝DF＝6，
∴DF＝2，
∴菱形BEDF的边长为2．
20．（1）证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AF＝CF，AE＝CE，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：过C作CH⊥AD于H，
则∠CHD＝∠CHF＝90°，
∵∠D＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴CH＝DH＝CD＝1，
∵AD＝3，
∴AH＝2，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝CF，
设AF＝CF＝x，则FH＝2﹣x，
在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2＝FH2+CH2，
即x2＝（2﹣x）2+12，
解得：x＝，
∴AF＝CF＝，
∴菱形AECF的周长＝×4＝5．
21．（1）证明：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠B＝60°，∠BAC＝∠BAD＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE＝CF；
（2）解：四边形AECF的面积不会发生变化．理由如下：
∵△BAE≌△CAF，
∴S△ABE＝S△ACF，
∴S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，
∵△ABC的面积是定值，
∴四边形AECF的面积不会发生变化．
如图，作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC＝BC＝4，
∴BH＝BC＝2，
AH＝AB?sin∠B＝4×＝2，
∴S四边形AECF＝S△ABC＝BC?AH＝×4×2＝4．
22．（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OB＝OD；
（2）证明：∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD为平形四边形，
∵OB＝OD＝BD＝4，OA＝OC＝AC＝3，AB＝5，
∴OB2+OA2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝AB＝5，
∴BC?AM＝AC?BD，
即5AM＝×6×8，
∴AM＝．
23．证明：（1）如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E，F分别为OB，OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF＝OA，
同理EH∥OC，EH＝OC，
∴EH∥GF，EH＝GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）当?ABCD满足AB⊥BD时，四边形GEHF是菱形．理由如下：
如图2，连接AC，GH，
∵四边形ABCD是平行四边形，G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB∥GH，
∵AB⊥BD，
∴GH⊥BD，即GH⊥EF，
又∵四边形GEHF是平行四边形，
∴四边形GEHF是菱形．