2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.2用配方法求解一元二次方程同步优生辅导训练（word解析版）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.2用配方法求解一元二次方程》
同步优生辅导训练（附答案）
1．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5
B．（x﹣2）2＝3
C．（x+2）2＝5
D．（x+2）2＝3
2．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（　　）
A．17
B．11
C．15
D．11或15
3．若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣2
B．x1＝1，x2＝0
C．x1＝3，x2＝﹣2
D．x1＝3，x2＝0
4．若方程（x﹣1）2＝m有解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤0
B．m≥0
C．m＜0
D．m＞0
5．已知实数a，b同时满足a2+b2﹣11＝0，a2﹣5b﹣5＝0，则b的值是（　　）
A．1
B．1，﹣6
C．﹣1
D．﹣6
6．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（　　）
A．M≥N
B．M＞N
C．M≤N
D．M＜N
7．若a2+6a+b2﹣4b+13＝0，则ab的值是（　　）
A．8
B．﹣8
C．9
D．﹣9
8．方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是　
　．
9．若（2x+3y）2+2（2x+3y）﹣4＝0，则2x+3y的值为　
　．
10．方程x2﹣2x﹣5＝0配方后可化为　
　．
11．方程（x+1）2＝4的根是　
　．
12．已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣6y+10的最小值是　
　．
13．解方程：（1）6（x﹣1）2﹣54＝0．
（2）解方程：x（x+8）＝﹣6．
14．解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
15．已知等腰△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b满足：a2+b2＝6a+12b﹣45，求△ABC的周长．
16．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4．
（1）求m的值；
（2）求的值．
17．阅读材料：若x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值．
解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣8y+16）＝0．
∴（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0，
∴（x﹣y）2＝0，（y﹣4）2＝0，
∴y＝4，x＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
已知a、b满足2a2+b2+2ab﹣6a+9＝0．求a、b的值．
18．我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝　
　＝　
　．﹣a2+12a＝　
　＝　
　．
（2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
（3）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
19．【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
20．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣2﹣6＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2+4x﹣5＝　
　；
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值，并求出这个最大值．
参考答案
1．解：方程x2+4x+1＝0，
整理得：x2+4x＝﹣1，
配方得：（x+2）2＝3．
故选：D．
2．解：（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
解得x1＝5，x2＝1．
若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；
若x＝1时，6﹣4＝2，不能构成三角形，
则此三角形的周长是15．
故选：C．
3．解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，
∴a（x+m﹣1）2+b＝0，
又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，
解得x1＝3，x2＝0，
故选：D．
4．解：根据题意得m≥0时，方程有实数解．
故选：B．
5．解：∵a2+b2﹣11＝0，①
a2﹣5b﹣5＝0，②
∴①﹣②得
b2+5b﹣6＝0，
（b+6）（b﹣1）＝0，
∴b1＝﹣6，b2＝1．
当b＝﹣6时，
a2＝﹣25，方程无实数根，不合题意，舍去．
∴b＝1．故选：A．
6．解：M﹣N＝（2x2﹣12x+15）﹣（x2﹣8x+11），
＝x2﹣4x+4，
＝（x﹣2）2．
∵（x﹣2）2≥0，
∴M≥N．
故选：A．
7．解：已知等式变形得：（a2+6a+9）+（b2﹣4b+4）＝0，
即（a+3）2+（b﹣2）2＝0，
可得a+3＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝﹣3，b＝2，
则原式＝（﹣3）2＝9．
故选：C．
8．解：∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴方程a（x+m+2）2+b＝0的两个解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：x3＝﹣4，x4＝﹣1．
9．解：设t＝2x+3y，方程变形得：t2+2t﹣4＝0，
配方得：t2+2t+1＝5，即（t+1）2＝5，
开方得：t+1＝±，
即t＝﹣1±，
则2x+3y的值为﹣1±．
故答案为：﹣1±．
10．解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x+1＝6，
∴（x﹣1）2＝6，
故答案为：（x﹣1）2＝6．
11．解：由原方程，得x+1＝±2．
解得．
故答案是：．
12．解：y2﹣6y+10＝y2﹣6y+32+1＝（y﹣3）2+1≥1，
则代数式y2﹣6y+10的最小值是1．
故答案为：1．
13．（1）解：∵6（x﹣1）2﹣54＝0，
∴6（x﹣1）2＝54，
∴（x﹣1）2＝9，
则x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得x1＝4，x2＝﹣2．
（2）解：方程整理得：x2+8x＝﹣6，
配方得：x2+8x+16＝10，即（x+4）2＝10，
开方得：x+4＝±，
解得：x1＝﹣4+，x2＝﹣4﹣．
14．解：（1）∵（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x1＝5，x2＝1；
（2）∵x2﹣4x﹣8＝0，
∴x2﹣4x＝8，
则x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．
15．解：a2+b2＝6a+12b﹣45，
a2﹣6a+9+b2﹣12b+36＝0，
（a﹣3）2+（b﹣6）2＝0，
则a﹣3＝0，b﹣6＝0，
解得，a＝3，b＝6，
∵△ABC为等腰三角形，
∴三边长分别为3、6、6，
∴△ABC的周长为3+6+6＝15．
16．解：（1）ax2＝b，
x2＝，
x＝，
即方程的两根互为相反数，
∵一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4．
∴m+1+2m﹣4＝0，
解得：m＝1；
（2）当m＝1时，m+1＝2，2m﹣4＝﹣2，
∵x＝±，一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4，
∴＝（±2）2＝4．
17．解：∵2a2+b2+2ab﹣6a+9＝0，
∴a2﹣6a+9+a2+b2+2ab＝0．
∴（a﹣3）2+（a+b）2＝0，
∴a﹣3＝0且a+b＝0．
∴a＝3，b＝﹣3．
18．解：（1）根据题意得：a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4；﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36；
故答案为：a2﹣4a+4﹣4；（a﹣2）2﹣4；﹣（a2﹣12a+36）+36；﹣（a﹣6）2+36；
（2）存在，理由为：
∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36≤36，
∴当a＝2时，代数式a2﹣4a存在最小值为﹣4；
（3）根据题意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，
则x＝3时，S最大值为9．
19．解：（1）x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+22﹣22﹣5
＝（x﹣2）2﹣9．
（2）x2﹣2x﹣35
＝x2﹣2x+1﹣1﹣35
＝（x﹣1）2﹣62
＝（x﹣1+6）（x﹣﹣6）
＝（x+5）（x﹣7）．
（3）△ABC为等边三角形，理由如下：
∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
∴a＝b，b＝1，c＝1，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15
＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2
＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，
∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
20．解：（1）原式＝x2+4x+4﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）；
（2）﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x2+2x）+3＝﹣2（x2+2x+1）+2+3＝﹣2（x+1）2+5，
∵﹣2（x+1）2≤0，
∴当x＝﹣1时，多项式﹣x2﹣4x+3有最大值5．