2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.4用因式分解法求解一元二次方程同步优生辅导训练（word解析版）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》
同步优生辅导训练（附答案）
1．一元二次方程x2＝3x的根是（　　）
A．3
B．3或﹣3
C．0或3
D．或
2．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）
A．
B．4
C．25
D．5
3．在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，AB的长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则△ABC的周长为（　　）
A．16
B．16或18
C．17
D．18
4．已知直角三角形的两条边长恰好是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则此直角三角形的面积是（　　）
A．2
B．1或
C．1
D．2或
5．方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝5
B．x＝2
C．x＝5或x＝2
D．x＝1或x＝2
6．方程（2x﹣3）（x﹣3）＝2x﹣3的解为（　　）
A．x＝
B．x＝3
C．x1＝，x2＝3
D．x1＝，x2＝4
7．如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝1
B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1
D．x1＝3；x2＝1
8．矩形ABCD的一条对角线长为5，边AB的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．12
B．20
C．2
D．12或2
9．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为　
　．
10．当x＝　
　时，两个代数式1+x2，x2﹣2x+3的值相等．
11．已知一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为　
　．
12．方程3x（x﹣3）＝2（x﹣3）（x+2）的根是　
　．
13．方程9（x+1）2﹣（1﹣2x）2＝0的根为　
　．
14．若一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根分别是矩形的边长，则矩形对角线长为　
　．
15．已知代数式2x（x+1）与代数式3x﹣3的值互为相反数，则x的值为　
　．
16．若2和﹣3是方程x2+bx+c＝0的两个根，则二次三项式x2+bx+c可分解为　
　．
17．解方程：（x+1）﹣2（x2﹣1）＝0．
18．解方程：x（x﹣5）＝5﹣x．小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），
方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
19．用适当方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝（2x﹣1）（x﹣2）．
（2）2x2﹣7x+1＝0．
20．阅读：材料1：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，最高次项的系数不为零，这样的整式方程叫做一元二次方程，它有一种解法是利用因式分解来解的，如解方程：x2﹣3x+2＝0，左边分解因式得（x﹣1）（x﹣2）＝0，所以x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以原方程的解是x＝1或x＝2．
材料2：立方和公式用字母表示为：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2），
（1）请利用材料1的方法解方程：x2﹣6x+5＝0；
（2）请根据材料2类比写出立方差公式：x3﹣y3＝　
　；（提示：可以用换元方法）
（3）结合材料1和2，请你写出方程x6﹣9x3+8＝0的两个解．
参考答案
1．解：∵x2＝3x，
∴x2﹣3x＝0，
则x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
故选：C．
2．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，
即AC＝4，BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，
由勾股定理得：AD＝＝，
故选：A．
3．解：∵x2﹣9x+20＝0，
∴（x﹣5）（x﹣4）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝5，x2＝4，
当AB＝AC＝4时，4+4＝8，不符合三角形三边的关系，舍去；
当AB＝AC＝5，△ABC的周长为5+5+8＝18．
故选：D．
4．解：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝1．
当直角三角形的两条直角边分别是2和1时，此直角三角形的面积为：×2×1＝1；
当直角三角形的斜边为2时，另一直角边为：＝．
∴此直角三角形的面积为：×1×＝．
故选：B．
5．解：∵（x﹣2）2＝3（x﹣2），
∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，
∴x＝2或x＝5，
故选：C．
6．解：∵（2x﹣3）（x﹣3）＝2x﹣3，
∴（2x﹣3）（x﹣3）﹣（2x﹣3）＝0，
∴（2x﹣3）（x﹣4）＝0，
则2x﹣3＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝，x2＝4．
故选：D．
7．解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，
故选：A．
8．解：∵边AB的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，
x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
当AB＝2时，利用勾股定理可求得相邻的边为＝，此时矩形ABCD的面积为2×＝2；
当AB＝4时，利用勾股定理可求得相邻的边为＝3，此时矩形ABCD的面积为3×4＝12；
故选：D．
9．解：∴x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得x1＝3，x2＝2，
∴直角三角形的两直角边长分别为3和2，
∵斜边长＝．
故答案为：．
10．解：根据题意，得：1+x2＝x2﹣2x+3，
整理，得：﹣2x+2＝0，
解得x＝1，
故答案为：1．
11．解：∵x2﹣10x+21＝0，
∴（x﹣3）（x﹣7）＝0，
∴x1＝3，x2＝7．
当3为腰时，三边为3，3，7，而3+3＜7，不满足三角形三边的关系，
∴当7为腰时，三边为3，7，7，而3+7＞，满足三角形三边的关系，周长为：7+7+3＝17．
故答案为：17．
12．解：∵3x（x﹣3）＝2（x﹣3）（x+2），
∴3x（x﹣3）﹣2（x﹣3）（x+2）＝0，
解得（x﹣3）（x﹣4）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
故答案为：x1＝3，x2＝4．
13．解：[3（x+1）+（1﹣2x）][3（x+1）﹣（1﹣2x）]＝0，
（x+4）（5x+2）＝0，
x+4＝0，或5x+2＝0，
x1＝﹣4，x2＝﹣．
故答案为：x1＝﹣4，x2＝﹣．
14．解：
解方程x2﹣7x+12＝0得：x1＝3，x2＝4，
即AD＝4，AB＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠BAD＝90°，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝＝＝5．
故答案为：5．
15．解：根据题意，得：2x（x+1）+3x﹣3＝0，
整理，得：2x2+5x﹣3＝0，
则（x+3）（2x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或2x﹣1＝0，
解得x＝﹣3或x＝0.5，
故答案为：﹣3或0.5．
16．解：因为2和﹣3是方程x2+bx+c＝0的两个根，
所以b＝1，c＝﹣6，
∴x2+bx+c，
＝x2+x﹣6，
＝（x﹣2）（x+3）．
故答案是：（x+2）（x﹣3）．
17．解：（x+1）﹣2（x2﹣1）＝0，
（x+1）﹣2（x+1）（x﹣1）＝0，
（x+1）[1﹣2（x﹣1）]＝0，
x+1＝0或1﹣2（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝．
18．解：方程解答不正确，
正确解答为：方程化简得：x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），
移项得：x（x﹣5）+（x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0，
可得x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
19．解：（1）（x﹣2）2＝（2x﹣1）（x﹣2），
（x﹣2）[（x﹣2）﹣（2x﹣1）]＝0，
则x﹣2＝0或﹣x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1；
（2）∵a＝2，b＝﹣7，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
20．解：（1）∵x2﹣6x+5＝0，
∴（x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得，x1＝5，x2＝1；
（2）∵x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2），
∴x3﹣y3
＝x3+（﹣y）3
＝（x﹣y）（x2+xy+y2），
故答案为：（x﹣y）（x2+xy+y2）；
（3）∵x6﹣9x3+8＝0，
∴（x3﹣1）（x3﹣8）＝0，
∴（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣2）（x2+2x+4）＝0，
∴x﹣1＝0或x2+x+1＝0或x﹣2＝0或x2+2x+4＝0，
解得，x1＝1，x2＝2．