2.1 等式性质与不等式性质同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学培优卷（人教A版2019必修第一册）（word含答案解析）

2021-2022学年高一数学培优小卷（人教A版2019）
第2.1课时
等式性质与不等式性质
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意
1．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为，，，则下列选项中能反映，，关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人400元，请瓦工共需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20
000元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是
A．
B．
C．
D．
3．若某高速公路规定行驶的各种车辆的速度不得大于120km/h行驶过程中，同一车道上的车间距不得小于100m则用不等式（组）可表示为（
）
A．或
B．
C．
D．
4．已知，，，则与的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
5．若，则下列结论中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．将一根长的绳子截成两段，已知其中一段的长度为，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（
）
A．
B．或
C．
D．
7．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．已知，则下列命题中正确的是
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若，则
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意
9．已知均为实数，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若则
10．若实数，满足，下列四个不等式正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．
11．已知实数，，满足，且，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．下面列出的几种不等关系中，正确的为（
）
A．不大于3，可表示为“”
B．与2的和是非负数，可表示为“”
C．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮，可表示为“”
D．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且”
E.若某天的温度为，最低温度为，最高温度为，则这天的温度范围可表示为“”
三、填空题。本大题共4小题
13．给出下列命题:
①若,,则;②若,则;
③若,且,则;④若,则.
其中正确命题的序号是______.
14．或,则的大小关系为_________.
15．已知克糖水中有克糖（）若再添上克糖（），则糖水就变甜了试根据此事实提炼一个不等式当且时，________.
16．已知的三边长分别为，，1，则，满足的不等关系是______.
四、解答题。本大题共4小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）当时，与；
（4）与.
18．一公司投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元,该公司通过引进先进技术,在生产线A投资减少了x万元,且每万元的利润提高了0.5x%;若将少用的x万元全部投入B生产线,每万元创造的利润为万元,其中.
(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,用不等关系表示;
(2)若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润,用不等关系表示.
19．已知，，，求证：．
20．已知,用比较法证明:.
21．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地．
22．求证不等式.
参考答案
1．C
【解析】解：由题意得：，，，.
故选C.
2．A
【解析】由题意，可得，化简得，故正确答案为A.
3．B
【解析】由题意知行驶的各种车辆的速度不得大于120km/h并且同一车道上的车间距不得小于100m
则且
故选：B
4．C
【解析】由题意，，
则，
所以，即，
故选C.
5．D
【解析】解：，，
、，，则，故对；
、，则，故对；
、，，故对；
、，成立，故不对．
故选：．
6．D
【解析】由题意，其中一段的长度为可知另一段绳子的长度为，
因为两段细子的长度之差不小于，可得，即.
故选D.
7．A
【解析】，
，
即．．
又，．
综上可得，．
故选：A
8．B
【解析】选项A，若，题中的结论不成立；
选项B，由题意结合不等式的性质可得：，故，题中的结论成立；
选项C，取，，满足，但是不满足，题中的结论不成立；
选项D，当时，满足，但是不满足，题中的结论不成立，
综上可得，只有选项B的结论成立.
故选B.
9．BC
【解析】若，，则，故A错误；
若，，则，化简得，故B正确；
若，则，又，则，故C正确；
若，，，，则，，，故D错误；
故选：BC．
10．ABC
【解析】由题意，因为，可设，则，
对于A中，，当且仅当等号成立，所以A正确；
对于B中，
，所以B成立；
对于C中，，所以C成立．
对于D中，取，则，所以D不成立．
故选：ABC．
11．ABC
【解析】因为实数，，满足，且，
所以，
由，得，故A正确；
由，得，故B正确；
由，得，故C正确；
由，得，当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC
12．DE
【解析】由题意,对于A中，不大于3，应表示为“”，故A错误；
对于B中，与2的和是非负数，应表示为“”，故B错误；
对于C中，小明比小华矮，应表示为“”，故C错误；
对于D中，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以D正确；
对于E中，最低温度为，最高温度为，则这天的温度范围可表示为“”，所以E正确.
故选DE.
13．④
【解析】解:①当时,不成立,故①不正确;
②当时,,故②不正确;
③当,,时,命题不成立,故③不正确;
④若,则,
因为,
则
两边同乘以,得.
又,,故④正确.
故答案为:④
14．
【解析】
因为或，所以
即
故答案为：
15．
【解析】变甜了，意味着含糖量大了即浓度高了，所以当且时，
故答案为：
16．
【解析】解：由三角形三边长的关系得，，且.
17．（1）.（2）.（3）.（4）.
【解析】解：（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以当时，.
（4）因为，所以.
18．(1)(2)
【解析】解:(1)由题意得,整理得.
(2)由题意知,生产线B的利润为万元,
由（1）技术改进后生产线A的利润为万元,
则.
【点睛】
本题考查实际应用中的不等关系,属于基础题
19．
【解析】，
，
又，
，
，
又，
．
20．见解析
【解析】证明:由,可得,,,
又
,
所以.
21．甲先到达B地．
【解析】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，．
方法一
因为，即，所以甲先到达B地．
方法二
，因为，所以，从而，即，所以甲先到达B地．
【点睛】
本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题.
22．证明见解析
【解析】证明:
,
又,
,,,
,当且仅当时取“=”,
,即