3.2.1 函数的单调性和最大（小）值同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学培优卷（人教A版2019必修第一册）（word含答案解析）

2021-2022学年高一数学培优小卷（人教A版2019）
第3.2.1课时
函数的单调性和最大（小）值
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意
1．设函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则
（
）
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2+a)D．f(a2+1)2．函数与的单调递增区间分别为（
）
A．[1，+∞)，[1，+∞)
B．(﹣∞，1]，[1，+∞)
C．(1，+∞)，(﹣∞，1]
D．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)
3．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数f(x)=在（
）
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增
B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增
D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
5．若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．对于定义在D上的函数y=f(x)，若同时满足：①存在区间[a，b]?D，使得?x1∈[a，b]，都有f(x1)=c(c是常数)；②对于D内?x2?[a，b]时，总有f(x2)>c.则称函数y=f(x)是“平底型”函数若函数F(x)=mx+，x∈[﹣2.+∞)是“平底型”函数，则mn=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（
）
A．a2+1
B．a+
C．a-
D．a-
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意
9．下列关于函数的说法正确的是（
）
A．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
B．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
C．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
D．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
10．给出下列命题，其中是错误命题的是（
）
A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4].
B．函数的单调递减区间是
C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数.
D．、是在定义域内的任意两个值，且<，若，则减函数.
11．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（
）
A．y=在R上为减函数
B．y=|f(x)|在R上为增函数
C．y=在R上为增函数
D．y=f(x)在R上为减函数
12．已知函数的定义域为，若存在区间使得：
（1）在上是单调函数；
（2）在上的值域是，
则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（
）
A．；
B．；
C．；
D．．
三、填空题。本大题共4小题
13．已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______.
14．对于函数，在使恒成立的所有实数中，我们把的最大值叫做函数的下确界，则对于，的下确界为_______.
15．函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________．
16．已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.
18．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明．
19．已知二次函数满足，．
（1）求的解析式．
（2）求在上的最大值．
20．对于区间和函数，若同时满足：①在上是单调函数；②函数的值域还是，则称区间为函数的“不变”区间.
（1）求函数的所有“不变”区间；
（2）函数是否存在“不变”区间？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．设函数的图象关于直线对称，
（1）求实数的值；
（2）在（1）的条件下若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
22．对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记．
（1）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若2m﹣n＝2，且m∈[6，+∞），求使得等式H(x)＝f(x)成立的x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求H(x)在区间[0，6]上的最小值．
参考答案
1．D
【解析】当时，选项A、B、C都不正确；
因为，所以，
因为在上为减函数，所以，故D正确.
故选：D
2．A
【解析】解：
，
在上单调递增，
，
在上单调递增，
故选：A.
3．D
【解析】解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，与轴的交点为
其大致图象如图所示：由对称性可知，当时，或，
二次函数在闭区间，上有最大值3，最小值2，
故选：D．
4．C
【解析】f(x)的定义域为{x|x≠1}.
f(x)==-1=-1，
因为函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，
f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增.
故选：C.
5．D
【解析】因为函数在上是单调递减的，
又是R上的单调函数，
所以在[1，+∞)上单调递减，即a>0，
并且，解得，
综上所述，a的取值范围为.
故选：D
6．D
【解析】由，
则即，
所以恒成立，
在上的最小值为，
所以，
整理可得，
解得，
实数的最大值为，
故选：D
7．A
【解析】解：∵
，x∈[﹣2.+∞)是“平底型”函数；
∴存在区间[a，b]?[﹣2，+∞)，使得?x∈[a，b]，都有；
∴；
∴x2+2x+n=m2x2﹣2mcx+c2恒成立；
∴；
∴或；
①当时，F(x)=x+|x+1|；
当x∈[﹣2，﹣1]时，F(x)=﹣1，当x∈(﹣1，+∞)时，F(x)=2x+1>﹣1恒成立；
此时，F(x)是区间[﹣2，+∞)上的“平底型”函数；
②当时，F(x)=﹣x+|x+1|；
当x∈[﹣2，﹣1]时，F(x)=﹣2x﹣1≥1，当x∈(﹣1，+∞)时，F(x)=1；
此时，F(x)不是区间[﹣2，+∞)上的“平底型”函数；
∴m=1，n=1；
∴mn=1.
故选：A.
8．D
【解析】函数f(x)=x2+|x-a|=
当x≥a>时，
函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；
当xf(x)=x2-x+a的对称轴方程为x=，当x=时函数求得最小值为a-.
因为a2-=a2-a+=>0.
所以a2>a-.
所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.
故选：D
9．AD
【解析】当时，函数在区间上单调递减，
当时，函数取得最大值为1；当时，函数取得最小值为．
当时，函数在区间上单调递增，当时，
函数取得最小值为1，当时，函数取得最大值为．
故选：AD．
10．ABC
【解析】解：对于A，因为的定义域为[0，2]，则函数中的，，所以的定义域为，所以A错误；
对于B，反比例函数的单调递减区间为和，所以B错误；
对于C，当定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，而在R上不一定是单调增函数，如下图，显然，
所以C错误；
对于D，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的，
故选：ABC
11．ABC
【解析】对于A，若f(x)=x，则y==，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若f(x)=x，则y==，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1对于y=f(x)，则有y1-y2=[f(x1)][f(x2)]=f(x2)f(x1)>0，
则y=f(x)在R上为减函数，D正确.
故选：ABC
12．ABD
【解析】函数中存在“倍值区间”，则（1）在内是单调函数，（2）或，
对于A，，若存在“倍值区间”，则，，存在“倍值区间”；
对于B，，若存在“倍值区间”，当时，，故只需即可，故存在；
对于C，；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若存在“倍值区间”，，
不符题意；
若存在“倍值区间”，不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；
对于D，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，若存在“倍值区间”，，，，，
即存在“倍值区间”；
故选：ABD．
13．x＜
【解析】因为，所以和化为，
又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，
所以，解得.
故答案为：.
14．
【解析】对于，，，则，
而，，，即.
故答案为：.
15．
【解析】因为对任意的总有
所以函数是上的单调增函数，
从而由得，解得．
故答案为：
16．
【解析】由题意得：解得故答案为：
17．证明见解析.
【解析】证明：?x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，
f(x)=
则f(x1)-f(x2)=
=，
因为x1>x2>-2，
所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，
所以>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增.
18．（1）；（2）在上单调递增；证明见解析．
【解析】（1）∵，∴，∴．
（2）在上是单调递增的，证明如下：
任取，且，
则，
∵，∴．又，∴，
∴，即，
∴在上单调递增．
19．（1）；（2）3．
【解析】（1）设，，则
，
∴由题，恒成立
∴，，得，，，
∴.
（2）由（1）可得，
所以在单调递减，在单调递增，且，
∴.
20．（1）；（2）.
【解析】（1）因为函数在上是增函数，
所以，解得或，或，
因为，
所以
，
所以函数的
“不变”区间是；
（2）假设函数存在“不变”区间，
因为函数单调递增，
所以，消去m得，即，
因为，所以，即，
所以，解得，
所以，
所以，
所以实数的取值范围是
21．（1）；（2）．
【解析】（1）、在数轴上表示点到点、的距离，
他们的和关于对称，
因此点、关于对称，
所以；
（2），
∵对任意实数恒成立，
∴对任意实数x恒成立，
∵，即，
∴，
∴．
22．（1）；（2）；（3）．
【解析】解：（1）由题意可得，恒成立，
即对任意的x恒成立，
所以＝m2﹣12≤0；
（2）因为2m﹣n＝2，所以f(x)＝x2﹣mx+2m﹣2，
由知，，
若当时，，
则当时，有恒成立，
①当时，，所以，
又因为，所以；
②当时，，所以，
因为，，所以2﹣x＞0，m﹣2＞0，所以上式不成立；
综上可知，x的取值范围是；
（3）由（2）知，且
，
即，
所以当时，，
当时，，
①当时，有，
此时，
当时，，
当时，，
故在上，，
②当时，即时，；
故在上，.
综上．