2.2基本不等式同步测试-2021-2022学年上学期高一数学人教版A版（2019）必修第一册（word含答案解析）

2021-2022学年高一数学培优必刷题（人教A版2019必修第一册）
2.2基本不等式
一、单选题（共8小题）
1．新冠病毒疫情期间，
武汉物资紧缺，一批口罩、食物等救灾物资随辆汽车从某市以km/h的速度匀速直达武汉灾区．
已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于km（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（
）
A．70km/h
B．80
km/h
C．90
km/h
D．100
km/h
2．《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（
）
A．（，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）
3．若，则函数的最小值为（
）
A．
B．
C．4
D．5
4．已知正数，满足，则下列结论错误的是（
）．
A．
B．
C．
D．
5．下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知三个正实数，，满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（
）
A．10
B．12
C．16
D．9
8．已知，且，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共4小题）
9．设正实数满足，则（
）
A．
B．
C．有最大值
D．有最小值
10．已知实数，且满足，则下列说法正确的是（
）
A．有最小值
B．有最大值
C．有最小值
D．有最大值
11．已知正数a，b满足，若a+b∈Z，则a+b的值可以是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
12．设，，给出下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（共4小题）
13．若正数，满足，则的最小值是______．
14．已知实数x、y满足x2-xy=1，则y2
+3xy的最小值为_______
15．已知正数满足，则的最大值为____.
16．已知正实数x，y满足，则的最小值为_________．
四、解答题（共5大题）
17．已知a>0，b>0，求证：.
18．（1）若，求函数的最小值，并求此时的值；
（2）已知，比较与的大小.
19．已知x＞2，求函数的最小值．
20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
21．已知函数的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若，证明：．
参考答案
1．C
【详解】
第一辆汽车到达用，由题意，每隔到达一辆，
则最后一辆汽车到达的时间为，
要使这批物资尽快全部到达灾区，即就是最后一辆汽车到达的时间最短，
即求最小时汽车的速度，
因为，当且仅当，即时等号成立，
故选：C．
2．D
【详解】
由图形可知：，，
在直角中，由勾股定理可得：
，
，
，．
故选:D
3．B
【详解】
解：因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
此时函数的最小值为，
故选：．
4．D
【详解】
A：，当且仅当时，等号成立，又因为，所以，即，故A正确；
B：，当且仅当时，等号成立，因为，所以，故B正确；
C：，当且仅当时，等号成立，所以，故C正确；
D：若，则，故D错误；
故选：D.
5．B
由基本不等式可知，故A不正确；
由，可得，即恒成立，故B正确；
当时，不等式不成立，故C不正确；
当时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
6．B
解：，当且仅当，等号成立．
，当且仅当时，等号成立．
因此，当且仅当时，等号成立．
于是的最小值为．
故选：B.
7．D
由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，
当且仅当时取等
所以．
故选：D．
8．D
由，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：D.
9．ACD
由，
当且仅当时等号成立，所以，所以A正确．
由，当且仅当时取等号，
因为，所以B错误；
由，当且仅当时等号成立，
所以C正确；
由，当且仅当时等号成立，
所以D正确．
故选：ACD
10．AC
，解不等式得或，故，
等号当且仅当时取得，故有最小值9，则A对，B错；
，解不等式得或，又，
故，当且仅当时取等号，故有最小值6，则C对，D错，
故选：AC．
11．BC
解：（当且仅当时，取等号），
即，解得：，又a+b=2时，ab=0，不合题意，
故选：BC
12．ACD
由可得，故A正确；
由可得，故B错误；
由，当且仅当时取等号，故C正确；
由，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
13．
当且仅当即
时等号成立，
所以的最小值是，
故答案为：.
14．-1
,
当且仅当时取“=”，
∴的最小值为-1，
故答案为：-1.
15．
因为，所以，即；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
解得；
所以，当且仅当时，即时，
取到最大值.
故答案为：.
16．
由可得，且，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
17．证明见解析.
证明：因为，，所以由基本不等式得
，
，
两式相乘得，
当且仅当，时等号成立.
故不等式得证.
18．（1）当时，函数取最小值4；（2）见解析.
（1）因为，所以，当且仅当即时，等号成立，
所以函数的最小值为4，此时；
（2）由题意，
，
因为，所以，
所以当时，，；
当时，，.
19．6
解：∵，∴，
故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为6.
20．（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
21．（1）；（2）证明见解析．
（1）当时，；
当时，；
当时，，
所以．
（2）由，得，即，当且仅当时取等号，所以．
因为，
且仅当时取等号，
所以．