角的度量与计算(第2课时)
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1．(2020·自贡中考)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是(
)
A．50°
B．70°
C．130°
D．160°
2．如图，已知A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是(
)
A．∠2－∠1 B．∠2－∠1
C．(∠2－∠1)
D.
∠2－∠1
3．如图，O为直线AB上一点，∠DOC为直角，OE平分∠BOC，OF平分∠AOD，OG平分∠AOC，下列结论：①∠BOE与∠DOF互为余角；②2∠AOE－∠BOD＝90°；③∠EOD与∠COG互为补角；④∠BOE－∠DOF＝45°；其中正确的是(
)
A．①②③④
B．③④
C．②③
D．②③④
4．(2020·通辽中考)如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″.则∠BOC的度数是____．
5．如果一个角的余角的2倍比它的补角少30°，则这个角的度数是____．
6．(2020·大庆中考)将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝____．
7．设∠α，∠β的度数分别为(2n＋5)°和(65－n)°，且∠α，∠β都是∠γ的补角．
(1)求n的值；
(2)∠α与∠β能否互余，请说明理由．
8．如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON＝50°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
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9．已知∠AOC＝∠BOD＝α(0°＜α＜180°).
(1)如图1，若α＝90°
①写出图中一组相等的角(除直角外)__________，理由是____________；
②试猜想∠COD和∠AOB在数量上是相等、互余、还是互补的关系，并说明理由；
(2)如图2，∠COD＋∠AOB和∠AOC满足的等量关系是____________；当α＝____________°，∠COD和∠AOB互余．
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何
图
形
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常见的几何图形
1．下列几何体中，是棱锥的为(D)
2．下列几何体中，不完全是由平面围成的是(D)
3.如图是交通禁止驶入标志，组成这个标志的几何图形有(A)
A．圆、长方形 B．圆、线段
C．球、长方形
D．球、线段
4．(2021·西安雁塔区月考)下列几何体中，棱柱的个数为__4__
.
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立体图形和平面图形的关系
5．如图所示的沙漏，可以看作是由下列所给的哪个平面图形绕虚线旋转一周而成的(D)
6．(2021·成都锦江区期中)下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是(D)
7．如图，这是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，求yx的值．
解：由图可得：2和6相对，3x和x相对，(y－1)和5相对，所以2＋6＝3x＋x，2＋6＝y－1＋5，
解得：x＝2，y＝4，所以yx＝42＝16.
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1．如图，组成这个美丽图案的图形有(A)
A．三角形和半圆
B．圆和四边形
C．圆和三角形
D．圆和扇形
2．(2020·天水中考)某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是(D)
A．文
B．羲
C．弘
D．化
3．一个长方形的长和宽分别为3
cm和2
cm，依次以这个长方形的长和宽所在的直线为旋转轴，把长方形旋转一周形成圆柱体甲和圆柱体乙，两个圆柱体的体积分别记作V甲，V乙，侧面积分别记作S甲，S乙，则下列说法正确的是(A)
A．V甲＜V乙，S甲＝S乙
B．V甲＞V乙，S甲＝S乙
C．V甲＝V乙，S甲＝S乙
D．V甲＞V乙，S甲＜S乙
4．如图所示的图形中，不是锥体的是__(3)__．
5．(2021·简阳期末)如图是由六个棱长为1的正方体组成的几何体，则从上面看得到的平面图形的面积是__5__．
6．一个正方体的六个面上分别标有－1，－2，－3，－4，－5，－6中的一个数，各个面上所标数字都不相同，如图是这个正方体的三种放置方法，则数字－3对面的数字是__－2__．
7．如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：
(1)如果面A在多面体的上面，那么哪一面会在下面？
(2)如果面F在多面体的后面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面？
解：(1)如果面A在多面体的上面，那么面C会在下面．
(2)如果面F在多面体的后面，从左面看是面B，那么向外折时面C会在上面，向里折时面A会在上面．
8．已知长方形的长为4
cm.宽为3
cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个几何体．
(1)求此几何体的体积．
(2)求此几何体的表面积．(结果保留π)
解：长方形绕一边所在直线旋转一周，得圆柱．
(1)情况①绕长为4
cm边所在直线旋转：
π×32×4＝36π(cm3)；
情况②绕宽为3
cm边所在直线旋转：π×42×3＝48π(cm3).
(2)情况①表面积为：π×3×2×4＋π×32×2
＝24π＋18π
＝42π(cm2)；
情况②表面积为：π×4×2×3＋π×42×2
＝24π＋32π
＝56π(cm2).
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9．(2020·枣庄中考)欧拉(Euler，1707年～1783年)为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V(Vertex)、棱数E(Edge)、面数F(Flat
surface)之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
(1)观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
__________
棱数E
6
__________
12
__________
面数F
4
5
__________
8
(2)分析表中的数据，你能发现V，E，F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________．
解：(1)填表如下：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
9
12
12
面数F
4
5
6
8
(2)因为4＋4－6＝2，6＋5－9＝2，8＋6－12＝2，6＋8－12＝2，…，所以V＋F－E＝2.
即V，E，F之间的关系式为：V＋F－E＝2.
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- 线段、射线、直线(第1课时)
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线段、射线、直线的概念及表示
1．学校每周一升国旗用的旗杆，给我们的形象可近似地看做(
)
A．直线 B．射线 C．线段 D．折线
2．(2021·铜仁质检)下列各直线的表示法中，正确的是(
)
A．直线A
B．直线AB
C．直线ab
D．直线aB
3．下列说法中，错误的有(
)
①射线是直线的一部分；②画一条射线，使它的长度为3
cm；③线段AB和线段BA是同一条线段；④射线AB和射线BA是同一条射线；⑤直线AB和直线BA是同一条直线．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．下列几个图形中，射线OA，射线OB表示同一条射线的是(
)
5．(2021·吉林质检)如图，直线上有4个点，问：图中有几条线段？几条射线？几条直线？
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线段、射线、直线的性质及画图
6．下列画图的语句中，正确的为(
)
A．画直线AB＝10
cm
B．画射线OB＝10
cm
C．延长射线BA到C，使BA＝BC
D．画线段CD＝2
cm
7．如图，点A，B，C都在直线a上，下列说法错误的是(
)
A．点A在射线BC上
B．点C在直线AB上
C．点A在线段BC上
D．点C在射线AB上
8．(2021·曲靖质检)如图，下列说法错误的是(
)
A.直线AC与射线BD相交于点A
B．BC是线段
C．直线AC经过点A
D．点D在直线AB上
9．如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上．
①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，则会通过点C.其中正确的语句的个数有(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
10．同一平面内三条直线两两相交，最少有____个交点，最多有____个交点．
11．如图，在直线
BC外有一点A.
按下列语句画图：①画线段AC；
②画射线BA；③在线段BC上任取一点D(不同于B,
C)，连接
AD.
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1．已知如图，则下列叙述不正确的是(
)
A.点O不在直线AC上
B．射线AB与射线BC是指同一条射线
C．图中共有5条线段
D．直线AB与直线CA是指同一条直线
2．(2021·朝阳质检)下列说法正确的是(
)
A．画射线OA＝5
cm
B．三条直线相交有3个交点
C．若点C在线段AB外，则AC
D．反向延长射线OA(O为端点)
3．直线l上有5个不同的点A，B，C，D，E，则该直线上一共有线段的数量是(
)
A．8 B．9 C．12 D．10
4．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是根据数学原理____．
5.如图，能用字母表示的以点C为端点的线段的条数为m，能用字母表示的以点C为端点的射线的条数为n，则m－n的值为____．
6．(2021·昌平质检)已知平面内有A，B，C，D四个点，过其中的两点画一条直线，一共可以画____条直线．
7．指出下列句子的错误，并加以改正：
(1)如图1，在线段AB的延长线上取一点C.
(2)如图2，延长直线AB，使它与直线CD相交于点P.
(3)如图3，延长射线OA，使它和线段BC相交于点D.
8．如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图
(1)画直线AB，CD交于E点；
(2)画线段AC，BD交于点F；
(3)连接AD，并将其反向延长；
(4)作射线BC.
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9．(1)观察思考
如图，线段AB上有两个点C，D，请分别写出以点A，B，C，D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段．
(2)模型构建
如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性．
(3)拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
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-角的度量与计算(第1课时)
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1．(2021·昌平质检)下列关系式正确的是(
)
A．23.3°＝23°3′ B．23.3°＝23°30′
C．23.3°＜23°3′
D.
23.3°＞23°3′
2．(2021·莱州期中)下列各角中，是钝角的是(
)
A．周角
B．平角
C．平角
D．平角
3．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，则∠COB的度数为(
)
A．68°46′
B．82°32′
C．82°28′
D．82°46′
4．如果∠1＝4°18′，∠2＝3°79′，∠3＝4.4°，则∠1，∠2，∠3的大小顺序是____．(由大到小排列)
5．如图1是一个的圆(∠AOB＝90°)，芳芳第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分成4份，第三次又加了四条线，将图1等分成8份，第四次又加了八条线，将图1等分成16份，如图2所示，则第n(n＞1)次可将图1等分成____份，当n＝5时，图1中的每份的角度是____(用度，分，秒表示).
6．(2021·厦门期末)计算：
(1)110°36′－90°37′28″；
(2)62°24′17″×4；
(3)50°24′×3＋98°12′25″÷5；
(4)100°23′42″＋26°40′28″＋25°30′16″×4.
7．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝18°30′30″，求∠AOC的度数．
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8．时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？
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线段的比较、画法和线段的性质
1.
(2021·嘉兴质检)如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是(A)
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线
D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离
2．如图，用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短，其中正确的是(A)
A.A′B′＞AB
B．A′B′＝AB
C．A′B′＜AB
D．A′B′≤AB
3.
(2021·咸阳质检)如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段c，使c＝2a＋b.
解：
作法：
(1)作射线AE；
(2)在射线AE上依次截取线段AB＝BC＝a；
(3)在射线CE上截取CD＝b.
则线段AD即为所求．
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线段的中点与和差
4.
(2021·永州质检)如图，点C是线段AB上一点，有下列等式：①AC＝CB；②AC＝AB；③AB－AC＝BC；④AB＝2AC.其中能说明点C是线段AB中点的是(B)
A.①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
5．如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CD＝3
cm，CB＝5
cm，那么AB的长度是(C)
A.9
cm
B．10
cm
C．11
cm
D．12
cm
6．已知A，B两点之间的距离是10
cm，C是线段AB上的任意一点，则AC中点与BC中点间的距离是(C)
A．3
cm
B．4
cm
C．5
cm
D．不能计算
7．(2021·营口质检)如图所示，C，D是线段AB上两点，若AC＝3
cm，C为AD中点且AB＝10
cm，则DB＝(A)
A.4
cm
B．5
cm
C．6
cm
D．7
cm
8．如图，AB＝24，点C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD＝CB，则DB的长度为__20__．
9．A，B，C三点共线，线段AB＝8，BC＝5，则AC＝__3或13__．
10．如图，线段AB＝10
cm，点C为线段AB上一点，BC＝3
cm，点D，E分别为AC和AB的中点，求线段DE的长．
解：因为AB＝10
cm，BC＝3
cm，
所以AC＝AB－BC＝10
cm－3
cm＝7
cm，
又因为
点D为AC的中点，
所以AD＝AC＝×7
cm＝
cm，
同理
AE＝5
cm，
所以DE＝AE－AD＝5
cm－
cm＝
cm.
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1．(2021·通辽质检)现实生活中，总有人乱穿马路(如图中AD)，却不愿从天桥(如图中AB－BC－CD)通过，请用数学知识解释这一现象，其原因是(D)
A.两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
B．过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
2．下列说法中，正确的个数有(C)
①已知线段a，b且a－b＝c，则c的值不是正的就是负的；②已知平面内不共线的三点A，B，C则AB＋BC
＞AC；③延长AB到C，使BC＝AB，则AC＝2AB；④直线上的顺次三点D，E，F，则DE＋EF＝DF.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．(2020·凉山州中考)点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12
cm，则线段BD的长为(C)
A．10
cm B．8
cm
C．10
cm或8cm
D．2
cm或4
cm
4．已知线段AB和CD，如果将CD移动到AB的位置，使点C与点A重合，CD与AB叠合，如果点D在AB的延长线上，那么AB__＜__CD.(填“＞”“＜”或“＝”)
5．如图，点C为线段AB的中点，AD＝2BD，则CD∶AB的值为____．
6．如图，点A在数轴上对应的数为2，若点B也在数轴上，且线段AB的长为4，C为OB的中点，则点C在数轴上对应的数为__－1或3__．
7．已知线段AB＝4.
(1)尺规作图：延长线段AB至点C，使得BC＝AB；
(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)若点E是线段AB的中点，求线段EC的长．
解：(1)如图BC为所作线段；
(2)因为
点E是AB的中点，所以EB＝AB＝2，
因为
BC＝AB＝4，所以EC＝EB＋BC＝2＋4＝6.
8．(2021·安顺质检)如图，已知B
，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD＝2∶4∶3，AD＝18，M是AD的中点，求线段MC的长．
解：
设AB＝2x，BC＝4x
，CD＝3x
，
所以AD＝AB＋BC＋CD＝9x
，
因为AD＝18，所以x＝2，所以CD＝3x＝6，
因为M是AD的中点，所以MD＝AD＝9，
所以MC＝MD－CD＝9－6＝3.
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9．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12
cm，C，D两点分别从点P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为2
cm/s，D点的运动速度为3
cm/s，运动的时间为t
s.
(1)若AP＝8
cm，
①运动1
s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；
(2)如果t＝2
s时，CD＝1
cm，试探索AP的值．
解：
(1)①由题意可知：CP＝2×1＝2(cm)，DB＝3×1＝3(cm).
因为AP＝8
cm，AB＝12
cm，
所以PB＝AB－AP＝4
cm.
所以CD＝CP＋PB－DB＝2＋4－3＝3(cm).
②因为AP＝8
cm，AB＝12
cm，
所以BP＝4
cm，AC＝(8－2t)cm.
所以DP＝(4－3t)cm.
所以CD＝CP＋DP＝2t＋4－3t＝(4－t)cm.
所以AC＝2CD.
(2)当t＝2
s时，CP＝2×2＝4(cm)，
DB＝3×2＝6(cm)，
当点D在点C的右边时，如图所示：
因为CD＝1
cm，所以CB＝CD＋DB＝7
cm.
所以AC＝AB－CB＝5
cm.所以AP＝AC＋CP＝9
cm.
当点D在点C的左边时，如图所示：
所以AD＝AB－DB＝6
cm.
所以AP＝AD＋CD＋CP＝11
cm.
综上所述，AP＝9
cm或11
cm.
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- 线段、射线、直线(第1课时)
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线段、射线、直线的概念及表示
1．学校每周一升国旗用的旗杆，给我们的形象可近似地看做(C)
A．直线 B．射线 C．线段 D．折线
2．(2021·铜仁质检)下列各直线的表示法中，正确的是(B)
A．直线A
B．直线AB
C．直线ab
D．直线aB
3．下列说法中，错误的有(B)
①射线是直线的一部分；②画一条射线，使它的长度为3
cm；③线段AB和线段BA是同一条线段；④射线AB和射线BA是同一条射线；⑤直线AB和直线BA是同一条直线．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．下列几个图形中，射线OA，射线OB表示同一条射线的是(B)
5．(2021·吉林质检)如图，直线上有4个点，问：图中有几条线段？几条射线？几条直线？
解：线段AB，线段AC，线段AD，线段BC，线段BD，线段CD共6条线段；以每个点为端点的射线有2条，共8条；直线有1条．
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线段、射线、直线的性质及画图
6．下列画图的语句中，正确的为(D)
A．画直线AB＝10
cm
B．画射线OB＝10
cm
C．延长射线BA到C，使BA＝BC
D．画线段CD＝2
cm
7．如图，点A，B，C都在直线a上，下列说法错误的是(C)
A．点A在射线BC上
B．点C在直线AB上
C．点A在线段BC上
D．点C在射线AB上
8．(2021·曲靖质检)如图，下列说法错误的是(D)
A.直线AC与射线BD相交于点A
B．BC是线段
C．直线AC经过点A
D．点D在直线AB上
9．如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上．
①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，则会通过点C.其中正确的语句的个数有(B)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
10．同一平面内三条直线两两相交，最少有__1__个交点，最多有__3__个交点．
11．如图，在直线
BC外有一点A.
按下列语句画图：①画线段AC；
②画射线BA；③在线段BC上任取一点D(不同于B,
C)，连接
AD.
解：
如图：
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1．已知如图，则下列叙述不正确的是(B)
A.点O不在直线AC上
B．射线AB与射线BC是指同一条射线
C．图中共有5条线段
D．直线AB与直线CA是指同一条直线
2．(2021·朝阳质检)下列说法正确的是(D)
A．画射线OA＝5
cm
B．三条直线相交有3个交点
C．若点C在线段AB外，则ACD．反向延长射线OA(O为端点)
3．直线l上有5个不同的点A，B，C，D，E，则该直线上一共有线段的数量是(D)
A．8 B．9 C．12 D．10
4．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是根据数学原理__两点确定一条直线__．
5.如图，能用字母表示的以点C为端点的线段的条数为m，能用字母表示的以点C为端点的射线的条数为n，则m－n的值为__2__．
6．(2021·昌平质检)已知平面内有A，B，C，D四个点，过其中的两点画一条直线，一共可以画__1或4或6__条直线．
7．指出下列句子的错误，并加以改正：
(1)如图1，在线段AB的延长线上取一点C.
(2)如图2，延长直线AB，使它与直线CD相交于点P.
(3)如图3，延长射线OA，使它和线段BC相交于点D.
解：(1)错误：点C的位置不在AB的延长线上，而在线段BA的延长线上．应为：如题图1，在线段BA的延长线上取一点C.
(2)错误：直线不能延长．应为：如题图2，直线AB与直线CD相交于点P.
(3)错误：射线OA不能延长．应为：如题图3，反向延长射线OA，使它和线段BC相交于点D.
8．如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图
(1)画直线AB，CD交于E点；
(2)画线段AC，BD交于点F；
(3)连接AD，并将其反向延长；
(4)作射线BC.
解：如图：
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"../突破培优区.TIF"
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9．(1)观察思考
如图，线段AB上有两个点C，D，请分别写出以点A，B，C，D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段．
(2)模型构建
如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性．
(3)拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
解：(1)因为以点A为左端点向右的线段有：线段AB，AC，AD，
以点C为左端点向右的线段有线段CD，CB，
以点D为左端点向右的线段有线段DB，
所以共有3＋2＋1＝6条线段．
(2).
理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x＝(m－1)＋(m－2)＋(m－3)＋…＋3＋2＋1，
所以倒序排列有x＝1＋2＋3＋…＋(m－3)＋(m－2)＋(m－1)，
所以2x有(m－1)个m，为m(m－1)，
所以x＝.
(3)把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，
直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，
因此一共要进行＝28场比赛．
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6
- 线段、射线、直线(第2课时)
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"../基础巩固区.TIF"
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"../知识点一j.TIF"
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线段的比较、画法和线段的性质
1.
(2021·嘉兴质检)如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是(
)
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线
D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离
2．如图，用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短，其中正确的是(
)
A.A′B′＞AB
B．A′B′＝AB
C．A′B′＜AB
D．A′B′≤AB
3.
(2021·咸阳质检)如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段c，使c＝2a＋b.
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"../知识点二j.TIF"
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线段的中点与和差
4.
(2021·永州质检)如图，点C是线段AB上一点，有下列等式：①AC＝CB；②AC＝AB；③AB－AC＝BC；④AB＝2AC.其中能说明点C是线段AB中点的是(
)
A.①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
5．如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CD＝3
cm，CB＝5
cm，那么AB的长度是(
)
A.9
cm
B．10
cm
C．11
cm
D．12
cm
6．已知A，B两点之间的距离是10
cm，C是线段AB上的任意一点，则AC中点与BC中点间的距离是(
)
A．3
cm
B．4
cm
C．5
cm
D．不能计算
7．(2021·营口质检)如图所示，C，D是线段AB上两点，若AC＝3
cm，C为AD中点且AB＝10
cm，则DB＝(
)
A.4
cm
B．5
cm
C．6
cm
D．7
cm
8．如图，AB＝24，点C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD＝CB，则DB的长度为____．
9．A，B，C三点共线，线段AB＝8，BC＝5，则AC＝____．
10．如图，线段AB＝10
cm，点C为线段AB上一点，BC＝3
cm，点D，E分别为AC和AB的中点，求线段DE的长．
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"../常规必做区.TIF"
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1．(2021·通辽质检)现实生活中，总有人乱穿马路(如图中AD)，却不愿从天桥(如图中AB－BC－CD)通过，请用数学知识解释这一现象，其原因是(
)
A.两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
B．过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
2．下列说法中，正确的个数有(
)
①已知线段a，b且a－b＝c，则c的值不是正的就是负的；②已知平面内不共线的三点A，B，C则AB＋BC
＞AC；③延长AB到C，使BC＝AB，则AC＝2AB；④直线上的顺次三点D，E，F，则DE＋EF＝DF.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．(2020·凉山州中考)点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12
cm，则线段BD的长为(
)
A．10
cm B．8
cm
C．10
cm或8cm
D．2
cm或4
cm
4．已知线段AB和CD，如果将CD移动到AB的位置，使点C与点A重合，CD与AB叠合，如果点D在AB的延长线上，那么AB____CD.(填“＞”“＜”或“＝”)
5．如图，点C为线段AB的中点，AD＝2BD，则CD∶AB的值为____．
6．如图，点A在数轴上对应的数为2，若点B也在数轴上，且线段AB的长为4，C为OB的中点，则点C在数轴上对应的数为____．
7．已知线段AB＝4.
(1)尺规作图：延长线段AB至点C，使得BC＝AB；
(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)若点E是线段AB的中点，求线段EC的长．
8．(2021·安顺质检)如图，已知B
，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD＝2∶4∶3，AD＝18，M是AD的中点，求线段MC的长．
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"../突破培优区.TIF"
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9．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12
cm，C，D两点分别从点P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为2
cm/s，D点的运动速度为3
cm/s，运动的时间为t
s.
(1)若AP＝8
cm，
①运动1
s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；
(2)如果t＝2
s时，CD＝1
cm，试探索AP的值．
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7
-角的度量与计算(第1课时)
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1．(2021·昌平质检)下列关系式正确的是(D)
A．23.3°＝23°3′ B．23.3°＝23°30′
C．23.3°＜23°3′
D.
23.3°＞23°3′
2．(2021·莱州期中)下列各角中，是钝角的是(B)
A．周角
B．平角
C．平角
D．平角
3．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，则∠COB的度数为(C)
A．68°46′
B．82°32′
C．82°28′
D．82°46′
4．如果∠1＝4°18′，∠2＝3°79′，∠3＝4.4°，则∠1，∠2，∠3的大小顺序是__∠3＞∠2＞∠1__．(由大到小排列)
5．如图1是一个的圆(∠AOB＝90°)，芳芳第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分成4份，第三次又加了四条线，将图1等分成8份，第四次又加了八条线，将图1等分成16份，如图2所示，则第n(n＞1)次可将图1等分成__2n__份，当n＝5时，图1中的每份的角度是__2°48′45″__(用度，分，秒表示).
6．(2021·厦门期末)计算：
(1)110°36′－90°37′28″；
(2)62°24′17″×4；
(3)50°24′×3＋98°12′25″÷5；
(4)100°23′42″＋26°40′28″＋25°30′16″×4.
解：(1)110°36′－90°37′28″
＝109°95′60″－90°37′28″＝19°58′32″.
(2)62°24′17″×4
＝248°96′68″＝249°37′8″.
(3)50°24′×3＋98°12′25″÷5
＝150°72′＋19°38′29″＝170°50′29″.
(4)原式＝100°23′42″＋26°40′28″＋102°1′4″
＝228°64′74″＝
229°5′14″.
7．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝18°30′30″，求∠AOC的度数．
解：设∠AOC＝x，
因为∠BOC＝2∠AOC，
所以∠BOC＝2x.
所以∠AOB＝3x.
又因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝1.5x.
因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，
所以1.5x－x＝18°30′30″，解得x＝37°1′，
所以∠AOC＝37°1′.
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"../突破培优区.TIF"
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8．时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？
解：(1)分针每分钟转的度数为360÷60＝6(度).
(2)时针每分钟转的度数为360÷(60×12)＝0.5
(度)，设经过x分钟后分针和时针所成的钝角第一次为121度，则(6－0.5)x＝121，即5.5x＝121，计算得出x＝22(分)，故中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°.
(3)设经过y分钟后分针和时针所成的钝角第二次为121度，两针第二次成121度，也就是360－121＝239
(度)时，在第一次成121度基础上那就是再经过239－121＝118(度)，则(6－0.5)y＝118，
即5.5y＝118，计算得出y＝(分)，故分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过分钟两针所成的钝角会第二次等于121°.
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页角的度量与计算(第2课时)
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1．(2020·自贡中考)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是(C)
A．50°
B．70°
C．130°
D．160°
2．如图，已知A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是(C)
A．∠2－∠1 B．∠2－∠1
C．(∠2－∠1)
D.
∠2－∠1
3．如图，O为直线AB上一点，∠DOC为直角，OE平分∠BOC，OF平分∠AOD，OG平分∠AOC，下列结论：①∠BOE与∠DOF互为余角；②2∠AOE－∠BOD＝90°；③∠EOD与∠COG互为补角；④∠BOE－∠DOF＝45°；其中正确的是(D)
A．①②③④
B．③④
C．②③
D．②③④
4．(2020·通辽中考)如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″.则∠BOC的度数是__121°42′32″__．
5．如果一个角的余角的2倍比它的补角少30°，则这个角的度数是__30°__．
6．(2020·大庆中考)将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝__72°__．
7．设∠α，∠β的度数分别为(2n＋5)°和(65－n)°，且∠α，∠β都是∠γ的补角．
(1)求n的值；
(2)∠α与∠β能否互余，请说明理由．
解：(1)由∠α，∠β都是∠γ的补角，得
∠α＝∠β，即(2n＋5)°＝(65－n)°.
解得n＝20；
(2)∠α与∠β互余，理由如下：
∠α＝(2n＋5)°＝45°，∠β＝(65－n)°＝45°，
因为∠α＋∠β＝90°，
所以∠α与∠β互为余角．
8．如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON＝50°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设
∠AOB＝x°，因为
∠AOC
与
∠AOB
互补，则
∠AOC＝180°－x°.
由题意，得
－＝50.
所以180－x－x＝100，解得
x＝40，
故∠AOB＝40°，∠AOC＝140°.
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"../突破培优区.TIF"
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9．已知∠AOC＝∠BOD＝α(0°＜α＜180°).
(1)如图1，若α＝90°
①写出图中一组相等的角(除直角外)__________，理由是____________；
②试猜想∠COD和∠AOB在数量上是相等、互余、还是互补的关系，并说明理由；
(2)如图2，∠COD＋∠AOB和∠AOC满足的等量关系是____________；当α＝____________°，∠COD和∠AOB互余．
解：(1)①因为∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以∠AOD＋∠AOB＝∠BOC＋∠AOB＝90°，
所以∠AOD＝∠BOC.
②因为∠AOD＝∠BOD－∠AOB＝90°－∠AOB，
所以∠COD＝∠AOD＋∠AOC＝90°－∠AOB＋90°，所以∠AOB＋∠COD＝180°，所以∠COD和∠AOB互补．
(2)由(1)可知：∠COD＋∠AOB＝∠BOD＋∠AOC＝α＋α＝2α，
所以，∠COD＋∠AOB＝2∠AOC，
若∠COD和∠AOB互余，则2∠AOC＝90°，
所以，∠AOC＝45°，即α＝45°.
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页角与角的大小比较
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角的概念、表示法和角的比较
1．(2021·深圳质检)下列四个图形中，
能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的(
)
2．(2021·南宁期末)如图，点A位于点O北偏西60°方向上，点B位于点O南偏西20°方向上，则∠AOB的度数是(
)
A．120° B．100° C．80° D．70°
3．图中，小于平角的角有(
)
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
4．如图，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD与∠BOC的关系是(
)
A.
∠AOD>∠BOC B．∠AOD<∠BOC
C．∠AOD＝∠BOC
D．无法确定
5．如图，∠AOB＝90°，以O为顶点的锐角共有____个．
6．(2021·青岛质检)如图，∠BOD＝90°，∠COE＝90°，解答下列问题：
(1)图中有哪些小于平角的角？用适当的方法表示出它们．
(2)比较∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB的大小，并指出其中的锐角、钝角、直角、平角．
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"../知识点二j.TIF"
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角的平分线及应用
7．把一副三角尺的直角顶点O重叠在一起，当OB平分∠AOC时，∠AOD的度数为____．
8．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于____.
9．(2021·邯郸期末)如图，已知∠COB＝2∠BOD，OA平分∠COD，且∠BOD＝42°，求∠AOB的度数．
10．如图，点O在直线AB上，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，如果∠1∶∠2＝1∶2，求∠1的度数．
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"../常规必做区.TIF"
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1．(2021·镇江质检)如图所示，下列说法错误的是(
)
A．∠DAO也可用∠DAC表示
B．∠COB也可用∠O表示
C．∠2也可用∠OBC表示
D．∠CDB也可用∠1表示
2．已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠AOD的度数为(
)
A．20°
B．80°
C．10°或40°
D．20°或80°
3．如图，点O为直线AB上一点，∠COD＝90°，OE平分∠AOD.有下列四种结论，其中一定正确的个数有____________个(
)
①∠AOE＝∠EOD
②∠AOC＝∠EOD
③∠AOC＋∠BOD＝90° ④∠BOD＝2∠COE
A．4
B．3
C．2
D．1
4．如图是用量角器测量角度的结果，如果∠AOB＝∠COD，那么∠AOD的度数是____．
5．如图，已知O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠2＝80°，∠1的度数是____．
6．(2021·哈尔滨期末)如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，则∠AOD的度数是____．
7．已知：如图，∠AOB＝30°，∠COB＝20°，OC平分∠AOD.
求∠COD的度数．
8．如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°，OD是∠AOC的平分线，若∠AOC＝70°.
(1)求∠BOD的度数；
(2)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
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"../突破培优区.TIF"
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9．(2021·郑州质检)如图，已知同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝60°.
(1)
求∠COB
；
(2)如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为____________；
(3)试问在(2)的条件下，如果将题目中∠AOC＝60°改成∠AOC＝2α(α＜45°)，其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
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-角与角的大小比较
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角的概念、表示法和角的比较
1．(2021·深圳质检)下列四个图形中，
能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的(C)
2．(2021·南宁期末)如图，点A位于点O北偏西60°方向上，点B位于点O南偏西20°方向上，则∠AOB的度数是(B)
A．120° B．100° C．80° D．70°
3．图中，小于平角的角有(D)
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
4．如图，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD与∠BOC的关系是(C)
A.
∠AOD>∠BOC B．∠AOD<∠BOC
C．∠AOD＝∠BOC
D．无法确定
5．如图，∠AOB＝90°，以O为顶点的锐角共有__5__个．
6．(2021·青岛质检)如图，∠BOD＝90°，∠COE＝90°，解答下列问题：
(1)图中有哪些小于平角的角？用适当的方法表示出它们．
(2)比较∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB的大小，并指出其中的锐角、钝角、直角、平角．
解：
(1)图中小于平角的角有∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠COD，∠COE，∠DOE，∠DOB，∠EOB，∠COB.
(2)由图可知，∠AOC＜∠AOD＜∠AOE＜∠AOB，其中∠AOC为锐角，∠AOD为直角，∠AOE为钝角，∠AOB为平角．
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角的平分线及应用
7．把一副三角尺的直角顶点O重叠在一起，当OB平分∠AOC时，∠AOD的度数为__135°__．
8．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于__35°__.
9．(2021·邯郸期末)如图，已知∠COB＝2∠BOD，OA平分∠COD，且∠BOD＝42°，求∠AOB的度数．
解：因为∠BOD＝42°，∠COB＝2∠BOD，
所以∠COB＝84°，因为OA平分∠COD，
所以∠AOD＝(∠COB＋∠BOD)＝(84°＋42°)＝63°，
所以∠AOB＝∠AOD－∠BOD＝63°－42°＝21°.
10．如图，点O在直线AB上，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，如果∠1∶∠2＝1∶2，求∠1的度数．
解：
因为OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，所以∠1＝∠BOC，∠2＝∠AOC，
因为∠AOC＋∠BOC＝180°，所以∠1＋∠2＝90°，
因为∠1∶∠2＝1∶2，所以∠1＝30°.
答：∠1的度数为30°.
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"../常规必做区.TIF"
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1．(2021·镇江质检)如图所示，下列说法错误的是(B)
A．∠DAO也可用∠DAC表示
B．∠COB也可用∠O表示
C．∠2也可用∠OBC表示
D．∠CDB也可用∠1表示
2．已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠AOD的度数为(C)
A．20°
B．80°
C．10°或40°
D．20°或80°
3．如图，点O为直线AB上一点，∠COD＝90°，OE平分∠AOD.有下列四种结论，其中一定正确的个数有____________个(B)
①∠AOE＝∠EOD
②∠AOC＝∠EOD
③∠AOC＋∠BOD＝90° ④∠BOD＝2∠COE
A．4
B．3
C．2
D．1
4．如图是用量角器测量角度的结果，如果∠AOB＝∠COD，那么∠AOD的度数是__80°__．
5．如图，已知O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠2＝80°，∠1的度数是__20°__．
6．(2021·哈尔滨期末)如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，则∠AOD的度数是__120°__．
7．已知：如图，∠AOB＝30°，∠COB＝20°，OC平分∠AOD.
求∠COD的度数．
解：
因为∠AOB＝30°，∠COB＝20°(已知)，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠COB＝50°.
因为OC平分∠AOD(已知)，
所以∠AOC＝∠COD(角平分线定义).
所以∠COD
＝50°.
8．如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°，OD是∠AOC的平分线，若∠AOC＝70°.
(1)求∠BOD的度数；
(2)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
解：(1)因为OD是∠AOC的平分线(已知)，∠AOC＝70°，
所以∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝×70°＝35°(角平分线定义)，
因为∠AOD＋∠BOD＝180°，
所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－35°＝145°.
(2)OE平分∠BOC.
理由：因为∠COE＋∠COD＝∠DOE，∠DOE＝90°，
所以∠COE＝∠DOE－∠COD＝90°－35°＝55°.
因为∠AOD＋∠DOE＋∠BOE＝180°，
所以∠BOE＝180°－∠AOD－∠DOE＝180°－35°－90°＝55°，
所以∠COE＝∠BOE＝55°，
所以OE平分∠BOC.
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"../突破培优区.TIF"
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9．(2021·郑州质检)如图，已知同一平面内，∠AOB＝90°，∠AOC＝60°.
(1)
求∠COB
；
(2)如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为____________；
(3)试问在(2)的条件下，如果将题目中∠AOC＝60°改成∠AOC＝2α(α＜45°)，其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
解：见全解全析
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7
-三十 几
何
图
形
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"../基础巩固区.TIF"
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"../知识点一j.TIF"
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常见的几何图形
1．下列几何体中，是棱锥的为(
)
2．下列几何体中，不完全是由平面围成的是(
)
3.如图是交通禁止驶入标志，组成这个标志的几何图形有(
)
A．圆、长方形 B．圆、线段
C．球、长方形
D．球、线段
4．(2021·西安雁塔区月考)下列几何体中，棱柱的个数为____
.
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"../知识点二j.TIF"
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立体图形和平面图形的关系
5．如图所示的沙漏，可以看作是由下列所给的哪个平面图形绕虚线旋转一周而成的(
)
6．(2021·成都锦江区期中)下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是(
)
7．如图，这是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，求yx的值．
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"../常规必做区.TIF"
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1．如图，组成这个美丽图案的图形有(
)
A．三角形和半圆
B．圆和四边形
C．圆和三角形
D．圆和扇形
2．(2020·天水中考)某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是(
)
A．文
B．羲
C．弘
D．化
3．一个长方形的长和宽分别为3
cm和2
cm，依次以这个长方形的长和宽所在的直线为旋转轴，把长方形旋转一周形成圆柱体甲和圆柱体乙，两个圆柱体的体积分别记作V甲，V乙，侧面积分别记作S甲，S乙，则下列说法正确的是(
)
A．V甲＜V乙，S甲＝S乙
B．V甲＞V乙，S甲＝S乙
C．V甲＝V乙，S甲＝S乙
D．V甲＞V乙，S甲＜S乙
4．如图所示的图形中，不是锥体的是____．
5．(2021·简阳期末)如图是由六个棱长为1的正方体组成的几何体，则从上面看得到的平面图形的面积是____．
6．一个正方体的六个面上分别标有－1，－2，－3，－4，－5，－6中的一个数，各个面上所标数字都不相同，如图是这个正方体的三种放置方法，则数字－3对面的数字是____．
7．如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：
(1)如果面A在多面体的上面，那么哪一面会在下面？
(2)如果面F在多面体的后面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面？
8．已知长方形的长为4
cm.宽为3
cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个几何体．
(1)求此几何体的体积．
(2)求此几何体的表面积．(结果保留π)
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"../突破培优区.TIF"
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9．(2020·枣庄中考)欧拉(Euler，1707年～1783年)为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V(Vertex)、棱数E(Edge)、面数F(Flat
surface)之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
(1)观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
__________
棱数E
6
__________
12
__________
面数F
4
5
__________
8
(2)分析表中的数据，你能发现V，E，F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________．
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