第2课时 等差数列的性质
学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题.
知识点一 等差数列的性质
思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
答案 利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
梳理 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
知识点二 由等差数列衍生的新数列
思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
答案 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)
＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)
＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列.
梳理 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N
)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
1.已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率.(√)
2.等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N
，且l＋m＋n＝p＋q＋r，则al＋am＋an＝ap＋aq＋ar.(√)
3.等差数列{an}中，若m＋n为偶数，且m，n∈N
，则＝.(√)
类型一 等差数列推广通项公式的应用
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.
反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.
跟踪训练1 数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N
)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于( )
A.0
B.3
C.8
D.11
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 B
解析 ∵{bn}为等差数列，设其公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝b7＋b6＋…＋b1＋a1
＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1
＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.
类型二 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
考点 等差数列的判定
题点 判断数列是否为等差数列
解 取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]
＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列.
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
反思与感悟 根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列?an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质.
跟踪训练2 若数列{an}满足a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N
)，则使ak·ak＋1<0的k值为________.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 23
解析 由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－，
又a1＝15，∴{an}是首项为15，公差为－的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d＝15＋(n－1)×
＝－n＋.
令an＝0，解得n＝＝23.5，
∵d＝－，数列{an}是递减数列，
∴a23>0，a24<0，∴k＝23.
类型三 等差数列性质的应用
例3 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
解 方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5，①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，
即(5－2d)(5＋2d)＝9，②
解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
引申探究
1.在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N
，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?
解 设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
答案 20
解析 ∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
跟踪训练3 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列.
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13，①
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)
＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11，②
联立①②解得
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.
1.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A.3
B.－6
C.4
D.－3
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 B
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
所以d＝＝－6.
2.在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( )
A.32
B.－32
C.35
D.－35
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 求等差数列的项
答案 C
解析 由a8－a4＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，
所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
3.等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )
A.3
B.－3
C.
D.－
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 A
解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
4.下列说法中正确的是( )
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
考点 等差数列的判定
题点 判断数列是否为等差数列
答案 C
5.在等差数列－5，－3，－2，－，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( )
A.an＝n－
B.an＝－5－(n－1)
C.an＝－5－(n－1)
D.an＝n2－3n
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 A
1.在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.
2.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.
一、选择题
1.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为( )
A.12
B.8
C.6
D.4
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 B
解析 由等差数列的性质，得
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
2.设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A.－182
B.－78
C.－148
D.－82
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 D
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
3.下面是关于公差是d(d＞0)的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列.
其中的真命题为( )
A.p1，p2
B.p3，p4
C.p2，p3
D.p1，p4
考点 等差数列的性质
题点 两个等差数列的性质问题
答案 D
解析 对于p1：an＝a1＋(n－1)d，d＞0，
∴an－an－1＝d＞0，则p1正确；
对于p2：nan＝na1＋n(n－1)d，
∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关.
故数列{nan}不一定递增，则p2不正确；
对于p3：＝＋d，∴－＝，
当d－a1＞0，即d＞a1时，数列是递增数列，
但d＞a1不一定成立，则p3不正确；
对于p4：设bn＝an＋3nd，
则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.
∴数列{an＋3nd}是递增数列，p4正确.
综上，正确的命题为p1，p4.
4.在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A.4
B.6
C.8
D.10
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 C
解析 ∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
5.若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.1或2
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
答案 D
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
6.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于( )
A.45
B.75
C.180
D.300
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 C
解析 ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7
＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
7.已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A.
B.±
C.－
D.－
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 D
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan
＝tan
＝－.
8.若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于( )
A.1
B.
C.
D.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 C
解析 设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，
∵a1＝，∴d＝，
∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，
a4＝＋＝，
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝
二、填空题
9.设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
答案 105
解析 ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.
∵a1a2a3＝(a2－d)a2(a2＋d)＝5(25－d2)＝80，
又d为正数，∴d＝3.
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝3(5＋30)＝105.
10.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列对称设项问题
答案 －21
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴这三个数的积为－21.
11.在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，则am＋n的值为________.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 0
解析 方法一 设等差数列的公差为d，
则d＝＝＝－1，
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
方法二 设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，则得a＝－1，b＝m＋n.
所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.
三、解答题
12.已知{an}为等差数列，且a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24.
(1)求a20的值；
(2)若bn＝an－，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.
考点 等差数列的性质
题点 利用等差数列项数的规律解题
解 (1)因为a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24，所以a3＝6，a4＝8，则公差d＝2，所以a20＝a3＋17d＝40.
(2)由(1)得an＝a3＋(n－3)d＝6＋(n－3)×2＝2n，所以bn＝×2n－＝3n－.由bn>0，即3n－>0，得n>，所以数列{bn}从第7项开始大于0.
13.看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列.随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一.请用所学数学知识对此给出简要的说明.
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
解 由题意，在等差数列中，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
因为12＝＝＝＝，
所以12＝.
四、探究与拓展
14.若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为__________________.
考点 等差数列的通项公式
题点 求通项公式
答案 an＝2n－
解析 由题意得an＋1＋an＝4n－3，①
an＋2＋an＋1＝4n＋1，②
②－①，得an＋2－an＝4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.
∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－.
∴an＝2n－.
15.正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
考点 等差数列的判定
题点 证明数列是等差数列
解 (1)数列{}是等差数列.
∵an＋1－＝an＋，
∴an＋1－an＝＋，
∴(＋)·(－)＝＋，
∵{an}是正项数列，∴＋≠0，
∴－＝1，
∴{}是等差数列，公差为1.
(2)由(1)知{}是等差数列，且d＝1，
∴＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，
∴an＝n2.§2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念.
知识点一 等差数列的概念
思考 给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20；
(2)4,4,4,4，…；
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
答案 从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.
梳理 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.
知识点二 等差中项的概念
思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.
答案 插入的数分别为3,2,0，.
梳理 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A＝.
知识点三 等差数列的通项公式
思考 对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋( )×2.
答案 n－1
梳理 若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用累加法证明.
1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)
2.任意两个实数都有等差中项.(√)
3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.(√)
4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(√)
类型一 等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
解 由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.
反思与感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N
)是不是一个与n无关的常数.
跟踪训练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
答案 A
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列.
类型二 等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
解 ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
反思与感悟 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N
)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
类型三 等差数列通项公式的求法及应用
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 求等差数列的项
解 由题意可得
解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
反思与感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.
跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 求等差数列的项
解 (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项.
例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元.
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14
km处时，n＝11，
此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.
即需要支付车费23.2元.
反思与感悟 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.
跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10
km高空，高度每增加1
km，气温就下降某一个固定数值.如果1
km高度的气温是8.5℃，5
km高度的气温是－17.5℃，求2
km，4
km,8
km高度的气温.
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
解 用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2
km,4
km,8
km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.
1.下列数列不是等差数列的是( )
A.1,1,1,1,1
B.4,7,10,13,16
C.，，1，，
D.－3，－2，－1,1,2
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
答案 D
2.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A.2
B.3
C.－2
D.－3
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案 C
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
3.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
答案 B
解析 因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，从而B＝60°.
4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( )
A.52
B.62
C.－62
D.－52
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案 A
解析 公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.
5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )
A.92
B.47
C.46
D.45
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案 C
解析 d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，则－89＝1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·(－2)，∴n＝46.
1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
)?{an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
一、选择题
1.若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是( )
A.公差为1的等差数列
B.公差为的等差数列
C.公差为－的等差数列
D.不是等差数列
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
答案 B
解析 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}是公差为的等差数列.
2.在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A.52
B.51
C.50
D.49
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
答案 A
解析 因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52.
3.若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是( )
A.b－a
B.
C.
D.
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 等差数列公差有关问题
答案 C
解析 由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d，
所以d＝.
4.已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A.15
B.22
C.7
D.29
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 求等差数列的项
答案 A
解析 设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A.第7项
B.第8项
C.第9项
D.第10项
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案 B
解析 ∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.
6.若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A.26
B.29
C.39
D.52
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
答案 C
解析 ∵5，x，y，z,21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，
∴x＋y＋z＝39.
7.一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( )
A.
B.
C.
D.
考点 等差中项
题点 等差中项及其应用
答案 C
解析 ∵b是x,2x的等差中项，∴b＝＝，
又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，
∴a＝，∴＝.
8.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A.15
B.30
C.31
D.64
考点 等差数列基本量的计算问题
题点 求等差数列的项
答案 A
解析 由
得∴a12＝a1＋11d＝－＋11×＝15.
二、填空题
9.若一个等差数列的前三项为a，2a－1，3－a，则这个数列的通项公式为________.
考点 等差数列的通项公式
题点 求通项公式
答案 an＝＋1，n∈N
解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.
∴这个等差数列的前三项依次为，，，
∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N
.
10.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
答案
解析 设此等差数列为{an}，公差为d，
则∴
解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________.
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
答案
解析 设an＝－24＋(n－1)d，
则解得
三、解答题
12.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
(2)解 由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝n，又bn＝，所以数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1.
13.已知等差数列{an}：3,7,11,15，….
(1)135,4m＋19(m∈N
)是{an}中的项吗？试说明理由；
(2)若ap，aq(p，q∈N
)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由.
考点 等差数列的通项公式
题点 通项公式的综合应用
解 由题意可知，a1＝3，d＝4，则an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，
∴135是数列{an}的第34项.
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N
，
∴4m＋19是数列{an}的第m＋5项.
(2)∵ap，aq是数列{an}中的项，
∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.
∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)
＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，
其中2p＋3q－1∈N
，
∴2ap＋3aq是数列{an}的第2p＋3q－1项.
四、探究与拓展
14.已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N
)，则a10＝________.
考点 等差数列的概念
题点 等差数列概念的理解运用
答案
解析 易知an≠0，∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2)，∴－＝1(n≥2)，故数列是等差数列，公差为1，首项为1，∴＝1＋9＝10，∴a10＝.
15.已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N
)，求数列{an}的通项公式.
考点 等差数列的通项公式
题点 求通项公式
解 由an－an＋2＝2知，{an}的奇数项，偶数项
分别构成公差为－2的等差数列.
当n＝2k－1时，2k＝n＋1，a2k－1＝a1＋(k－1)·(－2)＝12－2k，
∴an＝12－(n＋1)＝11－n(n为奇数).
当n＝2k时，a2k＝a2＋(k－1)·(－2)＝5－2k＋2
＝7－2k.
∴an＝7－n(n为偶数).
∴an＝(共38张PPT)
第1课时 数列的概念与简单表示法
第二章 §2.1 数列的概念与简单表示法
学习目标
1.理解数列及其有关概念.
2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一 数列及其有关概念
思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案 不是.顺序不一样.
思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
答案 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.
梳理 (1)按照
排列的
称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的
.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的
(通常也叫做
)，排在第二位的数称为这个数列的
……排在第n位的数称为这个数列的
.
(2)
数列的一般形式可以写成
，简记为
.
一定顺序
一列数
项
第1项
首项
第2项
第n项
a1，a2，a3，…，an，…
{an}
思考 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
答案 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.
知识点二 通项公式
梳理 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
思考 对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
答案 (1)可以按项数分类；
(2)可以按项的大小变化分类.
知识点三 数列的分类
梳理 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做
数列，项数无限的数列叫做
数列.
(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做
；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做
；各项相等的数列叫做
；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做
.
有穷
无穷
递增数列
递减数列
常数列
摆动数列
[思考辨析
判断正误]
1.同一个数在一个数列中只能出现一次.(
)
2.如果一个数列不是递增数列，则一定是递减数列.(
)
3.如果已知数列的通项公式，则可以写出该数列的任意一项.(
)
×
×
√
题型探究
例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是
类型一 数列的分类
答案
解析
√
解析 A、B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意.
反思与感悟 处理数列分类问题的技巧
(1)有穷数列与无穷数列
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.
(2)递增数列与递减数列
①观察从第2项起，数列中每一项与前一项的大小关系，依据定义进行判断；
②由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(低)，则图象呈上升(下降)趋势，即数列递增(减).
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)2
010,2
012,2
014,2
016,2
018；
解答
解 (1)(6)是有穷数列；
(1)(2)是递增数列；
(3)是递减数列；
(4)(5)是摆动数列；
(6)是常数列.
类型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解答
解 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
解答
解答
(3)9,99,999,9
999；
解 各项加1后，变为10,100,1
000,10
000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N
.
解答
(4)2,0,2,0.
解 这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N
.
反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系.
解答
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解 这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，
解答
解 这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
解答
(3)7,77,777,7
777.
类型三 数列的通项公式的应用
解答
解答
解答
引申探究
对于例3中的{an}.
(1)求an＋1；
解答
(2)求a2n.
反思与感悟 在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是.
10
答案
解析
达标检测
答案
解析
1
2
3
4
√
1
2
3
4
答案
解析
1
2
3
4
2.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为
A.an＝n，n∈N
B.an＝n＋1，n∈N
C.an＝n＋2，n∈N
D.an＝2n，n∈N
√
解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N
.
答案
解析
1
2
3
4
1
解答
1
2
3
4
4.写出数列：1，－3,5，－7,9，…的通项公式.
解 该数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N
.
1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性：数列中的数可以重复.
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关.
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；
规律与方法
②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.§2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列前n项和公式的推导及简单应用
学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an.
知识点一 等差数列前n项和公式
思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
答案
不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：
设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，
又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，
∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
∴2Sn＝n(n＋1)，
∴Sn＝.
梳理 等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
选用公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
知识点二 a1，d，n，an，Sn知三求二
思考 在等差数列{an}中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn?
答案 利用an＝a1＋(n－1)d代入d，n，an，可求a1，利用Sn＝或Sn＝na1＋d可求Sn.
梳理 (1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和.
(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.
知识点三 数列中an与Sn的关系
思考 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?
答案 a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又当n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N
.
梳理 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，
则有an＝
特别提醒：
(1)这一关系对任何数列都适用.
(2)若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.
若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.
1.若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N
.(×)
2.等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍.(√)
类型一 等差数列前n项和公式的应用
例1 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1
220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解 方法一 由题意知S10＝310，S20＝1
220，
将它们代入公式Sn＝na1＋d，
得到解方程组得
∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.
方法二 ∵S10＝＝310，∴a1＋a10＝62，①
∵S20＝＝1
220，∴a1＋a20＝122，②
②－①，得a20－a10＝60，
∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4.
∴Sn＝na1＋d＝3n2＋n.
反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用.
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二.
跟踪训练1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解 由得
解方程组得或
例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1
150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1
000×1%＝60，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5，
…
a10＝50＋(1
000－9×50)×1%＝55.5，
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1
105，
即全部付清后实际付款1
105＋150＝1
255.
反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2
m，以后每分钟比前1分钟多走1
m，乙每分钟走5
m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1
m，乙继续每分钟走5
m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
解 (1)设n分钟后第1次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.
解得n＝7，n＝－20(舍去).
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.
(2)设n分钟后第2次相遇，由题意，
得2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解得n＝15，n＝－28(舍去).
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.
类型二 由Sn与an的关系求an
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N
)，
当n>1时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－
＝2n－，①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式.
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.
∵an＋1－an＝2(n＋1)－－＝2，
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列.
引申探究
若将本例中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求通项公式.
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝2n－.①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式.
∴an＝
反思与感悟 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
解 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.
∴an＝
1.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于( )
A.2
300
B.2
400
C.2
600
D.2
500
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列的前n项和
答案 D
解析 由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，
解得m＝50，所以S50＝50×1＋×2＝2
500.
2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A.2
B.3
C.6
D.7
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案 B
解析 方法一 由解得d＝3.
方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 190
解析 S19＝＝
＝19a10
＝19×10＝190.
4.已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝________.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
答案 3(n＋1)
解析 由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，①
得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，②
①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)
＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，
∴an＝3(n＋1)(n≥2).
又当n＝1时，a1＝1×2×3＝6也适合上式，
∴an＝3(n＋1)，n∈N
.
5.已知等差数列{an}中：
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求d.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解 (1)∵Sn＝n×＋×＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.
∴n＝12，an＝a12＝－4.
(2)由Sn＝＝＝－1
022，解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.
2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N
)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
3.由Sn与an的关系求an主要使用an＝
一、选择题
1.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2，n∈N
)，则数列{an}的前9项和等于( )
A.27
B.
C.45
D.－9
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列前n项和
答案 A
解析 由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.
2.在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为( )
A.10
000
B.8
000
C.9
000
D.11
000
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列的前n项和
答案 A
解析 由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝
＝50×(25＋75＋100)＝10
000.
3.在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )
A.200
B.100
C.90
D.70
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列的前n项和
答案 B
解析 S10＝＝100.
4.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于( )
A.18
B.27
C.36
D.45
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列的前n项和
答案 C
解析 S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.
5.在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则等于( )
A.
B.2
C.
D.4
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 两等差数列和之比与项之比问题
答案 A
解析 由题意得10a1＋×10×9d＝4，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴＝.
6.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A.765
B.665
C.763
D.663
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列的前n项和
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
7.在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于( )
A.－9
B.－11
C.－13
D.－15
考点 等差数列前n项和
题点 求等差数列的前n项和
答案 D
解析 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.
8.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于( )
A.36
B.35
C.34
D.33
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
答案 C
解析 方法一 a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，
a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
方法二 a2＋a18＝a1＋a19，S19＝＝192－2×19，∴a1＋a19＝34，即a2＋a18＝34.
二、填空题
9.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________.
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
答案 10
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.
∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.
10.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案 15
解析 设等差数列的公差为d，
则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
11.在等差数列{an}中，an＝2n＋3，前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，则a－b＋c＝________.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和综合问题
答案 －3
解析 因为an＝2n＋3，所以a1＝5，Sn＝＝n2＋4n，与Sn＝an2＋bn＋c比较，得a＝1，b＝4，c＝0，所以a－b＋c＝－3.
三、解答题
12.已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2
550，求a及k.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
解 设等差数列{an}的公差为d，
则由题意得
∴(k＝－51舍)
∴a＝2，k＝50.
13.已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn和an递推式求通项
(1)证明 当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，
解得a1＝3或a1＝－1(舍去).
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3).
所以4an＝a－a＋2an－2an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2).
所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
四、探究与拓展
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.
考点 等差数列的前n项和
题点 等差数列前n项和综合问题
答案 100
解 因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，
所以a1＋a200＝1，所以S200＝＝100.
15.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和综合问题
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根.
又公差d>0，∴a3∴∴∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－
(c＝0舍去).
经检验，c＝－符合题意，∴c＝－.(共39张PPT)
第2课时 等差数列前n项和公式的变形及应用
第二章 §2.3 等差数列的前n项和
学习目标
1.会利用等差数列性质简化求和运算.
2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一 等差数列前n项和与等差中项的关系
思考 等差数列{an}中，若a3＝2，求S5.
知识点二 等差数列前n项和的最值
答案 由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1＞0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.
梳理 等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关.
(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.
(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.
(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
[思考辨析
判断正误]
1.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.(
)
×
√
√
题型探究
例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
类型一 等差数列前n项和的性质的应用
解答
解 方法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
解答
反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
解答
解 设等差数列{an}的公差为d，
类型二 等差数列前n项和的最值问题
解答
例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值.
解 方法一 ∵S9＝S17，a1＝25，
解得d＝－2.
＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，
又∵n∈N
，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三 同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法四 同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn.
∵S9＝S17，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
反思与感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和.
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法：
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
②运用二次函数求最值.
解答
跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
解答
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解 方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
方法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.
∵n∈N
，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
类型三 求数列{|an|}的前n项和
解答
解 a1＝S1＝－
×12＋
×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－3n＋104.
∵n＝1也符合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N
).
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
(1)当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和.
解答
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2＝16，S4＝24
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N
).
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，
达标检测
答案
1
2
3
4
5
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于
A.13
B.35
C.49
D.63
√
解析
答案
解析
1
2
3
4
2.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于
A.12
B.13
C.14
D.15
√
解析 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.
5
1
2
3
4
5
答案
解析
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于
A.63
B.45
C.36
D.27
√
解析 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
1
2
3
4
5
答案
解析
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为
A.5
B.6
C.7
D.8
√
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
5
1
2
3
4
答案
5.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为____.
2A
1.等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形
规律与方法
2.求等差数列前n项和最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N
，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.(共33张PPT)
第2课时 等差数列的性质
第二章 §2.2 等差数列
学习目标
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2.能运用等差数列的性质解决有关问题.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一 等差数列的性质
思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
答案 利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
梳理 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋__
＝ap＋
.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
an
aq
思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
知识点二 由等差数列衍生的新数列
答案 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)
＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)
＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列.
梳理 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N
)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
[思考辨析
判断正误]
1.已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率.(
)
2.等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N
，且l＋m＋n＝p＋q＋r，则al＋am＋an＝ap＋aq＋ar.(
)
√
√
√
题型探究
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.
类型一 等差数列推广通项公式的应用
解答
解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.
反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.
跟踪训练1 数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N
)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于
A.0
B.3
C.8
D.11
解析 ∵{bn}为等差数列，设其公差为d，
√
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝b7＋b6＋…＋b1＋a1
＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1
＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.
答案
解析
类型二 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
解答
解 取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]
＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列.
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
反思与感悟 根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列?an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质.
跟踪训练2 若数列{an}满足a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N
)，则使ak·ak＋1
<0的k值为____.
23
答案
解析
∴a23>0，a24<0，∴k＝23.
类型三 等差数列性质的应用
解答
例3 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.
解 方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5，
①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，
即(5－2d)(5＋2d)＝9，
②
解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
解答
引申探究
1.在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N
，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?
解 设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝____.
20
解析 ∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
答案
解析
反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
解答
跟踪训练3 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值.
解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列.
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13，
①
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)
＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11，
②
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.
达标检测
答案
1
2
3
4
5
1.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于
A.3
B.－6
C.4
D.－3
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
√
解析
答案
解析
1
2
3
4
2.在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于
A.32
B.－32
C.35
D.－35
√
解析 由a8－a4＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，
所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
5
1
2
3
4
答案
解析
解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
5
√
1
2
3
4
4.下列说法中正确的是
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
答案
√
5
5
1
2
3
4
答案
√
1.在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.
2.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.
规律与方法(共31张PPT)
第1课时 等差数列的概念及通项公式
第二章 §2.2 等差数列
学习目标
1.理解等差数列的定义.
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差中项的概念.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一 等差数列的概念
思考 给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20；
(2)4,4,4,4，…；
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
答案 从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.
梳理 一般地，如果一个数列从第
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个
，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的
，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.
2
常数
公差
思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.
知识点二 等差中项的概念
等差中项
思考 对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋( )×2.
知识点三 等差数列的通项公式
n－1
梳理 若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用累加法证明.
[思考辨析
判断正误]
1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(
)
2.任意两个实数都有等差中项.(
)
3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.(
)
4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(
)
×
√
√
√
题型探究
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
类型一 等差数列的概念
解答
解 由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.
反思与感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N
)是不是一个与n无关的常数.
跟踪训练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列.
答案
解析
√
类型二 等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.
解答
解 ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴该数列为－1,1,3,5,7.
解答
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
类型三 等差数列通项公式的求法及应用
解答
命题角度1 基本量(a1，d)的计算
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
反思与感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.
解答
跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
解 由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
解 由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项.
命题角度2 等差数列的实际应用
例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元.
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14
km处时，n＝11，
此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.
即需要支付车费23.2元.
解答
反思与感悟 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.
解答
跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10
km高空，高度每增加1
km，气温就下降某一个固定数值.如果1
km高度的气温是8.5℃，5
km高度的气温是－17.5℃，求2
km，4
km,8
km高度的气温.
解 用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，
则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2
km,4
km,8
km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.
达标检测
答案
1
2
3
4
√
5
答案
解析
1
2
3
4
2.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为
A.2
B.3
C.－2
D.－3
√
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
5
1
2
3
4
答案
解析
3.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
√
解析 因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，从而B＝60°.
5
1
2
3
4
4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为
A.52
B.62
C.－62
D.－52
解析 公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.
答案
解析
√
5
5
1
2
3
4
5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是
A.92
B.47
C.46
D.45
解析 d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，
则－89＝1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·(－2)，∴n＝46.
答案
解析
√
1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
)?{an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
规律与方法第2课时 等差数列前n项和公式的变形及应用
学习目标 1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.
知识点一 等差数列前n项和与等差中项的关系
思考 等差数列{an}中，若a3＝2，求S5.
答案 S5＝＝5·＝5a3＝10.
梳理 等差数列{an}的前n项和Sn＝，其中为a1，an的等差中项，若结合性质“m＋n＝p＋q得am＋an＝ap＋aq，”还可把a1＋an换成a2＋an－1，a3＋an－2，….
知识点二 等差数列前n项和的最值
思考 我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的前n项和Sn何时有最大值？何时有最小值？
答案 由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1＞0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.
梳理 等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关.
(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.
(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.
(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
1.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.(×)
2.等差数列{an}的前n项和Sn＝(n≥3).(√)
3.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则为等差数列.(√)
类型一 等差数列前n项和的性质的应用
例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列连续m项和成等差数列
解 (1)方法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝＝＝＝＝.
反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
跟踪训练1 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和性质其他问题
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴
即解得
∴＝a1＋(n－1)d＝n－，∴－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
类型二 等差数列前n项和的最值问题
例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值.
考点 等差数列前n项和最值
题点 求等差数列前n项和的最值
解 方法一 ∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，
解得d＝－2.
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，
由
得
又∵n∈N
，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三 同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法四 同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn.
∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
反思与感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和.
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法：
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
或来寻找.
②运用二次函数求最值.
跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
方法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N
，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
类型三 求数列{|an|}的前n项和
例3 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
考点 等差数列前n项和绝对值之和
题点 求等差数列前n项和绝对值之和
解 a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝－3n＋104.
∵n＝1也符合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N
).
由an＝－3n＋104≥0，得n≤.
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
(1)当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝Sn＝－n2＋n；
(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2－
＝n2－n＋3
502.
故Tn＝
反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和.
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
考点 等差数列前n项和绝对值之和
题点 求等差数列前n项和绝对值之和
解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2＝16，S4＝24
得
即
解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N
).
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，
故Tn＝
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A.13
B.35
C.49
D.63
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 C
解析 S7＝＝7·＝7·＝49.
2.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( )
A.12
B.13
C.14
D.15
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 B
解析 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A.63
B.45
C.36
D.27
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列连续m项和成等差数列
答案 B
解析 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案 B
解析 由7a5＋5a9＝0，得＝－.
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.
5.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和性质其他问题
答案 2A
1.等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形
(1)Sn＝n·；
(2)Sn＝n2＋n；
(3)＝n＋.
2.求等差数列前n项和最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N
，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值.
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
一、选择题
1.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A.－2
B.－1
C.0
D.1
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和性质其他问题
答案 B
解析 ∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，
∴λ＝－1.
2.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2
011＝S2
014，Sk＝S2
009，则正整数k为( )
A.2
014
B.2
015
C.2
016
D.2
017
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 C
解析 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2
011＝S2
014，Sk＝S2
009，可得＝，解得k＝2
016.故选C.
3.若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N
)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案 B
解析 因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有
所以即≤k≤.
因为k∈N
，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.
4.含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A.
B.
C.
D.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列奇偶项和问题
答案 B
解析 S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
5.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于( )
A.38
B.20
C.10
D.9
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 C
解析 因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，
由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，
由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，
又S2m－1＝38，即＝38，
即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.
6.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( )
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案 D
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列.
又a1＝24，d＝－2，
∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n
＝－2＋.
∵n∈N
，∴当n＝12或13时，Sn最大，故选D.
7.已知等差数列{an}中，a1
008＝4，S2
016＝2
016，则S2
017等于( )
A.－2
017
B.2
017
C.－4
034
D.4
034
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 C
解析 因为{an}是等差数列，所以S2
016＝1
008(a1＋a2
016)＝1
008(a1
008＋a1
009)＝2
016，则a1
008＋a1
009＝2.又a1
008＝4，所以a1
009＝－2，则S2
017＝＝2
017a1
009＝－4
034.
二、填空题
8.数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则它的通项公式是________.
考点 an与Sn关系
题点 由Sn公式求an
答案 an＝
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，
∴an＝
9.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________.
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案 4或5
解析 由解得
∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5且同时最大.
∴n＝4或5.
10.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n，则Sn取最小值时对应的n值为________.
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
答案 7或8
解析 ∵Sn＝2n2－30n＝22－，
∴当n＝7或8时，Sn最小.
11.若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2
013＋a2
014＞0，a2
013·a2
014<0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________.
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和有关的不等式问题
答案 4
026
解析 由条件可知数列是递减数列，
故知a2
013＞0，a2
014<0，
故S4
026＝＝2
013(a2
013＋a2
014)＞0，
S4
027＝＝4
027×a2
014<0，
故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4
026.
三、解答题
12.设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值.
考点 等差数列前n项和最值
题点 求使等差数列前n项和取最值时的n值
解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，
得解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N
.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值.
13.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0
(n∈N
).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
考点 等差数列前n项和绝对值之和
题点 求等差数列前n项和绝对值之和
解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，
∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2.
∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；
当n＝5时，an＝0；
当n<5时，an>0.
∴当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
∴Tn＝
四、探究与拓展
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n等于( )
A.12
B.14
C.16
D.18
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
答案 B
解析 因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
15.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N
恒成立，求实数t的取值范围.
考点 等差数列综合
题点 数列与不等式综合
解 (1)S5＝5·＝5a3＝－55，∴a3＝－11，
∴d＝＝＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17.
(2)由(1)知，an＝2n－17，
∴Sn＝＝
＝n(n－16)＝(n－8)2－64，
∴(Sn)min＝－64.
Sn>t对任意n∈N
恒成立等价于(Sn)min>t，
即－64>t.∴t∈(－∞，－64).§2.1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与简单表示法
学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.
知识点一 数列及其有关概念
思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案
不是.顺序不一样.
思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
答案
数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.
梳理 (1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.
(2)
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}.
知识点二 通项公式
思考 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
答案 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.
梳理 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
知识点三 数列的分类
思考 对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
答案 (1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类.
梳理 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.
1.同一个数在一个数列中只能出现一次.(×)
2.如果一个数列不是递增数列，则一定是递减数列.(×)
3.如果已知数列的通项公式，则可以写出该数列的任意一项.(√)
类型一 数列的分类
例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A.1，，，，…
B.－1，－2，－3，－4，…
C.－1，－，－，－，…
D.1，，，…，
考点 数列的分类
题点 数列的分类
答案 C
解析 A、B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意.
反思与感悟 处理数列分类问题的技巧
(1)有穷数列与无穷数列
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.
(2)递增数列与递减数列
①观察从第2项起，数列中每一项与前一项的大小关系，依据定义进行判断；
②由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(低)，则图象呈上升(下降)趋势，即数列递增(减).
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)2
010,2
012,2
014,2
016,2
018；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－，，－，，…；
(5)1,0，－1，…，sin
，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
考点 数列的分类
题点 数列的分类
解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列.
类型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；
(2)，2，，8；
(3)9,99,999,9
999；
(4)2,0,2,0.
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N
.
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N
.
(3)各项加1后，变为10,100,1
000,10
000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N
.
(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N
.
反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系.
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－，，－，；
(2)，，，；
(3)7,77,777,7
777.
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N
.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N
.
(3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9
999，
即×(10－1)，×(100－1)，×(1
000－1)，
×(10
000－1)，
即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，
×(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N
.
类型三 数列的通项公式的应用
例3 已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N
.
(1)写出它的第10项；
(2)判断是不是该数列中的项.
考点 数列的通项公式
题点 判断某数是否为数列的项
解 (1)a10＝＝.
(2)令＝，化简得8n2－33n－35＝0，
解得n＝5.
当n＝5时，a5＝－≠.所以不是该数列中的项.
引申探究
对于例3中的{an}.
(1)求an＋1；(2)求a2n.
解 (1)an＋1＝＝.
(2)a2n＝＝.
反思与感悟 在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是.
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)，那么是这个数列的第___项.
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 10
解析 ∵＝，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
1.下列叙述正确的是( )
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1，…是常数列
D.数列是递增数列
考点 数列的概念
题点 数列的概念的理解
答案 D
解析 由数列的通项an＝知，
an＋1－an＝－＝>0，
即数列是递增数列，故选D.
2.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A.an＝n，n∈N
B.an＝n＋1，n∈N
C.an＝n＋2，n∈N
D.an＝2n，n∈N
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
答案 B
解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N
.
3.已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N
，则a1＝________；an＋1＝________.
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 1
解析 a1＝＝1，
an＋1＝＝.
4.写出数列：1，－3,5，－7,9，…的通项公式.
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
解 该数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N
.
1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性：数列中的数可以重复.
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关.
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.
一、选择题
1.已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N
，则该数列的前4项依次为( )
A.1,0,1,0
B.0,1,0,1
C.，0，，0
D.2,0,2,0
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 A
解析 当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N
，则－8是该数列的( )
A.第5项
B.第6项
C.第7项
D.非任何一项
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 C
解析 解n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去).
3.数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A.an＝n2－n＋1
B.an＝
C.an＝
D.an＝n2＋1
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
答案 C
解析 令n＝1,2,3,4，代入A，B，C，D检验，即可排除A，B，D，故选C.
4.数列，，，，…的第10项是( )
A.
B.
C.
D.
考点 数列的通项公式
题点 已知数列的前几项求项或项数
答案 C
解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为
an＝，n∈N
，
当n＝10时，a10＝＝.
5.已知数列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中是该数列中某一项值的数应当有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
考点 数列的通项公式
题点 判断某数是否为数列的项
答案 C
解析 数列，，，，…的通项公式为
an＝，0.94＝＝，0.96＝＝，
0.98＝＝，0.99＝，
，，都在数列中，故有3个.
6.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
.
A.an＝n，n∈N
B.an＝，n∈N
C.an＝，n∈N
D.an＝n2，n∈N
考点 数列的通项公式
题点 根据图形写出通项公式
答案 C
解析 ∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，
∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
7.设an＝＋＋＋…＋(n∈N
)，那么an＋1－an等于( )
A.
B.
C.＋
D.－
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 D
解析 ∵an＝＋＋＋…＋
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
8.数列0.3,0.33,0.333,0.333
3，…的一个通项公式an等于( )
A.(10n－1)
B.(10n－1)
C.
D.(10n－1)
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
答案 C
解析 代入n＝1检验，排除A，B，D，故选C.
二、填空题
9.观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，________，，….
考点 数列的通项公式
题点 已知数列的前几项求项或项数
答案 3
解析 由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3.
10.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________.
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
答案 an＝2n＋1，n∈N
11.323是数列{n(n＋2)}的第________项.
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案 17
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去).
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项.
三、解答题
12.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
考点 数列的通项公式
题点 判断某数是否为数列的项
解 (1)设an＝kn＋b，k≠0.
则解得∴an＝4n－2，n∈N
.
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N
.
∴88不是数列{an}中的项.
13.在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，请回答下列问题：
(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由.
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
解 (1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，
所以当0所以数列{an}共有9项为负.
(2)因为an＋1－an＝2n－7，
所以当an＋1－an>0时，n>，
故从第4项开始数列{an}递增.
(3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，
根据二次函数的性质知，
当n＝4时，an取得最小值－36，
即数列中有最小值，最小值为－36.
四、探究与拓展
14.已知数列{an}的通项公式是an＝则a3＋＝________.
考点 数列的通项公式
题点 已知通项公式求项或项数
答案
解析 a3＝2－3＝，a4＝＝，
∴＝，∴a3＋＝.
15.已知数列，n∈N
.
(1)求证：该数列是递增数列；
(2)在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.
考点 数列的分类
题点 数列的分类
(1)证明 ∵an＝
＝＝
＝＝1－，
∴an＋1－an
＝－
＝＝＞0，n∈N
，
∴{an}是递增数列.
(2)解 令∴∴
∴∴当且仅当n＝2时，上式成立，
故区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.第2课时 数列的递推公式与通项公式
学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.3.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.
知识点一 递推公式
思考 数列1,2,4,8，…的第n项an与第n＋1项an＋1有什么关系？
答案 an＋1＝2an.
梳理 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.
知识点二 数列的表示方法
思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
答案
①通项公式法：an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图象法：
梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.
1.利用an＋1＝2an，n∈N
可以确定数列{an}.(×)
2.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松解决.(√)
3.递推公式是表示数列的一种方法.(√)
类型一 数列的表示法
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.
考点 数列的表示方法
题点 数列的表示方法
解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a1＝1，an＋1＝3an，n∈N
，个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示).
反思与感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n－1(n≥2，n∈N
)个三角形数多________个石子.
考点 数列的通项公式
题点 根据图形写出通项公式
答案 n
解析 a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.
类型二 数列的递推公式
例2 设数列{an}满足
写出这个数列的前5项.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
解 由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.
引申探究
若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求a2
018.
解 a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2
018＝a4×504＋2＝a2＝－3.
反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否有规律性.
跟踪训练2 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2
018项？
考点 数列的递推公式
题点 周期数列问题
解 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，
a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….
发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.
证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.
∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.
∴数列{an}是周期数列，且T＝6.
∴a2
018＝a336×6＋2＝a2＝2.
例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N
)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N
)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N
)，求通项an.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
解 (1)当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n－1)＋1＝2n－1.
n－1个2
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
(2)当n≥2时，an＝a1···…·
＝1···…·＝.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝.
反思与感悟 形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N
)求通项公式；形如＝f(n)的递推公式，可以利用a1···…·＝an(n≥2，n∈N
)求通项公式.以上方法分别叫累加法和累乘法.
跟踪训练3 已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N
，求数列的通项公式an.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
解 ∵an＋1－an＝－，
∴a2－a1＝－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…，
an－an－1＝－(n≥2)，
∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝＋＋…＋，
即an－a1＝1－(n≥2).
∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2)，
又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式.
∴an＝－，n∈N
.
1.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A.an＋1＝an＋n，n∈N
B.an＝an－1＋n，n∈N
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N
D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N
，n≥2
考点 数列的表示方法
题点 数列的表示方法
答案 C
解析 由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N
，故选C.
2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N
)，则此数列的通项an等于( )
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
答案 D
解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)
共n－1个
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________.
考点 数列的通项公式
题点 根据图形写出通项公式
答案 an＝2n＋1，n∈N
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，
a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N
.
4.数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2
018＝________.
考点 数列的递推公式
题点 周期数列问题
答案 －
解析 ∵x1＝1，
∴x2＝－，
∴x3＝1，
∴数列{xn}的周期为2，
∴x2
018＝x2＝－.
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
2.数列的表示方法
(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
一、选择题
1.已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.不能确定
考点 数列的性质
题点 判断或证明数列的单调性
答案 A
解析 an＋1－an＝3＞0，故数列{an}为递增数列.
2.已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是( )
A.1
B.
C.
D.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案 B
解析 a2＝a1＋＝1；a3＝a2＋＝；
a4＝a3＋＝.
3.已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n>1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于( )
A.
B.
C.2
D.3
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案 A
解析 由题意得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，∴m＝.
4.已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N
)，则数列的通项公式为( )
A.an＝3n＋1
B.an＝3n
C.an＝3n－2
D.an＝3(n－1)
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
答案 C
解析 ∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.
∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，
以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，
∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2，故选C.
5.若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第4项是( )
A.
B.
C.
D.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案 C
解析 a2＝＝＝，
a3＝＝＝，a4＝＝＝.
6.已知数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则数列中最大项的值是( )
A.107
B.108
C.108
D.109
考点 数列的性质
题点 求数列的最大项、最小项
答案 B
解析 由已知得
an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋108，
由于n∈N
，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108.
∴数列{an}中的最大值为a7＝108.
二、填空题
7.已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则a2
018＝________.
考点 数列的递推公式
题点 周期数列问题
答案 －
解析 ∵a2＝－＝－，a3＝－＝2，a4＝－＝a2，
∴{an}的周期为2，∴a2
018＝a2＝－.
8.若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案 5
050
解析 由(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝，
则a100＝a1···…·＝1×××…×＝5
050.
9.已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N
，则实数λ的最小值是________.
考点 数列的性质
题点 已知数列的单调性求参数的值或取值范围
答案 －3
解析 an≤an＋1?n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)
?λ≥－(2n＋1)，n∈N
?λ≥－3.
10.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n个图中有________个点.
考点 数列的通项公式
题点 根据图形写出通项公式
答案 n2－n＋1
解析 图(1)只有1个点，无分支；
图(2)除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；
图(3)除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；
图(4)除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点；
…
猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，
故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
三、解答题
11.根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N
)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N
).
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
解 (1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.
猜想an＝(n－1)2(n∈N
).
(2)a1＝1，a2＝，a3＝＝2，a4＝.
猜想an＝(n∈N
).
12.已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求通项公式
解 ∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.
∴当n≥2时，
＝＋＋＋…＋
＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1.
n－1个1
∴＝n＋1，∴当n≥2时，an＝.
a1＝也符合上式，∴
an＝(n∈N
).
13.已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，求m所有可能的取值.
考点 数列的递推公式
题点 递推公式其他应用
解 若a5为奇数，则3a5＋1＝1，a5＝0(舍去).
若a5为偶数，则＝1，a5＝2.
若a4为奇数，则3a4＋1＝2，a4＝(舍去).
若a4为偶数，则＝2，a4＝4.
若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，则a2＝2，a1＝4.
若a3为偶数，则＝4，a3＝8，
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去).
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4,5,32.
四、探究与拓展
14.数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，n∈N
，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A.
B.
C.
D.
考点 数列的递推公式
题点 由递推公式求项
答案 C
解析 a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝.
15.由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则b6的值是( )
A.9
B.17
C.33
D.65
考点 数列的新定义问题
题点 数列的新定义问题
答案 C
解析 ∵bn＝abn－1，∴b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33.(共31张PPT)
第2课时 数列的递推公式与通项公式
第二章 §2.1 数列的概念与简单表示法
学习目标
1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.
2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
3.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一 递推公式
思考 数列1,2,4,8，…的第n项an与第n＋1项an＋1有什么关系？
答案 an＋1＝2an.
梳理 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第
项(或某一项)开始的任一项
与它的前一项
(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.
二
an
an－1
思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
知识点二 数列的表示方法
答案 ①通项公式法：an＝2n.
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图象法：
梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.
[思考辨析
判断正误]
1.利用an＋1＝2an，n∈N
可以确定数列{an}.(
)
2.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松解决.(
)
3.递推公式是表示数列的一种方法.(
)
×
√
√
题型探究
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.
类型一 数列的表示法
解答
解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a1＝1，an＋1＝3an，n∈N
，个数依次为1,3,9,27.
则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.
在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示).
反思与感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n－1(n≥2，n∈N
)个三角形数多____个石子.
n
解析 a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.
答案
解析
类型二 数列的递推公式
命题角度1 由递推公式求前若干项
解答
解答
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2
018＝a4×504＋2＝a2＝－3.
反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否有规律性.
解答
跟踪训练2 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2
018项？
解 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，
a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….
发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.
证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.
∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.
∴数列{an}是周期数列，且T＝6.
∴a2
018＝a336×6＋2＝a2＝2.
解答
命题角度2 由递推公式求通项
例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N
)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
解 当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
(n－1)个2
解答
a1＝1也符合上式，
解答
…，
∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式.
达标检测
答案
解析
1
2
3
4
1.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是
A.an＋1＝an＋n，n∈N
B.an＝an－1＋n，n∈N
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N
D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N
，n≥2
√
解析 由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N
，故选C.
答案
解析
1
2
3
4
2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N
)，则此数列的通项an等于
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
√
解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)
共(n－1)个
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
答案
解析
1
2
3
4
3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_________________.
an＝2n＋1，n∈N
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，
a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N
.
1
2
3
4
解析 ∵x1＝1，
∴x3＝1，
∴数列{xn}的周期为2，
答案
解析
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
2.数列的表示方法
(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
规律与方法(共37张PPT)
第1课时 等差数列前n项和公式的推导及简单应用
第二章 §2.3 等差数列的前n项和
学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.
3.能用an与Sn的关系求an.
问题导学
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题型探究
内容索引
问题导学
知识点一 等差数列前n项和公式
思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：
设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，
又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，
∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
∴2Sn＝n(n＋1)，
梳理 等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
选用公式
Sn＝_________
Sn＝_____________
思考 在等差数列{an}中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn?
知识点二 a1，d，n，an，Sn知三求二
梳理 (1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和.
(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.
思考 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?
知识点三 数列中an与Sn的关系
答案 a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又当n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N
.
梳理 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，
特别提醒：
(1)这一关系对任何数列都适用.
(2)若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.
若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.
[思考辨析
判断正误]
1.若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N
.(
)
2.等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍.(
)
×
√
题型探究
命题角度1 等差数列基本量的计算
例1 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1
220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
类型一 等差数列前n项和公式的应用
解答
解 方法一 由题意知S10＝310，S20＝1
220，
②－①，得a20－a10＝60，
∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4.
反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用.
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二.
跟踪训练1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解答
命题角度2 实际应用
例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1
150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
解答
解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1
000×1%＝60，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5，
…
a10＝50＋(1
000－9×50)×1%＝55.5，
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
即全部付清后实际付款1
105＋150＝1
255.
反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2
m，以后每分钟比前1分钟多走1
m，乙每分钟走5
m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
解答
解 设n分钟后第1次相遇，由题意，
解得n＝7，n＝－20(舍去).
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1
m，乙继续每分钟走5
m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解答
解 设n分钟后第2次相遇，由题意，
整理得n2＋13n－420＝0.
解得n＝15，n＝－28(舍去).
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.
类型二 由Sn与an的关系求an
解答
解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N
)，
解答
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
反思与感悟 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.
解答
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
解 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.
达标检测
答案
1
2
3
4
5
1.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于
A.2
300
B.2
400
C.2
600
D.2
500
√
解析 由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，
解析
答案
解析
1
2
3
4
2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于
A.2
B.3
C.6
D.7
√
方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，
所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
5
1
2
3
4
答案
解析
3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝____.
190
＝19a10
＝19×10＝190.
5
1
2
3
4
4.已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝_______.
解析 由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，
①
得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，
②
①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)
＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，
∴an＝3(n＋1)(n≥2).
又当n＝1时，a1＝1×2×3＝6也适合上式，
∴an＝3(n＋1)，n∈N
.
答案
解析
3(n＋1)
5
5
1
2
3
4
解答
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
∴n＝12，an＝a12＝－4.
5
1
2
3
4
解答
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求d.
1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.
2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N
)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
规律与方法