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第03讲_正方形的性质与判定
正方形
一．正方形的定义
有一组邻边相等、一个内角是的平行四边形叫做正方形．
二．正方形的性质
1．正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
2．正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质．
3．正方形是轴对称图形，对称轴有4条．
三．正方形的判定
1．有一组邻边相等的矩形是正方形；
2．有一个角是直角的菱形是正方形；
3．对角线互相垂直的矩形是正方形；
4．对角线相等的菱形是正方形；
5．对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；
6．四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形．
四．弦图模型
如图1，Rt△DCE≌Rt△CAF；如图2，Rt△BAE≌Rt△CBF．
一．考点：1．正方形的性质；2．正方形的判定；3．弦图模型
?
二．重难点：正方形性质的应用和判定；弦图模型．
?
三．易错点：正方形、矩形、菱形性质与判定的区别．
题模一：性质
例1.1.1如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于 度．
【答案】65
【解析】∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，
在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABE=70°，
∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，
例1.1.2如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（ ）
A．4
B．3
C．2+
D．
【答案】C
【解析】过点M作MF⊥AC于点F，如图所示．
∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，
∴∠CAB=45°，FM=BM．
在Rt△AFM中，∠AFM=90°，∠FAM=45°，AM=2，
∴FM=AM?sin∠FAM=．
AB=AM+MB=2+．
例1.1.3如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
【答案】D
【解析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN=S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC=a，
∵EC=2AE，
∴EC=a，
∴EP=PC=a，
∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，
∴四边形EMCN的面积=a2，
故选：D．
例1.1.4如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【解析】（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
（2）∵△ABG≌△AFG，
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则GC=6﹣x，
∵E为CD的中点，
∴CE=EF=DE=3，
∴EG=3+x，
∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，
∴BG=2．
题模二：判定
例1.2.1已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①②
B．选②③
C．选①③
D．选②④
【答案】B
【解析】本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
例1.2.2如图，是的垂直平分线，交于点，过点作，，垂足分别为、．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是正方形
【答案】见解析
【解析】（1）是的垂直平分线，，
又
（2），
即，四边形AEMF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A?C，MF⊥AD，
矩形是正方形
例1.2.3如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
【答案】（1）见解析（2）6
【解析】
（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．（1分）
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．
∴∠EAF=90°．（3分）
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．（4分）
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF．（5分）
∴四边形AEGF是正方形．（6分）
（2）设AD=x，则AE=EG=GF=x，（7分）
∵BD=2，DC=3，
∴BE=2，CF=3．
∴BG=x-2，CG=x-3．（9分）
在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2
∴（x-2）2+（x-3）2=52（11分），
∴（x-2）2+（x-3）2=52，化简得，x2-5x-6=0．
解得x1=6，x2=-1（舍），
所以AD=x=6（12分）．
题模三：弦图
例1.3.1如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为____．
【答案】13
【解析】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质．实际上，此题就是将EF的长度转化为与已知长度的线段DE和BF数量关系．
根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF=DE、BF=AE，所以EF=AF+AE=13．
∵ABCD是正方形（已知），
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°；
又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，
∴∠FBA=∠EAD（等量代换）；
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴在Rt△AFB和Rt△AED中，
∵，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），
∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．
故答案为：13．
例1.3.2如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作∥，作BM⊥于M，DN⊥于N，直线MB、ND分别交于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．
【答案】见解析
【解析】∥，BM⊥，DN⊥，
∴，
∴四边形PQMN为矩形，
∵，
，，
∴，
又∵，
∴Rt△ABM≌Rt△DAN（HL），
∴
同理，
∴，即．
∴四边形PQMN是正方形．
随练1.1如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是________.
【答案】45°
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
AB=AE，
∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°.
随练1.2如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为____
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】此题考查了折叠的性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C=90°，BC=CD=3，
根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF，
设DF=x，
则EF=EG+GF=1+x，FC=DC-DF=3-x，EC=BC-BE=3-1=2，
在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，
即（x+1）2=22+（3-x）2，
解得：x=，
∴DF=，EF=1+=．
故选B．
随练1.3如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC=，CF=3，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF===2，
∵H是AF的中点，
∴CH=AF=×2=．
故选：B．
随练1.4如图，矩形中，，．点从向以每秒个单位的速度运动，以为一边在的右下方作正方形，同时垂直于的直线也从向D以每秒个单位的速度运动，当经过__________秒时，直线和正方形开始有公共点？
【答案】
【解析】过点作于点，
在正方形中，，，，
，，
在和中
，
，
当直线和正方形开始有公共点时：，
，解得：
故当经过秒时．直线和正方形开始有公共点．
随练1.5如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．
【答案】（1）见解析（2）80°
【解析】本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段．
（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．
（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
∴△AEB≌△CFB（SAS），
∴AE=CF．
（2）解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
又∵BE=BF，
∴∠BEF=∠EFB=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90°-55°=35°，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．
随练1.6如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=____．
【答案】-1
【解析】
过E作EF⊥DC于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO=EF，
在Rt△COE和Rt△CFE中
，
∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），
∴CO=FC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=，
∴CO=AC=，
∴CF=CO=，
∴EF=DF=DC-CF=1-，
∴DE==-1，
另法：因为四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°=∠DBC=∠DAC，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴∠ACE=∠DCE=22.5°，
∴∠BCE=45°+22.5°=67.5°，
∵∠CBE=45°，
∴∠BEC=67.5°，
∴BE=BC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC=1，
∴BE=1，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=，
∴DE=-1，
故答案为：-1．
随练1.7如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是____
A．BC=AC
B．CF⊥BF
C．BD=DF
D．AC=BF
【答案】D
【解析】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．
根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．
∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC=AC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；
当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；
当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
随练1.8如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）30°．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°
∵三角形ADE为正三角形
∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
在△BAE和△CDE中，
∴△BAE≌△CDE
∴BE=CE；
（2）∵AB=AD，AD=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAE=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．
随练1.9如图，在正方形ABCD中，边长AB=3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．
（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；
（2）当∠BAE=30°时，求CF的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用，题目的综合性较强，难度中等．
（1）过点F作FG⊥BC于点G，易证△ABE≌△EGF，所以可得到AB=EG，BE=FG，由此可得到∠FCG=∠45°，即CF平分∠DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分线；
（2）首先可求出BE的长，即FG的长，再在Rt△CFG中，利用cos45°即可求出CF的长．
（1）证明：过点F作FG⊥BC于点G．
∵∠AEF=∠B=∠90°，
∴∠1=∠2．
在△ABE和△EGF中，
∴△ABE≌△EGF（AAS）．
∴AB=EG，BE=FG．
又∵AB=BC，
∴BE=CG，
∴FG=CG，
∴∠FCG=∠45°，
即CF平分∠DCG，
∴CF是正方形ABCD外角的平分线．
（2）∵AB=3，∠BAE=30°，tan30°==，
BE=AB?tan30°=3×，即CG=．
在Rt△CFG中，cos45°=，
∴CF=．
作业1如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1
B．
C．4﹣2
D．3﹣4
【答案】C
【解析】在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，
在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=4，
∵正方形的边长为4，
∴BD=4，
∴BE=BD﹣DE=4﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．
作业2如图，已知正方形ABCD，沿直线BE将折起，使点A落在对角线BD上的处，连结，则（
）
A．45°
B．60°
C．67.5°
D．75°
【答案】C
【解析】该题考查的是正方形的性质和图形的对称．
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵正方形ABCD，沿直线BE将折起，使点A落在对角线BD上的处，
∴，
∴，
∴
∴
作业3如图，将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，，分别是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积之和是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即；个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为；个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：．
故答案为B选项．
作业4以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值____．
【答案】
【解析】
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠COA=∠DOB，
∵在△COA和△DOB中
，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB==OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=CF=1，
即AB=，
故答案为：．
作业5如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为 ．
【答案】．
【解析】∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18﹣5=13．
∵F为DE的中点，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF=DE，
∴EF=CF=DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD===12．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF=（BC﹣CE）=（12﹣5）=．
作业6如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．
【答案】见解析
【解析】
证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
∴△BED≌△CFD．
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°．
∵∠A=90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF．
∴四边形DFAE为正方形．
作业7如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△
CEF=2S△
ABE．其中正确结论有____个．
【答案】4
【解析】AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确），∵BC=CD，∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AC=，∴AB=，
∴BE=-x=，∴BE+DF=x-x≠x，（故④错误），∵S△
CEF=，
S△
ABE==，∴2S△
ABE==S△
CEF，（⑤正确）．综上所述，正确的有4个．
作业8在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；
（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；
（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．
【答案】(1)
∠AFC=∠ACB-∠DAC,证明见解析（2）∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°
【解析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键．
（1）关系：∠AFC=∠ACB-∠DAC，…（2分）
证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠FAD=90°，
∵∠BAC=90°，∠FAD=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，…（3分）
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），…（4分）
∴∠AFC=∠ADB，
∵∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB=∠ADB+∠DAC，…（5分）
∴∠ADB=∠ACB-∠DAC，
∵∠ADB=∠AFC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC；…（6分）
（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC满足的关系式为：∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°，…（8分）
证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
又∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠DAB=∠FAC，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ADB=∠AFC，
在△ADC中，∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°，
则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．
作业9在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）①依题意补全图1；
②若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；
（2）若设∠PAB=a，且0°＜a＜90°，求∠ADF的度数（直接写出结果，结果可用含a的代数式表示）
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①如图1所示：
②∠ADF==25°；
（2）∠ADF==45°﹣α．
（3）EF2+FD2=2AB2．
证明如图3，
连接AE、BF、BD，
由对称可知，EF=BF，AE=AB=AD，
∠ABF=∠AEF=∠ADF，
∴∠BFD=∠BAD=90°，
在Rt△BDF中，BF2+FD2=BD2，
在Rt△ABC中，BD=AB，
∴EF2+FD2=2AB2．
【解析】（1）①如图1所示：
②如图2，
连接AE，由对称得，
∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAP=∠BAP=20°，
∴∠EAD=130°，
∴∠ADF==25°；
（2）如图2，
连接AE，由对称得
∠PAB=∠PAE=α，AE=AB=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAP=∠BAP=α，
∴∠EAD=90°+2α，
∴∠ADF==45°﹣α．
（3）如图3，
连接AE、BF、BD，
由对称可知，EF=BF，AE=AB=AD，
∠ABF=∠AEF=∠ADF，
∴∠BFD=∠BAD=90°，
在Rt△BDF中，BF2+FD2=BD2，
在Rt△ABC中，BD=AB，
∴EF2+FD2=2AB2．
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第03讲_正方形的性质与判定
正方形
一．正方形的定义
有一组邻边相等、一个内角是的平行四边形叫做正方形．
二．正方形的性质
1．正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
2．正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质．
3．正方形是轴对称图形，对称轴有4条．
三．正方形的判定
1．有一组邻边相等的矩形是正方形；
2．有一个角是直角的菱形是正方形；
3．对角线互相垂直的矩形是正方形；
4．对角线相等的菱形是正方形；
5．对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；
6．四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形．
四．弦图模型
如图1，Rt△DCE≌Rt△CAF；如图2，Rt△BAE≌Rt△CBF．
一．考点：1．正方形的性质；2．正方形的判定；3．弦图模型
?
二．重难点：正方形性质的应用和判定；弦图模型．
?
三．易错点：正方形、矩形、菱形性质与判定的区别．
题模一：性质
例1.1.1如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于 度．
例1.1.2如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（ ）
A．4
B．3
C．2+
D．
例1.1.3如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
例1.1.4如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
题模二：判定
例1.2.1已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①②
B．选②③
C．选①③
D．选②④
例1.2.2如图，是的垂直平分线，交于点，过点作，，垂足分别为、．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是正方形
例1.2.3如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
题模三：弦图
例1.3.1如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为____．
例1.3.2如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作∥，作BM⊥于M，DN⊥于N，直线MB、ND分别交于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．
随练1.1如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是________.
随练1.2如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为____
A．
B．
C．
D．3
随练1.3如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5
B．
C．
D．2
随练1.4如图，矩形中，，．点从向以每秒个单位的速度运动，以为一边在的右下方作正方形，同时垂直于的直线也从向D以每秒个单位的速度运动，当经过__________秒时，直线和正方形开始有公共点？
随练1.5如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．
随练1.6如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=____．
随练1.7如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是____
A．BC=AC
B．CF⊥BF
C．BD=DF
D．AC=BF
随练1.8如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．
随练1.9如图，在正方形ABCD中，边长AB=3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．
（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；
（2）当∠BAE=30°时，求CF的长．
作业1如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1
B．
C．4﹣2
D．3﹣4
作业2如图，已知正方形ABCD，沿直线BE将折起，使点A落在对角线BD上的处，连结，则（
）
A．45°
B．60°
C．67.5°
D．75°
作业3如图，将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，，分别是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积之和是（
）
A．
B．
C．
D．
作业4以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值____．
作业5如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为 ．
作业6如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．
作业7如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△
CEF=2S△
ABE．其中正确结论有____个．
作业8在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；
（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；
（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．
作业9在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）①依题意补全图1；
②若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；
（2）若设∠PAB=a，且0°＜a＜90°，求∠ADF的度数（直接写出结果，结果可用含a的代数式表示）
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明．
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