24.2.1 点和圆的位置关系 （含答案）

24.2　点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1　点和圆的位置关系
一、选择题
1.☉O的直径为4,若点A到圆心O的距离为3,则
(
)
A.点A在☉O外
B.点A在☉O上
C.点A在☉O内
D.点A与☉O的位置关系不能确定
2.已知☉O的半径为6
cm,若P是☉O内的一点,则线段OP的长度可能为
(
)
A.5
cm
B.6
cm
C.9
cm
D.12
cm
3.若点A在☉O内,点B在☉O外,OA＝3,OB＝5,则☉O的半径r的取值范围是
(
)
A.0B.2C.3D.r>5
4.确定一个圆的条件是
(
)
A.已知圆心
B.已知半径
C.过三个已知点
D.过一个三角形的三个顶点
5.过钝角三角形的三个顶点作圆,其圆心在
(
)
A.三角形内
B.三角形上
C.三角形外
D.以上都有可能
6.用反证法证明“a不大于b”时,第一步应假设(　　)
A.a>b
B.a=b
C.a≥b
D.a≠b
7.用反证法证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”时应假设
(
)
A.三角形中有一个内角小于或等于60°
B.三角形中有两个内角小于或等于60°
C.三角形中有三个内角小于或等于60°
D.三角形中没有一个内角小于或等于60°
8.若☉A的半径为5,圆心A的坐标是(1,2),点P的坐标是(5,2),那么点P的位置为
(
)
A.在☉A内
B.在☉A上
C.在☉A外
D.不能确定
9.用反证法证明“在△ABC中,∠A,∠B的对边分别是a,b,若∠A>∠B,则a>b.”第一步应假设
(
)
A.aB.a＝b
C.a≤b
D.a≥b
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,∠B=60°,☉A的半径为3,那么下列说法正确的是(　　)
A.点B,点C都在☉A内
B.点C在☉A内,点B在☉A外
C.点B在☉A内,点C在☉A外
D.点B,点C都在☉A外
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
11.(2020·陕西)如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为(　　)
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
12.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=30°,BC=8,则☉O的半径为(　　)
A.4
B.6
C.8
D.12
13.如图,已知☉A的半径为5,圆心A的坐标为(1,0),点B(a,0)在☉A外,则a的取值范围(　　)
A.a<6
B.a>-4
C.-2D.a<-4或a>6
14.如图,在矩形ABCD中,AB＝4,BC＝6,E是矩形内部的一个动点,且AE⊥BE,则线段CE的最小值为
(
)
A.
B.2－2
C.2－2
D.4
第14题图
第15题图
第16题图
15.(2020·泰安)如图,点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2),点C为坐标平面内一点,BC＝1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为(　　)
A.＋1
B.＋
C．2＋1
D．2－
16.(2020·泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为(　　).
A．4
B．4
C.
D．2
二、填空题
17.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP＝d，则有：点P在圆外?d________r；点P在圆上?d________r；点P在圆内?d________r.
18.__________________________的三个点确定一个圆．
19.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的_________，外接圆的圆心是三角形三条边的__________的交点，叫做这个三角形的__________．
20.对于命题“在同一平面内,若a∥b,a∥c,则b∥c”,用反证法证明,应假设　
　.?
21.如图,☉O为△ABC的外接圆,∠A＝60°,BC＝2,则☉O的半径为　
　.?
22.如图,Rt△ABE内接于☉O,半径OD垂直于AB,垂足为C,连接CE.若AB＝8,CD＝2,则△BCE的面积是　
　.?
　　　　　　
第21题图
第22题图
第23题图
23.如图,△ABC内接于☉O,AD⊥BC于点D,AD＝BD.若☉O的半径OB＝2,则AC的长为　
　.?
三、解答题
24.[教材P101习题第2题变式]如图,矩形ABCD的边AB＝3
cm,BC＝4
cm,以点A为圆心,4
cm为半径作☉A,则点B,C,D分别与☉A有怎样的位置关系?
25.如图,点B在直线AC上,点D在直线AC外,过A,B,C,D四点中的任意3个点,可以画多少个圆?
26.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD.
(1)求证：BD＝CD；
(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，DB为半径的圆上，并说明理由．
27.(中考·台州)如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
28.如图,△ABC内接于☉O,BD为☉O的直径,∠BAC=120°,OA⊥BC.若AB=4,
(1)求证:四边形OACD为菱形;
(2)求AD的长.
29.如图,在残破的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交于点C,交弦AB于点D,AB＝24,CD＝8.
(1)请作出此残片所在圆的圆心;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求残片所在圆的半径.
30.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC＝45°,AD⊥BC,垂足为D,BD＝6,CD＝4.
(1)求☉O的半径;
(2)求AD的长.
31.丁丁在求两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论:P1P2＝.他还证明了线段P1P2的中点P(x,y)的坐标公式是x＝,y＝.
请利用上面的信息,解答下面的问题:
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(8,0),B(0,6),C(1,7),☉M经过原点O及点A,B.
(1)求☉M的半径及圆心M的坐标;
(2)判断点C与☉M的位置关系,并说明理由.
32.(中考·日照)如图，已知点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为1.
(3)在x轴下方且在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
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精品试卷·第
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参考答案
一、选择题
1.☉O的直径为4,若点A到圆心O的距离为3,则
(A)
A.点A在☉O外
B.点A在☉O上
C.点A在☉O内
D.点A与☉O的位置关系不能确定
2.已知☉O的半径为6
cm,若P是☉O内的一点,则线段OP的长度可能为
(A)
A.5
cm
B.6
cm
C.9
cm
D.12
cm
3.若点A在☉O内,点B在☉O外,OA＝3,OB＝5,则☉O的半径r的取值范围是
(C)
A.0B.2C.3D.r>5
4.确定一个圆的条件是
(D)
A.已知圆心
B.已知半径
C.过三个已知点
D.过一个三角形的三个顶点
5.过钝角三角形的三个顶点作圆,其圆心在
(C)
A.三角形内
B.三角形上
C.三角形外
D.以上都有可能
6.用反证法证明“a不大于b”时,第一步应假设(　A　)
A.a>b
B.a=b
C.a≥b
D.a≠b
7.用反证法证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”时应假设
(D)
A.三角形中有一个内角小于或等于60°
B.三角形中有两个内角小于或等于60°
C.三角形中有三个内角小于或等于60°
D.三角形中没有一个内角小于或等于60°
8.若☉A的半径为5,圆心A的坐标是(1,2),点P的坐标是(5,2),那么点P的位置为
(A)
A.在☉A内
B.在☉A上
C.在☉A外
D.不能确定
9.用反证法证明“在△ABC中,∠A,∠B的对边分别是a,b,若∠A>∠B,则a>b.”第一步应假设
(C)
A.aB.a＝b
C.a≤b
D.a≥b
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,∠B=60°,☉A的半径为3,那么下列说法正确的是(　D　)
A.点B,点C都在☉A内
B.点C在☉A内,点B在☉A外
C.点B在☉A内,点C在☉A外
D.点B,点C都在☉A外
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
11.(2020·陕西)如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为(　　)
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
【点拨】连接CD.
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°－∠A＝130°.
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC.
∴BD＝CD.
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°.
【答案】B
12.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=30°,BC=8,则☉O的半径为(　C　)
A.4
B.6
C.8
D.12
13.如图,已知☉A的半径为5,圆心A的坐标为(1,0),点B(a,0)在☉A外,则a的取值范围(　D　)
A.a<6
B.a>-4
C.-2D.a<-4或a>6
14.如图,在矩形ABCD中,AB＝4,BC＝6,E是矩形内部的一个动点,且AE⊥BE,则线段CE的最小值为
(B)
A.
B.2－2
C.2－2
D.4
第14题图
第15题图
第16题图
15.(2020·泰安)如图,点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2),点C为坐标平面内一点,BC＝1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为(　　)
A.＋1
B.＋
C．2＋1
D．2－
【点拨】如图，作A关于y轴的对称点D，连接BD，CD.
∵A(2，0)，∴D(－2，0)．
∴OA＝OD＝2.
∵B(0，2)，∴OB＝2.
∴BD＝＝2.
∵M点是AC的中点，∴AM＝CM.
∴OM是△ACD的中位线．
∴OM＝DC.
∵BC＝1，
∴点C在以B为圆心，1为半径的圆弧上移动．
∴CD≤BD＋BC.
∴CD≤2＋1.
∴当且仅当D，B，C三点共线时，CD取得最大值为2＋1.
∵OM＝CD，
∴OM的最大值为＋.
【答案】B
16.(2020·泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为(　　).
A．4
B．4
C.
D．2
【点拨】如图，连接CD.
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°.
∴∠B＝180°－30°－30°＝120°.
∴∠D＝180°－∠B＝60°.
∵AD是直径，∴∠ACD＝90°.
∴∠CAD＝30°.
∵AD＝8，∴CD＝AD＝4.
∴AC＝＝＝4.
【答案】B
二、填空题
17.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP＝d，则有：点P在圆外?d________r；点P在圆上?d________r；点P在圆内?d________r.
【答案】＞；＝；＜
18.__________________________的三个点确定一个圆．
【答案】不在同一条直线上
19.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的_________，外接圆的圆心是三角形三条边的__________的交点，叫做这个三角形的__________．
【答案】外接圆；垂直平分线；外心
20.对于命题“在同一平面内,若a∥b,a∥c,则b∥c”,用反证法证明,应假设　b与c相交　.?
21.如图,☉O为△ABC的外接圆,∠A＝60°,BC＝2,则☉O的半径为　2　.?
22.如图,Rt△ABE内接于☉O,半径OD垂直于AB,垂足为C,连接CE.若AB＝8,CD＝2,则△BCE的面积是　12　.?
　　　　　　
第21题图
第22题图
第23题图
23.如图,△ABC内接于☉O,AD⊥BC于点D,AD＝BD.若☉O的半径OB＝2,则AC的长为　2　.?
三、解答题
24.[教材P101习题第2题变式]如图,矩形ABCD的边AB＝3
cm,BC＝4
cm,以点A为圆心,4
cm为半径作☉A,则点B,C,D分别与☉A有怎样的位置关系?
解:连接AC.
∵AB＝3
cm,BC＝AD＝4
cm,
∴AC＝5
cm,
∴点B在☉A内,点D在☉A上,点C在☉A外.
25.如图,点B在直线AC上,点D在直线AC外,过A,B,C,D四点中的任意3个点,可以画多少个圆?
解:∵点A,B,C在同一条直线上,
∴经过点A,B,D或点A,C,D或点B,C,D分别能画一个圆,即经过A,B,C,D四点中的任意3个点共能画3个圆.
26.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD.
(1)求证：BD＝CD；
证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴.
∴BD＝CD.
(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，DB为半径的圆上，并说明理由．
解：B，E，C三点在以D为圆心，DB为半径的圆上．理由如下：
由(1)知，∴∠BAD＝∠CBD.
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE.
∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，
∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，
∴∠DBE＝∠DEB.
∴DB＝DE.
由(1)知BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.
∴B，E，C三点在以D为圆心，DB为半径的圆上．
27.(中考·台州)如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
解：证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°.
∴∠AEP＝∠ABC＝45°.
∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE＝90°.
∴∠APE＝∠AEP＝45°.
∴AP＝AE.
∴△APE是等腰直角三角形．
(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
解：如图，作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形．
∴PM＝AN，易知△PCM，△PNB都是等腰直角三角形．
∴PC＝PM，PB＝PN.
∴PC2＋PB2＝2(PM2＋PN2)＝2(AN2＋PN2)＝2PA2＝PE2＝22＝4.
28.如图,△ABC内接于☉O,BD为☉O的直径,∠BAC=120°,OA⊥BC.若AB=4,
(1)求证:四边形OACD为菱形;
(2)求AD的长.
解:(1)∵OA⊥BC,∴,
∴∠CDA=∠ADB=∠BDC.
∵∠BDC=180°-120°=60°,∴∠CDA=∠ADB=30°.
∵∠CAD=∠CAB-∠BAD=30°,∴∠CAD=∠ADB,
∴AC∥OD.
又∵∠DCB=∠OEB=90°,∴CD∥OA,
∴四边形OACD为平行四边形.
又∵OA=OD,∴四边形OACD为菱形.
(2)由(1)可知BD=2AB=8,
在Rt△ABD中,AD==4.
29.如图,在残破的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交于点C,交弦AB于点D,AB＝24,CD＝8.
(1)请作出此残片所在圆的圆心;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求残片所在圆的半径.
解:(1)如图所示,点O即为残片所在圆的圆心.
(2)连接OA.设OA＝x.
∵CD＝8,AB＝24,
∴AD＝BD＝AB＝12,OD＝x－8,
在Rt△ADO中,
由勾股定理得x2＝122＋(x－8)2,解得x＝13,
故残片所在圆的半径为13.
30.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC＝45°,AD⊥BC,垂足为D,BD＝6,CD＝4.
(1)求☉O的半径;
(2)求AD的长.
解:(1)连接OB,OC.
∵BD＝6,CD＝4,∴BC＝10.
∵∠BOC＝2∠BAC＝90°,
∴OB＝.
(2)连接OA,过点O作OE⊥AD于点E,OF⊥BC于点F,
∴BF＝CF＝BC＝5,∴DF＝CF－CD＝1.
∵∠BOC＝90°,∴OF＝BC＝5.
∵AD⊥BC,OE⊥AD,OF⊥BC,
∴四边形OFDE为矩形,
∴OE＝DF＝1,DE＝OF＝5,
∴在Rt△AOE中,AE＝＝7,
∴AD＝AE＋DE＝12.
31.丁丁在求两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论:P1P2＝.他还证明了线段P1P2的中点P(x,y)的坐标公式是x＝,y＝.
请利用上面的信息,解答下面的问题:
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(8,0),B(0,6),C(1,7),☉M经过原点O及点A,B.
(1)求☉M的半径及圆心M的坐标;
(2)判断点C与☉M的位置关系,并说明理由.
解:(1)∵∠AOB＝90°,∴AB是☉M的直径.
∵A(8,0),B(0,6),
∴AB＝＝10,
∴☉M的半径为5.
由线段中点坐标公式x＝,
得x＝4,y＝3,∴点M的坐标为(4,3).
(2)点C在☉M上.
理由:∵C(1,7),M(4,3),
∴CM＝＝5,∴点C在☉M上.
32.(中考·日照)如图，已知点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
解：把点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋x＋1.
(2)
在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为1.
解：∵B(3，0)，C(0，1)，
∴直线BC对应的函数解析式为y＝－x＋1.
如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于D.
设P，则D(x，－x＋1)．
∴PD＝－x2＋x＋1－＝－x2＋x.
∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝PD(xB－xC)＝(3－0)＝－x2＋x.
又∵S△PBC＝1，∴－x2＋x＝1，
解得x1＝1，x2＝2.
∴点P的坐标为或(2，1)．
(3)在x轴下方且在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
【思路点拨】作△ABC的外接圆，此圆与对称轴在x轴下方的交点Q即为所求．
存在．
由题可知点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．
作△ABC的外接圆，设外接圆圆心为M，连接BM，如图所示．
易知线段AC的垂直平分线为直线y＝－x，
线段AB的垂直平分线为直线x＝1，
∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，
即M(1，－1)．
∴MB＝＝.
∴MQ＝MB＝.
∴yQ＝－(1＋)＝－1－.
∵点Q在直线x＝1上，∴xQ＝1.
∴Q(1，－1－).