24.2.2.2 切线的判定与性质 （含答案）

24.2　点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2　直线和圆的位置关系
第2课时　切线的判定与性质
一、选择题
1.下列说法正确的是
(
)
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.经过半径的外端点并且与垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.到圆心的距离小于半径的直线是圆的切线
2.已知某矩形两邻边的边长之比为1∶2,若以较长一边为直径作半圆,则该矩形的各边与半圆相切的线段有
(
)
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
3.已知☉O的半径为R,点O到直线m的距离为d,R,d是方程x2－4x＋a＝0的两个根,当直线m与☉O相切时,a的值是
(
)
A.3
B.4
C.5
D.无法确定
4.已知☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则圆心O到直线l的距离是
(
)
A.5
B.2.5
C.3
D.10
5.如图,AB是☉O的直径,AD是☉O的切线,BD交☉O于点C,∠CAD＝50°,则∠B＝
(
)
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
6.如图,以点O为圆心画半径分别为3和5的两个圆,AB是大圆的弦,且AB与小圆相切于点P,则AB的长为(　　)
A.6
B.8
C.10
D.12
7.如图,过☉O上一点C作☉O的切线,交直径AB的延长线于点D.若∠A=25°,则∠D的度数为(　　)
A.25°
B.30°
C.40°
D.50°
8.如图,△ABC是⊙O的内接三角形，下列能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是(　　)
A．∠EAB＝∠C
B．∠B＝90°
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
9.(中考·无锡)如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A，D，G三点的圆O与边AB，CD分别交于点E，F，给出下列说法：
①AC与BD的交点是圆O的圆心；
②AF与DE的交点是圆O的圆心；
③BC与圆O相切．
其中正确说法的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
第9题图
第10题图
第11题图
第12题图
10.(2020·雅安)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°，则∠CAB＝(　　)
A．62°
B．31°
C．28°
D．56°
11.(2020·天水)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为优弧AB上一点，连接AC，BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为(　　)
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
12.(2019·重庆)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C＝50°，则∠AOD的度数为(　　)
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
13.已知☉O的半径为R,点O到直线m的距离为d,R,d是方程x2-4x+a=0的两个根,当直线m与☉O相切时,a的值是(　　)
A.3
B.4
C.5
D.无法确定
14.学习了直线与圆的位置关系后,我们把平面直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:y=kx+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∠OBA=60°,点P在x轴上,☉P与l相切.当点P在线段OA上运动时,使得☉P成为整圆的点P的个数是(　　)
A.6
B.8
C.10
D.12
第14题图
第15题图
第16题图
第17题图
15.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,点D,E在☉O上.若∠CBD＝120°,则∠E的度数是
(
)
A.50°
B.70°
C.80°
D.60°
16.如图,在平面直角坐标系中,☉P的半径为2,点P的坐标为(－3,0),若将☉P沿x轴向右平移.当☉P与y轴相切时,☉P向右平移的距离为
(
)
A.1
B.5
C.3
D.1或5
17.(2019·泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为(　　)
A．32°
B．31°
C．29°
D．61°
18.(2020·南京)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0，8)，则点D的坐标是(　　)
A．(9，2)
B．(9，3)
C．(10，2)
D．(10，3)
二、填空题
19.切线的判定定理：经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．
20.切线的性质定理：圆的切线________于过切点的半径．
21.[教材P101习题第4题变式](1)如图,在△ABC中,AB＝AC,∠B＝30°,以点A为圆心,以3
cm为半径作☉A,当AB＝　　cm时,BC与☉A相切.?
(2)在△ABO中,OA＝OB＝2,☉O的半径为1,当∠AOB＝　
　时,直线AB与☉O相切.?
22.如图,直线AB与☉O相切于点A,☉O的半径为2.若∠OBA＝30°,则AB的长为　
　.?
第21题图
第22题图
第23题图
第24题图
第25题图
23.如图,在平面直角坐标系中,P是直线y=2上的一个动点,☉P的半径为1,直线OQ切☉P于点Q,则线段OQ的最小值为?　
.?
24.如图,已知☉P的半径为1,圆心P在抛物线y=x2-1上运动.当☉P与x轴相切时,圆心P的坐标为　
　.?
25.如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝9,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心、PM为半径作☉P.当☉P与矩形ABCD的边CD相切时,则BP的长为　
　.?
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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三、解答题
26.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:AC是☉O的切线.
27.如图,在△APO中,∠P=40°,以点O为圆心、OA为半径作☉O,交PO于点C.延长AO交☉O于点B,连接BC.若∠B=25°,则PA是☉O的切线吗?
28.如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,∠P=60°.
(1)求∠C的度数;
(2)若☉O的半径为2,求PA的长.
29.如图,AB是☉O的直径,直线BD,CD分别是过☉O上点B,C的切线.
(1)若BD＝2,则CD＝　
　;?
(2)若∠BDC＝130°,求∠A.
30.如图,AB是☉O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且∠PDA=∠PBD,延长PD交圆的切线BE于点E.
(1)求证:PD是☉O的切线;
(2)若∠BED=60°,PD=,求PA的长.
31.(2020·乐山)如图①，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连接BD交AC于点G，且AF＝FG.
(1)求证：点D平分；
(2)如图②，延长BA至点H，使AH＝AO，连接DH.若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．
32.(2020·天津)在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°.
(1)如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
(2)如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
33.(2019·天水)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
34.[东营中考]如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点M,弦MN∥BC交AB于点E,且ME＝3,AE＝4,AM＝5.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)求☉O的直径AB的长度.
35.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,动点D为劣弧AC上一点,弦ED交AB于点H,交AC于点F,P为ED延长线上的点.
(1)连接PC,当且PC＝PF时,求证:PC是☉O的切线;
(2)连接CD,OC,AD,则点C,D分别在上什么位置时,四边形ADCO为菱形?
参考答案
一、选择题
1.下列说法正确的是
(B)
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.经过半径的外端点并且与垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.到圆心的距离小于半径的直线是圆的切线
2.已知某矩形两邻边的边长之比为1∶2,若以较长一边为直径作半圆,则该矩形的各边与半圆相切的线段有
(D)
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
3.已知☉O的半径为R,点O到直线m的距离为d,R,d是方程x2－4x＋a＝0的两个根,当直线m与☉O相切时,a的值是
(B)
A.3
B.4
C.5
D.无法确定
4.已知☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则圆心O到直线l的距离是
(A)
A.5
B.2.5
C.3
D.10
5.如图,AB是☉O的直径,AD是☉O的切线,BD交☉O于点C,∠CAD＝50°,则∠B＝
(C)
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
6.如图,以点O为圆心画半径分别为3和5的两个圆,AB是大圆的弦,且AB与小圆相切于点P,则AB的长为(　B　)
A.6
B.8
C.10
D.12
7.如图,过☉O上一点C作☉O的切线,交直径AB的延长线于点D.若∠A=25°,则∠D的度数为(　C　)
A.25°
B.30°
C.40°
D.50°
8.如图,△ABC是⊙O的内接三角形，下列能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是(　A　)
A．∠EAB＝∠C
B．∠B＝90°
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
9.(中考·无锡)如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A，D，G三点的圆O与边AB，CD分别交于点E，F，给出下列说法：
①AC与BD的交点是圆O的圆心；
②AF与DE的交点是圆O的圆心；
③BC与圆O相切．
其中正确说法的个数是(　C　)
A．0
B．1
C．2
D．3
第9题图
第10题图
第11题图
第12题图
10.(2020·雅安)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°，则∠CAB＝(　B　)
A．62°
B．31°
C．28°
D．56°
11.(2020·天水)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为优弧AB上一点，连接AC，BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为(　B　)
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
12.(2019·重庆)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C＝50°，则∠AOD的度数为(　C　)
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
13.已知☉O的半径为R,点O到直线m的距离为d,R,d是方程x2-4x+a=0的两个根,当直线m与☉O相切时,a的值是(　B　)
A.3
B.4
C.5
D.无法确定
14.学习了直线与圆的位置关系后,我们把平面直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:y=kx+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∠OBA=60°,点P在x轴上,☉P与l相切.当点P在线段OA上运动时,使得☉P成为整圆的点P的个数是(　A　)
A.6
B.8
C.10
D.12
第14题图
第15题图
第16题图
第17题图
15.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,点D,E在☉O上.若∠CBD＝120°,则∠E的度数是
(D)
A.50°
B.70°
C.80°
D.60°
16.如图,在平面直角坐标系中,☉P的半径为2,点P的坐标为(－3,0),若将☉P沿x轴向右平移.当☉P与y轴相切时,☉P向右平移的距离为
(D)
A.1
B.5
C.3
D.1或5
17.(2019·泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为(　　)
A．32°
B．31°
C．29°
D．61°
【点拨】如图，设BP与⊙O交于点D，
连接OC，CD.
∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC.
∴∠OCP＝90°.
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°－∠A＝61°.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°.
∴∠DOC＝180°－2×61°＝58°.
∴∠P＝90°－∠DOC＝32°.
【答案】A
18.(2020·南京)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0，8)，则点D的坐标是(　　)
A．(9，2)
B．(9，3)
C．(10，2)
D．(10，3)
【点拨】设⊙P与x轴，y轴相切的切点分别是F，E点，连接PE，PF，PD，延长EP与CD交于点G，如图所示．
则PE⊥y轴，PF⊥x轴．
∵∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形．
∴PE∥OF.
∵PE＝PF，
∴四边形PEOF为正方形．
∴OE＝PF＝PE＝OF＝5.
∵A(0，8)，∴OA＝8.
∴AE＝8－5＝3.
∵四边形AOBC为矩形，
∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB.
∴EG∥AC.
∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形．
∴CG＝AE＝3，EG＝OB.
∵PE⊥AO，AO∥CB，
∴PG⊥CD.
∴CD＝2CG＝6.
∴DB＝BC－CD＝8－6＝2.
∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4.
∴OB＝EG＝5＋4＝9.
∴D(9，2)．
【答案】A
二、填空题
19.切线的判定定理：经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．
【答案】垂直
20.切线的性质定理：圆的切线________于过切点的半径．
【答案】垂直
21.[教材P101习题第4题变式](1)如图,在△ABC中,AB＝AC,∠B＝30°,以点A为圆心,以3
cm为半径作☉A,当AB＝　6　cm时,BC与☉A相切.?
(2)在△ABO中,OA＝OB＝2,☉O的半径为1,当∠AOB＝　120°　时,直线AB与☉O相切.?
22.如图,直线AB与☉O相切于点A,☉O的半径为2.若∠OBA＝30°,则AB的长为　2　.?
第21题图
第22题图
第23题图
第24题图
第25题图
23.如图,在平面直角坐标系中,P是直线y=2上的一个动点,☉P的半径为1,直线OQ切☉P于点Q,则线段OQ的最小值为?　.?
24.如图,已知☉P的半径为1,圆心P在抛物线y=x2-1上运动.当☉P与x轴相切时,圆心P的坐标为　(2,1)或(-2,1)或(0,-1)　.?
25.如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝9,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心、PM为半径作☉P.当☉P与矩形ABCD的边CD相切时,则BP的长为　4　.?
三、解答题
26.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:AC是☉O的切线.
证明:过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA.
由题可知AB⊥OD.
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO是∠BAC的平分线,
∴OE＝OD,即OE是☉O的半径.
∵AC经过☉O的半径OE的外端点且垂直于OE,
∴AC是☉O的切线.
27.如图,在△APO中,∠P=40°,以点O为圆心、OA为半径作☉O,交PO于点C.延长AO交☉O于点B,连接BC.若∠B=25°,则PA是☉O的切线吗?
解:PA是☉O的切线.
理由:∵∠AOC和∠B是同弧所对的圆心角和圆周角,
∴∠AOC=2∠B=2×25°=50°,
又∵∠P=40°,∴∠PAO=180°-50°-40°=90°,
∴PA是☉O的切线.
28.如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,∠P=60°.
(1)求∠C的度数;
(2)若☉O的半径为2,求PA的长.
解:(1)连接OA,OB.
∵PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠AOB=180°-∠P=180°-60°=120°,
∴∠C=∠AOB=×120°=60°.
(2)连接OP,易证△OAP≌△OBP,
则∠APO=∠BPO=30°,∴OP=2OA=4,
∴PA==2.
29.如图,AB是☉O的直径,直线BD,CD分别是过☉O上点B,C的切线.
(1)若BD＝2,则CD＝　2　;?
(2)若∠BDC＝130°,求∠A.
解:(2)连接OC.
由题意知OC⊥CD,OB⊥BD,
∴∠OCD＝∠OBD＝90°.
∵∠BDC＝130°,
∴∠BOC＝360°－∠OCD－∠BDC－∠OBD＝50°,
∴∠A＝∠BOC＝25°.
30.如图,AB是☉O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且∠PDA=∠PBD,延长PD交圆的切线BE于点E.
(1)求证:PD是☉O的切线;
(2)若∠BED=60°,PD=,求PA的长.
解:(1)连接OD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠BDO=90°.
∵DO=BO,∴∠BDO=∠PBD.
∵∠PDA=∠PBD,∴∠BDO=∠PDA,∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD,∴直线PD为☉O的切线.
(2)∵BE是☉O的切线,∴∠EBA=90°.
∵∠BED=60°,∴∠P=30°.
∵PD为☉O的切线,∴∠PDO=90°.
设☉O的半径为R,在Rt△PDO中,∠P=30°,则PO=2OD=2R,∴(2R)2-R2=,解得R=1,∴PO=2,AO=1,
∴PA=PO-AO=1.
31.(2020·乐山)如图①，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连接BD交AC于点G，且AF＝FG.
(1)求证：点D平分；
证明：(1)如图①，连接AD.
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠ADE＋∠BDE＝90°.
∵DE⊥AB，
∴∠ABD＋∠BDE＝90°.
∴∠ADE＝∠ABD.
又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，
∴DF＝AF.
∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD.
∴＝
即点D平分
(2)如图②，延长BA至点H，使AH＝AO，连接DH.若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．
证明：如图②，连接OD，AD.
∵点E是线段OA的中点，
DE⊥AB，AH＝AO＝BO，
∴DA＝DO，DH＝DB.
∴∠DAO＝∠DOA，∠H＝∠DBH.
∴∠H＋∠DOA＝∠DBH＋∠DAO.
又∵∠DBH＋∠DAO＝90°，
∴∠H＋∠DOA＝90°.
∴∠HDO＝90°.
∴DH是⊙O的切线．
32.(2020·天津)在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°.
(1)如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
解：∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC－∠ABC＝100°－63°＝37°.
由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，
∠ADC＝∠ABC＝63°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝90°－63°＝27°.
(2)如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
解：连接OD，如图所示．
∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°.
∴∠PCB＝90°－∠ABC＝90°－63°＝27°.
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD.
∴∠ODE＝90°.
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°－∠BOD＝90°－54°＝36°.
33.(2019·天水)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
【思路点拨】连接OC，证明△OAP≌△OCP，得∠OCP＝∠OAP，再由AP是⊙O的切线，得∠OAP＝90°，问题得证；
证明：连接OC.
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴OD垂直平分AC.
∴PA＝PC.
在△OAP和△OCP中，
∴△OAP≌△OCP(SSS)．
∴∠OCP＝∠OAP.
∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°.
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
∴PC是⊙O的切线．
(2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
【思路点拨】求得∠COF的度数，在Rt△COF中，利用勾股定理求解．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
又∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°.
∴∠COF＝60°.
∵AB＝10，∴OC＝OB＝AB＝5.
由(1)知∠OCP＝90°，∴∠OCF＝90°.∴∠F＝30°.
∴OF＝2OC＝10.
∴CF＝＝5.
34.[东营中考]如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点M,弦MN∥BC交AB于点E,且ME＝3,AE＝4,AM＝5.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)求☉O的直径AB的长度.
解:(1)∵在△AME中,ME＝3,AE＝4,AM＝5,
∴AM2＝ME2＋AE2,
∴△AME是直角三角形,∴∠AEM＝90°.
∵MN∥BC,∴∠ABC＝∠AEM＝90°,
∴AB⊥BC.
∵AB为直径,∴BC是☉O的切线.
(2)连接OM.
设☉O的半径为r.
在Rt△OEM中,OE＝AE－OA＝4－r,ME＝3,OM＝r,
∴由OM2＝ME2＋OE2,得r2＝32＋(4－r)2,
解得r＝,
∴AB＝2r＝.
35.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,动点D为劣弧AC上一点,弦ED交AB于点H,交AC于点F,P为ED延长线上的点.
(1)连接PC,当且PC＝PF时,求证:PC是☉O的切线;
(2)连接CD,OC,AD,则点C,D分别在上什么位置时,四边形ADCO为菱形?
解:(1)连接OC.
∵OA＝OC,∴∠ACO＝∠OAC.
∵PC＝PF,∴∠PCF＝∠PFC.
∵,AB是☉O的直径,∴DE⊥AB,
∴∠OAC＋∠AFH＝90°.
∵∠PFC＝∠AFH,∴∠PFC＋∠OAC＝90°,
∴∠PCF＋∠ACO＝90°,
即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.
(2)连接OD.当C,D在的三等分点时,四边形ADCO为菱形.
∵,∴∠COD＝∠DOA＝60°.
∵OC＝OD＝OA,∴△OCD与△OAD是等边三角形,
∴OC＝OD＝OA＝AD＝CD,
∴四边形ADCO为菱形.