24.2.2.3 切线长定理和三角形的内切圆同步练习（含答案）

24.2　点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2　直线和圆的位置关系
第3课时　切线长定理和三角形的内切圆
一、选择题
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点.若PA＝3,则PB的长是
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
第1题图
第2题图
第3题图
第6题图
2.将一块含60°角的直角三角板和一个光盘、一块直尺如图摆放,若AB＝3,则光盘的直径是(
)
A.3
B.3
C.6
D.6
3.如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA＝7.5
cm,则△PMN的周长是
(
)
A.7.5
cm
B.10
cm
C.12.5
cm
D.15
cm
4.到三角形三条边的距离相等的点是三角形(　　)
A.三条内角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
5.如果☉O为△ABC的内切圆,那么O是△ABC的
(
)
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
6.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,若∠A＝50°,∠C＝60°,则∠DOE＝
(
)
A.70°
B.110°
C.120°
D.130°
7.(2020·金华)如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是(　　)
A．65°
B．60°
C．58°
D．50°
第7题图
第8题图
第10题图
第12题图
8.(2019·荆门)如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是(　　)
A．DI＝DB
B．DI>DB
C．DID．不确定
9.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为
(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
10.(中考·河北)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　　)
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　)
A．3步
B．5步
C．6步
D．8步
12.[济宁中考]如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A＝60°,CD＝2,BD＝4,则△DBC的面积是
(
)
A.4
B.2
C.2
D.4
13.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=25
cm,∠MPN=60°,则☉O的半径(　　)
A.50
cm
B.25
cm
C.20
cm
D.25
cm
14.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为(　　)
A.39°
B.56°
C.64°
D.78°
15.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF＝∠B;②2∠EDF＝∠A＋∠C;③2∠A＝∠FED＋∠EDF;④∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°.其中等式成立的个数是
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
16.如图,在△ABC中,∠BOC＝140°,I是内心,O是外心,则∠BIC等于
(
)
A.130°
B.125°
C.120°
D.115°
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
17.(2020·湘西州)如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是(　　)
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
第17题图
第18题图
第19题图
第20题图
18.(2019·台州)如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为(　　)
A．2
B．3
C．
4
D．4－
19.(2020·湖州)如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是(　　)
A．DC＝DT
B．AD＝DT
C．BD＝BO
D．2OC＝5AC
20.(2020·随州)如图，设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是(　　)
A．h＝R＋r　
B．R＝2r　
C．r＝a　
D．R＝a
21.[南京中考]如图,在矩形ABCD中,AB＝4,AD＝5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为
(
)
A.
B.
C.
D.2
二、填空题
22.经过圆外一点的圆的切线上，________和________之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的________条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线________两条切线的夹角．
23.与三角形各边都________的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是___________________的交点，叫做三角形的________．
24.如图,四边形ABCD外切于☉O,若AB＝16,CD＝10,则四边形ABCD的周长是　
　.?
第24题图
第25题图
第26题图
第27题图
25.如图,☉O内切于四边形ABCD,连接OA,OB,OC,OD.若∠AOB＝110°,则∠COD的度数是　
　.?
26.如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.若∠DEF＝50°,则∠A＝　　.?
27.如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为　
　.?
28.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,AC=3,则BD的长为　　.?
第28题图
第29题图
第30题图
29.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是　
　.?
30.[龙岩中考]如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1＋S2＋S3＋…＋S10＝　
　.?
三、解答题
31.如图,在△ABC中,∠C＝90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AC＝6,BC＝8,求内切圆☉O的半径.
32.如图,PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上,点E在PB上.
(1)若PA＝10,求△PDE的周长;
(2)若∠P＝50°,求∠O的度数.
33.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,交BC于点F.
(1)若∠ABC＝40°,∠C＝80°,求∠CBD的度数;
(2)求证:DB＝DE.
34.(中考·黄石)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得DF＝BD，连接CF，BE.求证：
(1)DB＝DE；
(2)直线CF为⊙O的切线．
35.(中考·南京)下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E，F，CE的长为x.
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x.
根据勾股定理，得(x＋3)2＋(x＋4)2＝(3＋4)2.
整理，得x2＋7x＝12.
所以S△ABC＝AC·BC＝(x＋3)(x＋4)＝(x2＋7x＋12)＝×(12＋12)＝12.
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n.
可以一般化吗？
(1)若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn.
倒过来思考呢？
(2)若AC·BC＝2mn，求证：∠C＝90°.
改变一下条件……
(3)若∠C＝60°，用m，n表示△ABC的面积．
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精品试卷·第
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（共
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参考答案
一、选择题
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点.若PA＝3,则PB的长是
(B)
A.2
B.3
C.4
D.5
第1题图
第2题图
第3题图
第6题图
2.将一块含60°角的直角三角板和一个光盘、一块直尺如图摆放,若AB＝3,则光盘的直径是
(D)
A.3
B.3
C.6
D.6
3.如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA＝7.5
cm,则△PMN的周长是
(D)
A.7.5
cm
B.10
cm
C.12.5
cm
D.15
cm
4.到三角形三条边的距离相等的点是三角形(　A　)
A.三条内角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
5.如果☉O为△ABC的内切圆,那么O是△ABC的
(D)
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
6.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,若∠A＝50°,∠C＝60°,则∠DOE＝
(B)
A.70°
B.110°
C.120°
D.130°
7.(2020·金华)如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是(　　)
A．65°
B．60°
C．58°
D．50°
【点拨】连接OE，OF.
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC.
∴∠OEB＝∠OFB＝90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∴∠EOF＝120°.
∴∠EPF＝∠EOF＝60°.
【答案】B
第7题图
第8题图
第10题图
第12题图
8.(2019·荆门)如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是(　　)
A．DI＝DB
B．DI>DB
C．DID．不确定
【点拨】如图，连接BI.
∵△ABC的内心为I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2.
∵∠4＝∠2＋∠6＝∠3＋∠5，
∴∠4＝∠DBI.
∴DI＝DB.
【答案】A
9.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为
(D)
A.4
B.3
C.2
D.1
10.(中考·河北)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　B　)
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　)
A．3步
B．5步
C．6步
D．8步
【点拨】根据勾股定理得，斜边长为＝17(步)，则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r＝＝3(步)，即直径为6步．
【答案】C
12.[济宁中考]如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A＝60°,CD＝2,BD＝4,则△DBC的面积是
(B)
A.4
B.2
C.2
D.4
13.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=25
cm,∠MPN=60°,则☉O的半径(　D　)
A.50
cm
B.25
cm
C.20
cm
D.25
cm
14.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为(　C　)
A.39°
B.56°
C.64°
D.78°
15.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF＝∠B;②2∠EDF＝∠A＋∠C;③2∠A＝∠FED＋∠EDF;④∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°.其中等式成立的个数是
(B)
A.1
B.2
C.3
D.4
16.如图,在△ABC中,∠BOC＝140°,I是内心,O是外心,则∠BIC等于
(B)
A.130°
B.125°
C.120°
D.115°
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
17.(2020·湘西州)如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是(　B　)
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
第17题图
第18题图
第19题图
第20题图
18.(2019·台州)如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为(　A　)
A．2
B．3
C．
4
D．4－
19.(2020·湖州)如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是(　　)
A．DC＝DT
B．AD＝DT
C．BD＝BO
D．2OC＝5AC
【点拨】连接OD.
∵OT是半径，OT⊥AB，∴DT是⊙O的切线．
∵DC是⊙O的切线，
∴DC＝DT，故选项A不符合题意．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°.
∵DC是切线，∴CD⊥OC.
∴∠ACD＝90°.
∴∠A＝∠ADC＝45°.
∴AC＝CD＝DT.
∴AD＝CD＝DT，故选项B不符合题意．
∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，
∴△DOC≌△DOT(SSS)．
∴∠DOC＝∠DOT.
∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，
∴∠AOT＝∠BOT＝45°.
∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°.
∴∠BOD＝67.5°.
∴∠ODB＝180°－∠B－∠BOD＝67.5°.
∴∠BOD＝∠ODB.
∴BD＝BO，故选项C不符合题意．
【答案】D
20.(2020·随州)如图，设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是(　　)
A．h＝R＋r　
B．R＝2r　
C．r＝a　
D．R＝a
【点拨】如图所示．
∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆．
设圆心为O，D，E为切点，连接OE，OD，OA，易得点A，O，D共线，则OE＝OD＝r，AO＝R，AD＝h，
∴h＝R＋r，故A不符合题意．
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°.
在Rt△AOE中，OA＝2OE，
即R＝2r，故B不符合题意．
∵AB＝AC＝BC＝a，∴AE＝AC＝a.
∴＋r2＝(2r)2，
＋＝R2.
∴r＝，R＝a，故C符合题意，D不符合题意．
【答案】C
21.[南京中考]如图,在矩形ABCD中,AB＝4,AD＝5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为
(A)
A.
B.
C.
D.2
二、填空题
22.经过圆外一点的圆的切线上，________和________之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的________条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线________两条切线的夹角．
【答案】这点；切点；两；相等；平分
23.与三角形各边都________的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是___________________的交点，叫做三角形的________．
【答案】相切；三角形三条角平分线；内心
24.如图,四边形ABCD外切于☉O,若AB＝16,CD＝10,则四边形ABCD的周长是　52　.?
第24题图
第25题图
第26题图
第27题图
25.如图,☉O内切于四边形ABCD,连接OA,OB,OC,OD.若∠AOB＝110°,则∠COD的度数是　70°　.?
26.如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.若∠DEF＝50°,则∠A＝　80°　.?
27.如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为　6∶7　.?
28.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,AC=3,则BD的长为　2　.?
第28题图
第29题图
第30题图
29.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是　14　.?
30.[龙岩中考]如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1＋S2＋S3＋…＋S10＝　π　.?
三、解答题
31.如图,在△ABC中,∠C＝90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AC＝6,BC＝8,求内切圆☉O的半径.
解:(1)略.
(2)☉O的半径为2.
32.如图,PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上,点E在PB上.
(1)若PA＝10,求△PDE的周长;
(2)若∠P＝50°,求∠O的度数.
解:(1)∵PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,
∴PA＝PB,DA＝DC,EC＝EB,∴△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝10＋10＝20.
(2)连接OA,OC,OB.
∵OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE,
∴∠DAO＝∠EBO＝90°,
∴∠P＋∠AOB＝180°,
∴∠AOB＝180°－50°＝130°.
∵∠AOD＝∠DOC,∠COE＝∠BOE,
∴∠DOE＝×130°＝65°.
33.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,交BC于点F.
(1)若∠ABC＝40°,∠C＝80°,求∠CBD的度数;
(2)求证:DB＝DE.
解:(1)∵∠ABC＝40°,∠C＝80°,
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝60°.
∵点E是△ABC的内心,
∴∠CAD＝∠BAD＝BAC＝30°,
∴∠CBD＝∠CAD＝30°.
(2)连接BE.
∵点E是△ABC的内心,
∴∠BAD＝∠CAD,∠ABE＝∠CBE.
∵∠CAD＝∠CBD,∴∠BAD＝∠CBD,
∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.
∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD,
∴∠BED＝∠DBE,∴DB＝DE.
34.(中考·黄石)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得DF＝BD，连接CF，BE.求证：
(1)DB＝DE；
证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.
∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，
∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，
∠DBC＝∠CAE，
∴∠DBE＝∠DEB.
∴DB＝DE.
(2)直线CF为⊙O的切线．
解：连接CD.
∵∠DAB＝∠DAC，
∴＝.
∴BD＝CD.
∵BD＝DF，
∴CD＝DB＝DF.
∴∠DBC＝∠DCB，∠DCF＝∠DFC.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°.
∴∠DBC＝∠DCB＝∠DCF＝∠DFC＝45°.
∴∠BCF＝90°，即BC⊥CF.
∴直线CF为⊙O的切线．
35.(中考·南京)下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E，F，CE的长为x.
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x.
根据勾股定理，得(x＋3)2＋(x＋4)2＝(3＋4)2.
整理，得x2＋7x＝12.
所以S△ABC＝AC·BC＝(x＋3)(x＋4)＝(x2＋7x＋12)＝×(12＋12)＝12.
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n.
可以一般化吗？
解：设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E，F，CE的长为x.
根据切线长定理，得AE＝AD＝m，BF＝BD＝n，CF＝CE＝x.
(1)若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn.
倒过来思考呢？
【思路点拨】根据切线长定理和勾股定理可得线段之间的数量关系，根据三角形的面积公式证明即可.
证明：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得(x＋m)2＋(x＋n)2＝(m＋n)2.
整理，得x2＋(m＋n)x＝mn.
所以S△ABC＝AC·BC＝(x＋m)(x＋n)＝[x2＋(m＋n)x＋mn]＝(mn＋mn)＝mn.
(2)若AC·BC＝2mn，求证：∠C＝90°.
改变一下条件……
【思路点拨】根据线段的数量关系，计算出三角形的边的平方值，再用勾股定理的逆定理证明直角，结论得证；
证明：由AC·BC＝2mn，得(x＋m)(x＋n)＝2mn.
整理，得x2＋(m＋n)x＝mn.
∴AC2＋BC2＝(x＋m)2＋(x＋n)2＝2[x2＋(m＋n)x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝(m＋n)2＝AB2.
根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°.
(3)若∠C＝60°，用m，n表示△ABC的面积．
【思路点拨】作垂线构造直角三角形，根据含30°角的直角三角形的性质得线段之间的关系，再利用勾股定理列出关系式，从而表示出三角形的面积．
解：如图，过点A作AG⊥BC于点G.
在Rt△ACG中，∠C＝60°，
则∠CAG＝30°，
∴CG＝AC＝(x＋m)．
∴AG＝＝(x＋m)．
∴BG＝BC－CG＝(x＋n)－(x＋m)．
在Rt△ABG中，根据勾股定理可得＋[(x＋n)－(x＋m)]2＝(m＋n)2.
整理，得x2＋(m＋n)x＝3mn.
∴S△ABC＝BC·AG＝(x＋n)·(x＋m)＝[x2＋(m＋n)x＋mn]＝(3mn＋mn)＝mn.