24.3 正多边形和圆同步练习（含答案）

24.3　正多边形和圆
一、选择题
1.对于一个正多边形,下列四个命题中,错误的是
(
)
A.正多边形是轴对称图形,每条边的垂直平分线是它的对称轴
B.正多边形是中心对称图形,正多边形的中心是它的对称中心
C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
2.下列说法中，不正确的是(　　)
A．正多边形一定有一个外接圆
B．正多边形的内切圆与外接圆是两个同心圆
C．正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．各边相等的多边形未必是正多边形
3.(2020·德阳)半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aB．bC．aD．c4.利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的正多边形是(　　)
A．正三角形
B．正方形
C．正六边形
D．正七边形
5.如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,则正五边形中心角∠COD的度数是
(
)
A.36°
B.60°
C.72°
D.76°
第5题图
第6题图
第9题图
第12题图
6.如图,将边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中.已知点A的坐标为(1,0),则点B的坐标为
(
)
A.(－1,2)
B.(2,－1)
C.(1,2)
D.(－1,2)
7.边长为2的正六边形的边心距为
(
)
A.1
B.2
C.
D.2
8.已知一个正六边形的边心距为3,则它的外接圆的面积为
(
)
A.π
B.3π
C.4π
D.12π
9.一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放,它们都有一条边在直线l上,且有一个公共顶点O,则∠AOB的度数是
(
)
A.83°
B.84°
C.85°
D.94°
10.若正三角形、正方形、正六边形的周长相等,它们的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系成立的是
(
)
A.S1＝S2＝S3
B.S1>S2>S3
C.S1D.S2>S3>S1
11.同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的面积之比为(　　)
A.1∶2∶3
B.1∶
C.3∶8∶6
D.无法确定
12.如图,AB,AC分别为☉O的内接正方形、内接正三角形的边,BC是圆内接正n边形的一边,则n等于
(
)
A.8
B.10
C.12
D.16
13.如图,△ABC和△DEF分别是☉O的外切正三角形和内接正三角形,则它们的面积比为(　　)
A.4
B.2
C.
D.
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
14.如图1,雯雯开了一家品牌手机体验店,现在体验区(阴影部分)摆放如图2所示的正六边形桌子若干张,体验店平面图是长9
m、宽7
m的矩形,通道宽2
m,桌子的边长为1
m,摆放时要求桌子至少离墙1
m,且有边与墙平行,桌子之间的距离至少为1
m,则体验区最多可以摆放桌子
(
)
A.4张
B.5张
C.6张
D.7张
15.(2020·连云港)10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A，B，C，D，E，O均是正六边形的顶点，则点O是下列哪个三角形的外心？(　　)
A．△AED
B．△ABD
C．△BCD
D．△ACD
16.(2020·德州)如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．24－4π
B．12＋4π
C．24＋8π
D．24＋4π
17.(2020·凉山州)如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD:AB＝(　　)
A.2:
B.:
C.:
D.:2
二、填空题
18.顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆_____________．这个圆叫做该正多边形的________圆．
19.正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的______，外接圆的半径叫做正多边形的________，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的_________________．
20.由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的__________就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．
21.(2020·扬州)如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3
cm，则螺帽边长a＝________cm.
第21题图
第22题图
第23题图
第24题图
第25题图
22.如图,A,B,C,D为一个正多边形的相邻四个顶点,O为正多边形的中心.若∠ADB＝12°,则这个正多边形的边数为　　.?
23.如图,五边形ABCDE为☉O的内接正五边形,则∠CAD＝　
　.?
24.如图,P,Q分别是☉O的内接正五边形的边AB,BC上的点,BP＝CQ,则∠POQ＝　
　.?
25.如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD分别相切于A,C两点,则∠OBC的度数为　
　.?
三、解答题
26.[教材P106练习第3题变式]如图,一个正多边形外接圆的半径为,边心距为1,求该正多边形的中心角、边长、内角、周长和面积.
27.图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图2,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法,保留作图痕迹)
28.如图,☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,求所对的圆周角∠APE的度数.
29.如图，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C，D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A，C，D的⊙O分别交AF，AG于点B，E.
求证：五边形ABCDE是正五边形．
30.如图,☉O外接于正方形ABCD,P为劣弧上一点,且AP=1,PC=3,求正方形ABCD的边长和PB的长.
31.[通辽中考]中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6
cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1
cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).
(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;
(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.
32.将正六边形纸片按下列要求分割.(每次分割纸片不得剩余)
第一次:将正六边形纸片分割成三个全等的菱形,然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形.(后面就依次用剩下的正六边形按上述方法分割……)
(1)请画出第一次分割示意图.
(2)若原正六边形的面积为a,请你将第一次、第二次、第三次分割后所得的正六边形的面积填入下表:
分割次数n
1
2
3
…
正六边形的面积S
…
(3)猜想:分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系?(S用含a和n的代数式表示)
33.如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)试求图①中∠MON的度数；
(2)猜想图②中∠MON的度数是______________，图③中∠MON的度数是________；
(3)探究∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系(直接写出答案即可)．
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精品试卷·第
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参考答案
一、选择题
1.对于一个正多边形,下列四个命题中,错误的是
(B)
A.正多边形是轴对称图形,每条边的垂直平分线是它的对称轴
B.正多边形是中心对称图形,正多边形的中心是它的对称中心
C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
2.下列说法中，不正确的是(　C　)
A．正多边形一定有一个外接圆
B．正多边形的内切圆与外接圆是两个同心圆
C．正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．各边相等的多边形未必是正多边形
3.(2020·德阳)半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　A　)
A．aB．bC．aD．c4.利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的正多边形是(　D　)
A．正三角形
B．正方形
C．正六边形
D．正七边形
5.如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,则正五边形中心角∠COD的度数是
(C)
A.36°
B.60°
C.72°
D.76°
第5题图
第6题图
第9题图
第12题图
6.如图,将边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中.已知点A的坐标为(1,0),则点B的坐标为
(A)
A.(－1,2)
B.(2,－1)
C.(1,2)
D.(－1,2)
7.边长为2的正六边形的边心距为
(C)
A.1
B.2
C.
D.2
8.已知一个正六边形的边心距为3,则它的外接圆的面积为
(D)
A.π
B.3π
C.4π
D.12π
9.一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放,它们都有一条边在直线l上,且有一个公共顶点O,则∠AOB的度数是
(B)
A.83°
B.84°
C.85°
D.94°
10.若正三角形、正方形、正六边形的周长相等,它们的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系成立的是
(C)
A.S1＝S2＝S3
B.S1>S2>S3
C.S1D.S2>S3>S1
11.同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的面积之比为(　C　)
A.1∶2∶3
B.1∶
C.3∶8∶6
D.无法确定
12.如图,AB,AC分别为☉O的内接正方形、内接正三角形的边,BC是圆内接正n边形的一边,则n等于
(C)
A.8
B.10
C.12
D.16
13.如图,△ABC和△DEF分别是☉O的外切正三角形和内接正三角形,则它们的面积比为(　A　)
A.4
B.2
C.
D.
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
14.如图1,雯雯开了一家品牌手机体验店,现在体验区(阴影部分)摆放如图2所示的正六边形桌子若干张,体验店平面图是长9
m、宽7
m的矩形,通道宽2
m,桌子的边长为1
m,摆放时要求桌子至少离墙1
m,且有边与墙平行,桌子之间的距离至少为1
m,则体验区最多可以摆放桌子
(A)
A.4张
B.5张
C.6张
D.7张
15.(2020·连云港)10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A，B，C，D，E，O均是正六边形的顶点，则点O是下列哪个三角形的外心？(　D　)
A．△AED
B．△ABD
C．△BCD
D．△ACD
16.(2020·德州)如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　A　)
A．24－4π
B．12＋4π
C．24＋8π
D．24＋4π
【点拨】设正六边形的中心为O，
连接OA，OB，如图所示．
17.(2020·凉山州)如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD:AB＝(　　)
A.2:
B.:
C.:
D.:2
【点拨】连接OA，OB，OD，过点
O作OH⊥AB于点H，如图所示．
则AH＝BH＝AB.
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，
∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°.
∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°.
∴AD＝OA，AH＝OA.
∴AB＝2AH＝2×OA＝OA.
∴＝＝.
【答案】B
二、填空题
18.顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆_____________．这个圆叫做该正多边形的________圆．
【答案】内接正多边形；外接
19.正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的______，外接圆的半径叫做正多边形的________，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的_________________．
【答案】中心；半径；中心角；边心距
20.由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的__________就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．
【答案】圆心角
21.(2020·扬州)如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3
cm，则螺帽边长a＝________cm.
【答案】
第21题图
第22题图
第23题图
第24题图
第25题图
22.如图,A,B,C,D为一个正多边形的相邻四个顶点,O为正多边形的中心.若∠ADB＝12°,则这个正多边形的边数为　15　.?
23.如图,五边形ABCDE为☉O的内接正五边形,则∠CAD＝　36°　.?
24.如图,P,Q分别是☉O的内接正五边形的边AB,BC上的点,BP＝CQ,则∠POQ＝　72°　.?
25.如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD分别相切于A,C两点,则∠OBC的度数为　54°　.?
三、解答题
26.[教材P106练习第3题变式]如图,一个正多边形外接圆的半径为,边心距为1,求该正多边形的中心角、边长、内角、周长和面积.
解:中心角为90°,边长为2,内角为90°,周长为8,面积为4.
27.图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图2,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法,保留作图痕迹)
略
28.如图,☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,求所对的圆周角∠APE的度数.
解:连接AC,EC.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BCD=∠B=∠D=120°,AB=BC=CD=DE,
∴∠BAC=∠BCA=(180°-∠B)=30°,
同理∠DCE=30°.
∴∠ACE=∠BCD-∠BCA-∠DCE=60°,
∴∠APE=∠ACE=30°.
29.如图，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C，D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A，C，D的⊙O分别交AF，AG于点B，E.
求证：五边形ABCDE是正五边形．
证明：∵AF＝AG，∠FAG＝108°，
∴∠F＝∠G＝36°.
∵CF＝CA，DG＝DA，
∴∠FAC＝∠GAD＝36°.
∴∠CAD＝36°.
∴BC＝CD＝DE.
∵∠ACD＝∠FAC＋∠F＝72°，∠GAD＝36°，
∴的度数为144°，的度数为72°.
∴的度数为72°.
∴＝.
∴AE＝DE.同理可得AB＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
即点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点．
∴五边形ABCDE是正五边形．
30.如图,☉O外接于正方形ABCD,P为劣弧上一点,且AP=1,PC=3,求正方形ABCD的边长和PB的长.
解:连接AC,作AE⊥PB于点E.
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠D=∠BCD=90°,∠ACB=45°,∴AC是☉O的直径,△ABC是等腰直角三角形,∴∠APC=90°,AC=AB,∴AC=,∴AB=.
∵∠APB=∠ACB=45°,AE⊥PB,∴△APE是等腰直角三角形,∴PE=AE=AP=,∴BE=,∴PB=PE+BE==2.
31.[通辽中考]中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6
cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1
cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).
(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;
(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.
解:(1)∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA,∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F.
由题可得AP＝DQ＝t,PF＝QC＝6－t.
在△ABP和△DEQ中,
∴△ABP≌△DEQ(SAS),∴BP＝EQ.
同理可得PE＝QB,
∴四边形PEQB为平行四边形.
(2)连接BE,OA,则∠AOB＝60°.
∵OA＝OB,∴△AOB是等边三角形,
∴AB＝OA＝6,BE＝2OB＝12.
①当t＝0时,点P与点A重合,点Q与点D重合,四边形PBQE即为四边形ABDE.则∠EAF＝∠AEF＝30°,∴∠BAE＝120°－30°＝90°,
∴此时四边形ABDE是矩形,即四边形PBQE是矩形.
②当t＝6时,点P与点F重合,点Q与点C重合,四边形PBQE即为四边形FBCE.
同理可得∠BFE＝90°,此时四边形PBQE是矩形.
综上所述,当t＝0或t＝6时,四边形PBQE是矩形,
∴AE＝,
∴S矩形PBQE＝S矩形ABDE＝AB·AE＝36.
∵S正六边形ABCDEF＝6S△AOB＝6×,
∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝.
32.将正六边形纸片按下列要求分割.(每次分割纸片不得剩余)
第一次:将正六边形纸片分割成三个全等的菱形,然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形.(后面就依次用剩下的正六边形按上述方法分割……)
(1)请画出第一次分割示意图.
(2)若原正六边形的面积为a,请你将第一次、第二次、第三次分割后所得的正六边形的面积填入下表:
分割次数n
1
2
3
…
正六边形的面积S
a
a
a
…
(3)猜想:分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系?(S用含a和n的代数式表示)
解:(1)如图.
(3)Sn=a.
33.如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)试求图①中∠MON的度数；
【思路点拨】构造全等三角形，将问题转化为求中心角；
解：连接OB，OC.
∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°.
∴∠BOC＝120°.
∵OB＝OC，∴∠OBN＝∠OCN＝30°.
∴∠OBM＝∠OCN＝30°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN(SAS)．∴∠BOM＝∠CON.
∴∠MON＝∠BOM＋∠BON＝∠CON＋∠BON＝∠BOC＝120°.
(2)猜想图②中∠MON的度数是______________，图③中∠MON的度数是________；
【答案】90°
72°
【思路点拨】仿照(1)可求；
(3)探究∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系(直接写出答案即可)．
【思路点拨】从(1)(2)中得出规律即可写出答案．
∠MON＝.