24.4.1 弧长和扇形面积同步练习（含答案）

24.4　弧长和扇形面积
第1课时　弧长和扇形面积
一、选择题
1.如图,☉O的半径为6,☉O上有三点A,B,C,且∠ACB＝30°,则的长等于
(
)
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
第1题图
第5题图
第10题图
第11题图
2.(2019·温州)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为(　　)
A.π
B．2π
C．3π
D．6π
3.有一段长度为2.5π的弧,则此弧所对的圆心角的度数为75°,则这段圆弧所在圆的半径是
(
)
A.3
B.4
C.6
D.12
4.有一条弧的长为2π
cm,半径为2
cm,则这条弧所对的圆心角的度数是
(
)
A.90°
B.120°
C.135°
D.180°
5.如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC的夹角为150°,AB的长为32
cm,BD的长为14
cm,则的长为
(
)
A.π
cm
B.12π
cm
C.15π
cm
D.36π
cm
6.若扇形的圆心角为90°,半径为6,则该扇形的面积为
(
)
A.
B.3π
C.6π
D.9π
7.如果弧长为4π
cm的扇形面积为16π
cm2,那么该扇形的半径为
(
)
A.8
cm
B.9
cm
C.10
cm
D.11
cm
8.已知一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍,且它的面积等于该已知圆的面积,则这一扇形的圆心角为
(
)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
9.若钟面上分针的长为1,则从9点到9点15分,分针在钟面上扫过的面积是
(
)
A.π
B.π
C.π
D.π
10.(2020·南充)如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为(　　)
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
11.(中考·咸宁)如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为(　　)
A．π
B.π
C．2π
D．3π
12.(2020·聊城)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是(　　)
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
第12题图
第13题图
第14题图
第15题图
13.(2019·宁夏)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF、扇形DCE，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．6－π
B．6－π
C．12－π
D．12－π
14.如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上.若∠OCA=40°,AB=6,则的长为(　　)
A.
B.
C.
D.
15.(咸宁中考)如图,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD.若∠BOD=∠BCD,则的长为(　　)
A.π
B.π
C.2π
D.3π
16.如图,正方形ABCD的边长为3,以点A为圆心、2为半径作圆弧,以点D为圆心、3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为S1,S2,则S1-S2的值为(　　)
A.9
B.9-π
C.π-9
D.π
第16题图
第17题图
第18题图
第19题图
17.如图,5×3的网格图中,每个小正方形的边长均为1,设经过图中格点A,C,B三点的圆弧与AE交于点H,则的长为
(
)
A.π
B.π
C.π
D.π
18.如图,AB⊥OB,AB＝2,OB＝4,把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得到∠CDO,则AB扫过的面积(图中阴影部分)为
(
)
A.2
B.2π
C.π
D.π
19.边长为1的等边△ABC在直线l上,按如图所示的方式进行两次旋转,在两次旋转过程中,点C经过的路径长为
(
)
A.
B.
C.π
D.
20.(2020·淄博)如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③.若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的路径的长是(　　)
A.2π＋2
　B.3π
C.
D.＋2
第20题图
第21题图
21.(2020·苏州)如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．π－1
B.
－1
C．π－
D.
－
22.(2020·乐山)在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为(　　)
A.
B.
C.
D.π
第22题图
第23题图
23.(2020·遂宁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为(　　)
A．4－
B．2－
C．2－π
D．1－
二、填空题
24.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为______．
25.由组成圆心角的__________和______________围成的图形叫做扇形；半径为R，圆心角为n°的扇形的面积为____________；若已知扇形的半径为R，弧长为l，则扇形的面积为________．
26.(贵港中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)．
第26题图
第27题图
第29题图
第30题图
第31题图
27.如图,一把直角尺的45°角的顶点A落在☉O上,两边分别交☉O于B,C两点.若☉O的半径为2,则的长为　
　.?
28.若某扇形花坛的面积为6
m2,半径为3
m,则该扇形花坛的弧长为　
　m.?
29.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接BD,∠ABD＝60°,CD＝2,则的长为
　.?
30.如图,在△ABC中,BC＝2,∠B＝60°,若把线段BC绕着点B旋转,使得点C落在直线AB上的点D处,旋转角度大于0°且小于180°,那么线段BC扫过的面积等于
　.(结果保留π)?
31.(天水中考)如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中的圆心依次是A,B,C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是　
　.?
三、解答题
32.如图,A,B,C三点在半径为1的☉O上,四边形ABCO是菱形,求的长.
33.如图,AB是半圆的直径,C,D是的三等分点,☉O的半径为1.
(1)求的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
34.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,∠ACD=60°,∠ADC=50°.
(1)求∠CEB的度数;
(2)若AD=2,求扇形AOC的面积.
35.如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得BD＝CB，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．
36.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD交AD于点E,连接BC.
(1)求证:AE＝ED;
(2)若AB＝6,∠CBD＝30°,求图中阴影部分的面积.
37.(2020·郴州)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E.
(1)求证：直线DC是⊙O的切线．
(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
38.如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数解析式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以点O1为圆心、O1O为半径画半圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2,由弦P1O2和围成的弓形面积记为S1;以点O2为圆心、O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3,由弦P2O3和围成的弓形面积记为S2;以点O3为圆心、O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4,由弦P3O4和围成的弓形面积记为S3;……按此做法进行下去,求S2021.
39.如图,半圆O的直径AB＝6,弦CD的长为3,点C,D在上运动,点D在上运动,且不与点A重合,但点C可与点B重合.
(1)当的长为时,求的长;
(2)取CD的中点M,在CD运动的过程中,求点M到AB的距离的最小值.
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精品试卷·第
2
页
（共
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参考答案
一、选择题
1.如图,☉O的半径为6,☉O上有三点A,B,C,且∠ACB＝30°,则的长等于
(B)
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
第1题图
第5题图
第10题图
第11题图
2.(2019·温州)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为(　C　)
A.π
B．2π
C．3π
D．6π
3.有一段长度为2.5π的弧,则此弧所对的圆心角的度数为75°,则这段圆弧所在圆的半径是
(C)
A.3
B.4
C.6
D.12
4.有一条弧的长为2π
cm,半径为2
cm,则这条弧所对的圆心角的度数是
(D)
A.90°
B.120°
C.135°
D.180°
5.如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC的夹角为150°,AB的长为32
cm,BD的长为14
cm,则的长为
(C)
A.π
cm
B.12π
cm
C.15π
cm
D.36π
cm
6.若扇形的圆心角为90°,半径为6,则该扇形的面积为
(D)
A.
B.3π
C.6π
D.9π
7.如果弧长为4π
cm的扇形面积为16π
cm2,那么该扇形的半径为
(A)
A.8
cm
B.9
cm
C.10
cm
D.11
cm
8.已知一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍,且它的面积等于该已知圆的面积,则这一扇形的圆心角为
(B)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
9.若钟面上分针的长为1,则从9点到9点15分,分针在钟面上扫过的面积是
(B)
A.π
B.π
C.π
D.π
10.(2020·南充)如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为(　A　)
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
11.(中考·咸宁)如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为(　C　)
A．π
B.π
C．2π
D．3π
12.(2020·聊城)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是(　B　)
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
第12题图
第13题图
第14题图
第15题图
13.(2019·宁夏)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF、扇形DCE，则图中阴影部分的面积是(　B　)
A．6－π
B．6－π
C．12－π
D．12－π
14.如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上.若∠OCA=40°,AB=6,则的长为(　D　)
A.
B.
C.
D.
15.(咸宁中考)如图,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD.若∠BOD=∠BCD,则的长为(　C　)
A.π
B.π
C.2π
D.3π
16.如图,正方形ABCD的边长为3,以点A为圆心、2为半径作圆弧,以点D为圆心、3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为S1,S2,则S1-S2的值为(　C　)
A.9
B.9-π
C.π-9
D.π
第16题图
第17题图
第18题图
第19题图
17.如图,5×3的网格图中,每个小正方形的边长均为1,设经过图中格点A,C,B三点的圆弧与AE交于点H,则的长为
(B)
A.π
B.π
C.π
D.π
18.如图,AB⊥OB,AB＝2,OB＝4,把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得到∠CDO,则AB扫过的面积(图中阴影部分)为
(C)
A.2
B.2π
C.π
D.π
19.边长为1的等边△ABC在直线l上,按如图所示的方式进行两次旋转,在两次旋转过程中,点C经过的路径长为
(B)
A.
B.
C.π
D.
20.(2020·淄博)如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③.若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的路径的长是(　　)
A.2π＋2
　B.3π
C.
D.＋2
【点拨】如图所示．
第20题图
第21题图
21.(2020·苏州)如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．π－1
B.
－1
C．π－
D.
－
【点拨】∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°.∴四边形CDOE是矩形．
连接OC.
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC.
又∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE(AAS)．
∴OD＝OE.
∴矩形CDOE是正方形．
∵OC＝OA＝，∴OE＝1.
∴S阴影＝S扇形OAB－S正方形CDOE＝－1×1＝－1.
【答案】B
22.(2020·乐山)在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为(　　)
A.
B.
C.
D.π
第22题图
第23题图
【点拨】∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∠BAB′＝90°，
∴∠CAB′＝60°，AC＝2BC＝2.
∴AB＝.
∴S阴影＝－－×1×＝.
【答案】B
23.(2020·遂宁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为(　　)
A．4－
B．2－
C．2－π
D．1－
【点拨】如图，连接OD，过点O作OH⊥AC于点H.
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°.
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC.
∴四边形ODCH为矩形．
∴OH＝CD＝.
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，
∴OA＝OH＝2.
∴OD＝OA＝2.
在Rt△OBD中，∠B＝45°，
∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2.
∴S阴影＝S△OBD－S扇形ODE＝×2×2－＝2－.
【答案】B
二、填空题
24.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为______．
【答案】
25.由组成圆心角的__________和______________围成的图形叫做扇形；半径为R，圆心角为n°的扇形的面积为____________；若已知扇形的半径为R，弧长为l，则扇形的面积为________．
【答案】两条半径；圆心角所对的弧；；lR
26.(贵港中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)．
【答案】4π
第26题图
第27题图
第29题图
第30题图
第31题图
27.如图,一把直角尺的45°角的顶点A落在☉O上,两边分别交☉O于B,C两点.若☉O的半径为2,则的长为　π　.?
28.若某扇形花坛的面积为6
m2,半径为3
m,则该扇形花坛的弧长为　4　m.?
29.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接BD,∠ABD＝60°,CD＝2,则的长为?π　.?
30.如图,在△ABC中,BC＝2,∠B＝60°,若把线段BC绕着点B旋转,使得点C落在直线AB上的点D处,旋转角度大于0°且小于180°,那么线段BC扫过的面积等于?π　.(结果保留π)?
31.(天水中考)如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中的圆心依次是A,B,C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是　4π　.?
三、解答题
32.如图,A,B,C三点在半径为1的☉O上,四边形ABCO是菱形,求的长.
解:连接OB.
∵四边形OABC是菱形,
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC,
∴△AOB,△BOC都是等边三角形,
∴∠AOB＝∠BOC＝60°,∴∠AOC＝120°,
∴.
33.如图,AB是半圆的直径,C,D是的三等分点,☉O的半径为1.
(1)求的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
解:(1)∵C,D是的三等分点,∴∠COD=60°,
∴的长l=.
(2)图中阴影部分的面积=.
34.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,∠ACD=60°,∠ADC=50°.
(1)求∠CEB的度数;
(2)若AD=2,求扇形AOC的面积.
解:(1)连接BC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
又∵∠ABC=∠ADC=50°,∴∠BAC=40°,
∴∠CEB=∠ACD+∠BAC=60°+40°=100°.
(2)连接BD,OC,则∠AOC=2∠ADC=100°.
∵∠BAD=∠BCD=30°,∠ADB=90°,AD=2,
∴AB=4,∴AO=2,∴扇形AOC的面积=.
35.如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得BD＝CB，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
证明：连接BO.
∵∠ACB＝30°，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°.
∵DE⊥AC，CB＝BD.
∴BE＝CD＝BC.
∴∠BEC＝∠BCE＝30°.
∴在△BCE中，∠EBC＝180°－∠BEC－∠BCE＝120°.
∴∠EBO＝∠EBC－∠OBC＝120°－30°＝90°.
∴BE是⊙O的切线．
(2)当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．
解：当BE＝3时，BC＝3.
∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.
又∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC.
∵AB2＋BC2＝AC2，∴AB＝.
∴AC＝2.∴AO＝.
∴S阴影＝S半圆形－SRt△ABC＝π×AO2－AB×BC＝π×3－××3＝π－
.
36.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD交AD于点E,连接BC.
(1)求证:AE＝ED;
(2)若AB＝6,∠CBD＝30°,求图中阴影部分的面积.
解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB＝90°.
∵OC∥BD,O为AB的中点,
∴OE为△ABD的中位线,∴AE＝ED.
(2)连接OD.
∵OC∥BD,∠CBD＝30°,∴∠OCB＝∠CBD＝30°.
∵OC＝OB,∴∠OBC＝∠OCB＝30°,
∴∠AOC＝∠OCB＋∠OBC＝60°.
∵∠COD＝2∠CBD＝60°,∴∠AOD＝120°.
由(1)可知∠AEO＝90°,
∴∠AOE＝60°,∠OAE＝30°.
∵AB＝6,∴OA＝,
∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝.
37.(2020·郴州)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E.
(1)求证：直线DC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC.
∵AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°.
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA.
∴∠DCA＋∠OCA＝∠DAC＋∠OAC，
即∠DCO＝∠DAO＝90°.
∴OC⊥DC.
∴直线DC是⊙O的切线．
(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
【思路点拨】连接OC，将阴影部分的面积转化为△OCE与扇形OCB的面积之差．
解：∵∠CAB＝30°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°.
又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形．
∴OC＝OB＝BC＝2.
在Rt△OCE中，∠EOC＝60°，
∴∠E＝30°.
∴OE＝2OC＝4.
∴CE＝2.
∴S阴影＝S△OCE－S扇形OCB＝×2×2－＝2－.
38.如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数解析式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以点O1为圆心、O1O为半径画半圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2,由弦P1O2和围成的弓形面积记为S1;以点O2为圆心、O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3,由弦P2O3和围成的弓形面积记为S2;以点O3为圆心、O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4,由弦P3O4和围成的弓形面积记为S3;……按此做法进行下去,求S2021.
解:连接P1O1,P2O2,P3O3,P4O4,…,
∵P1是☉O1上的点,∴P1O1=O1O2.
∵直线l的解析式为y=x,∴∠P1OO1=30°,
∴∠P1O1O2=60°,∴△O1P1O2是等边三角形,
∴△O1P1O2的边长=1,∴△O1P1O2的面积=,
∴S1=π-,
同理S2=π-,S3=π-4,S4=-16π-42,…
∴Sn=π-4n-2,∴S2021=π-42019.
39.如图,半圆O的直径AB＝6,弦CD的长为3,点C,D在上运动,点D在上运动,且不与点A重合,但点C可与点B重合.
(1)当的长为时,求的长;
(2)取CD的中点M,在CD运动的过程中,求点M到AB的距离的最小值.
解:(1)连接OD,OC.
∵AB＝6,CD＝3,
∴OC＝OD＝AB＝CD＝3,
∴△CDO是等边三角形,∴∠COD＝60°,
∴＝π.
∵×6π＝3π,
∴.
(2)过点M作ME⊥AB于点E,连接OM.
∵CD＝3,∴DM＝.
∵△CDO是等边三角形,M为CD的中点,
∴∠OMD＝90°,∠DOM＝∠COM＝30°,
∴在Rt△OMD中,OM＝.
∵在Rt△DME中,ME2＝OM2－OE2,
∴若ME取最小值,则只需要OE最大即可.
当点C与点B重合时,此时OE最大,如图.
∵∠MOC＝30°,OM＝,
∴ME＝,
即点M到AB的距离的最小值为.