24.4.2 圆锥的侧面积和全面积（含答案）

24.4　弧长和扇形面积
第2课时　圆锥的侧面积和全面积
一、选择题
1.一个圆锥的母线长为4
cm,底面圆的半径为3
cm,则这个圆锥的侧面积为
(
)
A.12π
cm2
B.15π
cm2
C.20π
cm2
D.30π
cm2
2.若圆锥的底面半径为6
cm,母线长为10
cm,则这个圆锥的全面积是
(
)
A.66π
cm2
B.96π
cm2
C.132π
cm2
D.168π
cm2
3.一个圆锥形工艺品,它的高为3cm,侧面展开图是半圆,则此圆锥的侧面积是(　　)
A.9π
cm2
B.18π
cm2
C.π
cm2
D.27π
cm2
4.若圆锥的母线长是3,底面半径是1,则这个圆锥侧面展开图的圆心角的度数为
(
)
A.90°
B.120°
C.150°
D.180°
5.用一个半圆围成一个圆锥的侧面,圆锥的底面圆的半径为3,则该圆锥的母线长为
(
)
A.3
B.6
C.9
D.12
6.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18,圆心角为120°的扇形,则这个圆锥的底面半径长是
(
)
A.3
B.4.5
C.6
D.9
7.若一个圆锥的底面半径为6,高为10,则其体积为
(
)
A.360π
B.120π
C.90π
D.30π
8.一个圆锥形的圣诞帽底面半径为12
cm,母线长为13
cm,则圣诞帽的侧面积为
(
)
A.312π
cm2
B.156π
cm2
C.78π
cm2
D.60π
cm2
9.已知圆锥的底面直径为60
cm,母线长为90
cm,其侧面展开图的圆心角为(　　)
A.160°
B.120°
C.100°
D.80°
10.将直径为40
cm的圆形铁皮,做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接缝处的材料损耗),那么每个圆锥容器的底面半径为
(
)
A.
cm
B.10
cm
C.45
cm
D.
cm
11.已知圆锥的侧面积是8π
cm2,若圆锥的底面半径为R
cm,母线长为l
cm,则R关于l的函数图象大致是
(
)
12.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=5,BC=4,以AC所在的直线为轴旋转一周所成几何体的全面积为(　　)
A.π
B.π
C.π
D.12π
第12题图
第13题图
第15题图
第16题图
13.如图,从一块半径为20
cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形ABC,则此扇形围成的圆锥的侧面积为
(
)
A.
cm2
B.
cm2
C.200π
cm2
D.400π
cm2
14.某森林公园有座小山,据介绍这座小山呈圆锥形,占地面积为14400π
m2,山顶离地面的垂直高度为50
m,他们计划从山脚到山顶沿线栽种一排杉树,且保持每两棵树之间的坡面距离为5
m,要完成这样一排杉树的栽种计划,至少要准备杉树(
)
A.25棵
B.26棵
C.27棵
D.28棵
15.(中考·黄冈)如图，圆锥体的高h＝2
cm，底面半径r＝2
cm，则圆锥体的全面积为(　　)
A．4π
cm2
B．8π
cm2
C．12π
cm2
D．(4＋4)π
cm2
16.(2020·聊城)如图，有一块半径为1
m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽略不计)，那么这个圆锥形容器的高为(　　)
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
17.(2019·宁波)如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6
cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为(　　)
A．3.5
cm
B．4
cm
C．4.5
cm
D．5
cm
二、填空题
18.如图，圆锥的侧面展开图是一个________．若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，圆锥的高度为h，则扇形PBC的半径为________，的长为________，h与l，r的关系是h＝________.
第18题图
第23题图
第24题图
19.若圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积为______，全面积为____________．
20.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是____________．
21.已知一个圆锥的底面直径为20
cm,母线长为30
cm,则这个圆锥的全面积是　
　.(结果保留π)?
22.若圆锥的母线长为6
cm,底面半径为2
cm,则圆锥的侧面展开图的面积为　
　.?
23.如图,在8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD,点O,A,B,C,D均在格点上.若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r1;用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r2,则的值为　
　.?
24.如图,把一个圆锥沿母线OA剪开,展开后得到扇形AOC,已知圆锥的高h为12
cm,OA＝13
cm,则扇形AOC的面积是　
　cm2.(结果保留π)?
三、解答题
25.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝6,BC＝8.
(1)以直线BC为轴,将△ABC旋转一周,求所得圆锥的底面圆周长.
(2)以直线AC为轴,将△ABC旋转一周,求所得圆锥的侧面积;
26.如图,一个圆锥的侧面展开图是半径为8
cm,圆心角为120°的扇形,求:
(1)圆锥的底面半径;
(2)圆锥的全面积.
27.如图,将面积为108π
cm2,半径为18
cm的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽,使扇形的两条半径OA与OB重合(粘连部分忽略不计),求圆锥形纸帽的高.
28.已知扇形的圆心角为120°,面积为300π
cm2.
(1)求扇形的弧长.
(2)若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的体积是多少?
29.如图,☉O为一块直径是1米的圆形铁皮,要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC.
(1)求被剪掉阴影部分的面积.
(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥底面圆的半径是多少?
30.(2019·邵阳)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.
(1)求由弧EF及线段FC，CB，BE围成图形(图中阴影部分)的面积；
(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.
31.如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥侧面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行的最短路径，并求出最短路程．
32.铁匠王老五要制作一个圆锥体模型,操作规则是:在一块边长为16
cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆,使得扇形围成圆锥的侧面时,圆恰好是该圆锥的底面.他首先设计了如图所示的方案1,发现这种方案不可行,于是他调整了扇形和圆的半径,设计了如图所示的方案2(两个方案的图中,圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案1中扇形的弧与正方形的两边相切).请你帮助他算一算.
(1)请说明方案1不可行的理由.
(2)判断方案2是否可行.若可行,请确定圆锥的母线长及其底面圆半径;若不可行,请说明理由.
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精品试卷·第
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页
（共
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页）
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参考答案
一、选择题
1.一个圆锥的母线长为4
cm,底面圆的半径为3
cm,则这个圆锥的侧面积为
(A)
A.12π
cm2
B.15π
cm2
C.20π
cm2
D.30π
cm2
2.若圆锥的底面半径为6
cm,母线长为10
cm,则这个圆锥的全面积是
(B)
A.66π
cm2
B.96π
cm2
C.132π
cm2
D.168π
cm2
3.一个圆锥形工艺品,它的高为3cm,侧面展开图是半圆,则此圆锥的侧面积是(　B　)
A.9π
cm2
B.18π
cm2
C.π
cm2
D.27π
cm2
4.若圆锥的母线长是3,底面半径是1,则这个圆锥侧面展开图的圆心角的度数为
(B)
A.90°
B.120°
C.150°
D.180°
5.用一个半圆围成一个圆锥的侧面,圆锥的底面圆的半径为3,则该圆锥的母线长为
(B)
A.3
B.6
C.9
D.12
6.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18,圆心角为120°的扇形,则这个圆锥的底面半径长是
(C)
A.3
B.4.5
C.6
D.9
7.若一个圆锥的底面半径为6,高为10,则其体积为
(B)
A.360π
B.120π
C.90π
D.30π
8.一个圆锥形的圣诞帽底面半径为12
cm,母线长为13
cm,则圣诞帽的侧面积为
(B)
A.312π
cm2
B.156π
cm2
C.78π
cm2
D.60π
cm2
9.已知圆锥的底面直径为60
cm,母线长为90
cm,其侧面展开图的圆心角为(　B　)
A.160°
B.120°
C.100°
D.80°
10.将直径为40
cm的圆形铁皮,做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接缝处的材料损耗),那么每个圆锥容器的底面半径为
(A)
A.
cm
B.10
cm
C.45
cm
D.
cm
11.已知圆锥的侧面积是8π
cm2,若圆锥的底面半径为R
cm,母线长为l
cm,则R关于l的函数图象大致是
(A)
12.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=5,BC=4,以AC所在的直线为轴旋转一周所成几何体的全面积为(　A　)
A.π
B.π
C.π
D.12π
第12题图
第13题图
第15题图
第16题图
13.如图,从一块半径为20
cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形ABC,则此扇形围成的圆锥的侧面积为
(C)
A.
cm2
B.
cm2
C.200π
cm2
D.400π
cm2
14.某森林公园有座小山,据介绍这座小山呈圆锥形,占地面积为14400π
m2,山顶离地面的垂直高度为50
m,他们计划从山脚到山顶沿线栽种一排杉树,且保持每两棵树之间的坡面距离为5
m,要完成这样一排杉树的栽种计划,至少要准备杉树(C)
A.25棵
B.26棵
C.27棵
D.28棵
15.(中考·黄冈)如图，圆锥体的高h＝2
cm，底面半径r＝2
cm，则圆锥体的全面积为(　C　)
A．4π
cm2
B．8π
cm2
C．12π
cm2
D．(4＋4)π
cm2
16.(2020·聊城)如图，有一块半径为1
m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽略不计)，那么这个圆锥形容器的高为(　　)
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
【点拨】设底面半径为r
m，则2πr＝，解得r＝.
所以其高为＝＝(m)．
17.(2019·宁波)如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6
cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为(　　)
A．3.5
cm
B．4
cm
C．4.5
cm
D．5
cm
【点拨】根据题意，当裁出的扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面时，扇形的弧长等于圆的周长．欲从矩形EFCD中裁出最大的圆，矩形的两条边CD，EF恰好与圆相切，即DE的长是圆的直径．设AB＝x
cm，则扇形BAF的弧长为＝＝πx(cm)，圆的周长为π(6－x)cm，∴
πx＝π(6－x)，解得x＝4.
∴AB＝4
cm.
【答案】B
二、填空题
18.如图，圆锥的侧面展开图是一个________．若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，圆锥的高度为h，则扇形PBC的半径为________，的长为________，h与l，r的关系是h＝________.
【答案】扇形；l；2πr；
第18题图
第23题图
第24题图
19.若圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积为______，全面积为____________．
【答案】πrl；πr2＋πrl
20.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是____________．
【答案】180°
21.已知一个圆锥的底面直径为20
cm,母线长为30
cm,则这个圆锥的全面积是　400π
cm2　.(结果保留π)?
22.若圆锥的母线长为6
cm,底面半径为2
cm,则圆锥的侧面展开图的面积为　12π
cm2　.?
23.如图,在8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD,点O,A,B,C,D均在格点上.若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r1;用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r2,则的值为?　.?
24.如图,把一个圆锥沿母线OA剪开,展开后得到扇形AOC,已知圆锥的高h为12
cm,OA＝13
cm,则扇形AOC的面积是　65π　cm2.(结果保留π)?
三、解答题
25.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝6,BC＝8.
(1)以直线BC为轴,将△ABC旋转一周,求所得圆锥的底面圆周长.
(2)以直线AC为轴,将△ABC旋转一周,求所得圆锥的侧面积;
解:(1)2π×6＝12π.
(2)∵∠C＝90°,AC＝6,BC＝8,
∴AB＝＝10,
∴圆锥的侧面积＝×10×2π×8＝80π.
26.如图,一个圆锥的侧面展开图是半径为8
cm,圆心角为120°的扇形,求:
(1)圆锥的底面半径;
(2)圆锥的全面积.
解:(1)圆锥的底面半径为
cm.
(2)圆锥的全面积＝(cm2).
27.如图,将面积为108π
cm2,半径为18
cm的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽,使扇形的两条半径OA与OB重合(粘连部分忽略不计),求圆锥形纸帽的高.
解:设圆锥底面圆的半径为r
cm,
则·2πr·18＝108π,解得r＝6,
∴圆锥形纸帽的高为(cm).
28.已知扇形的圆心角为120°,面积为300π
cm2.
(1)求扇形的弧长.
(2)若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的体积是多少?
解:(1)设扇形的半径为r
cm,则＝300π,解得r＝30,
∴扇形的弧长＝＝20π(cm).
(2)设圆锥底面圆的半径为x
cm,则2π·x＝20π,解得x＝10,
∴圆锥的高＝(cm),
∴圆锥的体积＝π(cm3).
29.如图,☉O为一块直径是1米的圆形铁皮,要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC.
(1)求被剪掉阴影部分的面积.
(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥底面圆的半径是多少?
解:(1)由题易得AB=OA=×1=(米),
∴S扇形ABC=(平方米),
∴S阴影=π(平方米).
(2)的长l=,设圆锥的底面半径为r,∴=2πr,∴r=,
∴该圆锥底面圆的半径是米.
30.(2019·邵阳)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.
(1)求由弧EF及线段FC，CB，BE围成图形(图中阴影部分)的面积；
解：∵在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°.
∵AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD.
∴AB＝2AD＝12.
∴BD＝6
.
∴BC＝2BD＝12
.
∴由弧EF及线段FC，CB，BE围成图形(图中阴影部分)的面积为
S△ABC－S扇形AEF＝×6×12－＝36－12π.
(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.
解：设圆锥的底面圆的半径为r.
根据题意，得2πr＝，
解得r＝2.
∴这个圆锥的高h＝＝4.
31.如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥侧面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行的最短路径，并求出最短路程．
解：将圆锥沿过点A的母线展开成如图所示的扇形，连接AA′，则蚂蚁爬行的最短路径为AA′，过点O作OC⊥AA′于点C，设∠AOA′＝n°.
由题意得OA＝OA′＝3r，的长为2πr.
∴2πr＝，解得n＝120，
即∠AOA′＝120°.
∵OA＝OA′，
∴∠OAC＝∠OA′C＝30°.
∴OC＝OA＝r.
∴AC＝＝r.
∴AA′＝3r，
即蚂蚁爬行的最短路程是3r.
32.铁匠王老五要制作一个圆锥体模型,操作规则是:在一块边长为16
cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆,使得扇形围成圆锥的侧面时,圆恰好是该圆锥的底面.他首先设计了如图所示的方案1,发现这种方案不可行,于是他调整了扇形和圆的半径,设计了如图所示的方案2(两个方案的图中,圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案1中扇形的弧与正方形的两边相切).请你帮助他算一算.
(1)请说明方案1不可行的理由.
(2)判断方案2是否可行.若可行,请确定圆锥的母线长及其底面圆半径;若不可行,请说明理由.
解:(1)连接AC,设E为两圆的切点.
∵扇形的弧长＝16×＝8π,圆锥底面周长＝2π·O1E,
∴圆的半径O1E＝4
cm.
过点O1作O1F⊥CD于点F,∴△CO1F为等腰直角三角形,
∴O1C＝
cm.
∴制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为AE＋EO1＋O1C＝16＋4＋4)
cm.
∵20＋4,∴方案1不可行.
(2)方案2可行.
设圆锥底面圆的半径为r
cm,圆锥的母线长为R
cm.
∵正方形纸片的边长为16
cm,∴正方形对角线长为16
cm,
则(1＋　②.
由①②,可得R＝
.或R＝
∴所求圆锥的母线长为
cm.