24.2.2直线与圆的位置关系-第2课时 课件 （30张ppt）

(共30张PPT)
24.2.2直线与圆的位置关系
---第2课时
人教版
九年级上
教学目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
（难点）
回顾旧知
直线和圆的
位置关系
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称
2
交点
1
切点
切线
0
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
填一填：
割线
情境导入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？本节课我们一起探究一下。
合作探究
思考1：如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线
l
的距离是多少？直线
l
与⊙O有什么位置关系？
即圆心O到直线
l的距离就是
⊙O的半径。
A
l
o
①、距离为半径OA的长度
②、直线l与⊙O相切。
你能得到切线的又一个判定方法吗？
探究一
：切线的判定定理
合作探究
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵
OA为⊙O的半径,
l⊥OA于A
∴
l为⊙O的切线
切线的判定定理：
符号语言:
温馨提示：“过半径的外端”、“垂直于半径”缺一不可！
A
l
o
合作探究
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
归纳总结：
趁热打铁
1、断一断：
（1）过半径的外端的直线是圆的切线（
）
（2）与半径垂直的的直线是圆的切线（
）
（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（
）
×
×
×
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
趁热打铁
2、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
O
B
A
C
知识点拨：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图).
∵
OA＝OB，CA＝CB，
∴
OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　
∴
AB⊥OC.
∵OC是⊙O的半径，
∴
AB是⊙O的切线.
趁热打铁
3、如图，线段AB是☉O的直径，直线AT与AB交于点A，∠ABT=45°，且AB=AT.求证：AT是☉O的切线.
知识点拨：直线AT经过半径的一端，因此只要证AB⊥AT即可.
证明：∵AB=AT，∠ABT＝45°，
∴∠ATB＝∠ABT＝45°.
∴∠BAT=180°-∠ABT-ATB=90°，
即AB⊥AT.
∵AB是☉O的直径，
∴
AT是☉O的切线.
B
O
T
A
趁热打铁
4、如图，在Rt△ABC
中，∠ABC
=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．
求证：AC
是⊙O
的切线．
B
C
D
A
E
证明：如图，过D作DE
⊥AC于E.
∵∠ABC
=90°，∴DB
⊥
AB.
又∵AD平分∠BAC，DE
⊥AC，
∴DE=DB=r.
∵DE
⊥AC，
∴AC
是⊙O
的切线.
合作探究
①、当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线.
方法总结:
②、当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.
有交点，连半径，证垂直；
无交点，作垂直，证半径.
合作探究
思考2：如图，如果直线l是⊙O
的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
A
l
O
∵直线l是⊙O
的切线，A是切点，
∴直线l
⊥OA.
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
符号语言：
探究二
：切线的性质定理
合作探究
（1）假设AB与CD不垂直，过点O作
一条直径垂直于CD，垂足为M；
理由是：直径AB与直线CD要么垂直，要么不垂直.
（2）则OM距离小于⊙O的半径，因此，
CD与⊙O相交.这与已知条件
“直线与⊙O相切”相矛盾；
C
D
B
O
A
（3）所以AB与CD垂直.
M
证法：反证法
性质定理的证明
趁热打铁
1.如图,AB为☉O的直径,BC切☉O于B,CO交☉O于D,AD的延长线交BC于E,若∠C=35°,求∠A的度数.
∵AB为☉O的直径,BC切☉O于B,
∴∠ABC=90°.
∵∠C=35°,
∴∠BOC=55°.
∵∠A=
∠BOD
∴∠A=27.5°
解：
合作探究
2、如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB.若∠B=25°，求∠P的度数.
B
O
P
A
解：如图，连接OA.
∵PA是⊙O的切线，
∵∠AOP=2∠B=50°，
∴∠P=180°-90°-50°=40°.
∴∠OAP=90°.
合作探究
利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
方法总结:
见切点，连半径，得垂直.
典例精析
例1、如图,△ABC
中，AB
＝AC
，O
是BC的中点，⊙O
与AB
相切于E.
求证：AC
是⊙O
的切线．
O
C
E
A
F
证明：连接OE
，OA,
过O
作OF
⊥AC.
∵⊙O
与AB
相切于E
，∴OE
⊥
AB.
又∵△ABC
中，AB
＝AC
，O
是BC
的中点．
∴AO
平分∠BAC，
C
∴OE
＝OF.
∵OE
是⊙O
半径，OF
＝OE，OF
⊥
AC.
∴AC
是⊙O
的切线．
又OE
⊥AB
，OF⊥AC.
综合演练
1.判断下列命题是否正确.
(1)经过半径外端的直线是圆的切线.
（
）
(2)垂直于半径的直线是圆的切线.
（
）
(3)圆的切线垂直于过切点半径。
（
）
(4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
（
）
(5)过直径一端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（
）
×
×
√
√
√
综合演练
2.如图所示,线段AB是☉O的直径,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于(　　)
A
A.50°　　　B.40°　　
C.60°　　D.70°
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点
P，则∠ADP的度数为（
）
A．40°
B．35°
C．30°
D．45°
P
O
D
A
B
C
C
综合演练
4.如图，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是
.
A
P
O
相切
5、如图，AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°.
若⊙O的半径长2
cm，则OD=
cm.
4
综合演练
证明：如图，连接OP.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB.
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
6.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.
求证：PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
综合演练
7.如图,已知AB是☉O的直径,P为☉O外一点,且AP∥BC,∠P=∠BAC.
(1)求证:PA为☉O的切线.
(2)若OB=5,OP=
,求AC的长.
解：(1)设AC与OP相交于点H.
∵AB是径,∴AC⊥BC,∠BAC+∠B=90°.
∵OP∥BC,∴OP⊥AC,∠AOP=∠B.
∵∠P=∠BAC,
∴∠P+∠AOP=90°,于是∠OAP=90°,
∴PA为☉O的切线.
综合演练
(2)∵OP⊥AC,∴AC=2AH,
在直角三角形PAO中,
由面积法可知：AH=4
∴AC=2AH=8
综合演练
8.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO与⊙O交于B、C两点，
∠P＝30°，连接AO、AB、AC.求证：△ACB≌△APO.
O
A
B
P
C
在△ACB和△APO中，
证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°．
又OA＝OC，∴∠C＝60°÷2＝30°
∴∠C＝∠P．∴AC=AP．
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°=∠OAP．
∴∠OAP＝90°．
∴△ACB≌△APO．
∠BAC＝∠OAP，AC＝AP，∠C＝∠P,
提能训练
9.如图,P是☉O外一点,PA切☉O于点A,AB是☉O的直径,BC∥OP且交☉O于点C,请准确判断直线PC与☉O是怎样的位置关系,并说明理由.
解：PC与☉O相切.
连接OC,则OC=OB,∴∠B=∠OCB.
∵BC∥OP,∴∠B=∠AOP,∠OCB=∠COP,∴∠AOP=∠COP.
在△AOP与△COP中,
OA=OC,∠AOP=∠COP,OP=OP,
∴△AOP≌△COP.
又∵PA是☉O的切线,∴∠OCP=∠OAP=90°.
又∵OC是半径,∴PC是☉O的切线.
课堂总结
说一说：
1、判定切线有几种判定方法？
2、证切线时常用的辅助线是什么？
3、用切线时常用的辅助线是什么？
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题24.2
P101页：5、12
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