第5课时
圆环的面积
教学内容
冀教版小学数学六年级上册第54～55页。
教学提示
圆环的教学时学生在学习了圆的面积计算的基础上进行教学的，学生已经很对圆的面积计算有了较深的认识，并能进行一欧冠的计算，因此本节课重点是指导学生理解圆环的组成，从而得出圆环的面积的计算方法，并能运用公式解决实际问题。
教学目标
1．结合具体事例，经历认识圆环，用不同方法计算圆环面积的过程。
2．会用自己的方法计算圆环的面积，能解决与圆环面积有关的简单问题。
3．进一步体会数学与生活的密切联系，获得综合应用所学知识解决实际问题的活动经验和方法。
重点、难点
重点
掌握环形面积的计算方法并利用这一模型解决实际问题。
难点
理解环形的形成过程，形成环形的空间观念。
教学准备
教师准备：光盘，圆环图纸，教学课件一套。
学生准备：圆规，图纸，直尺，五环标志图，彩纸，剪刀，胶水等。
教学过程
（一）新课导入：
1.以奥运会为话题，引出奥运会旗——五环标志。
2，展示教师制作的奥运五环图。
提问：你知道老师是怎样制作这个五环图的吗?
生：剪出颜色不同的五环按顺序贴在一起。
师：像这样的一个环，在数学上我们把它叫做“圆环”。你能利用手边的工具做出一个圆环吗?
设计意图：从学生熟悉的奥运话题引入，使学生怀着积极乐观的情绪进入新知的学习，让学生明确探究的目标与方向。
二、探究圆环的特征
1。学生动手操作画圆环。
2．展示交流。
生1：我利用透明胶带纸沿着外圈描了一个大圆，再沿着内
圈描了一个小圈，就得到了一个圆环。
生2：在圆纸片上剪掉一个小圆，剩下的图形就是一个圆环。
生3：我用圆规在纸上先画一个圆，接着在外面画一个更大的圆，中间阴影部分也是一个圆环。
师：这三位同学分别用描、剪、画的方法得到了一个圆环。你对他们的制作方法有什么看法?
设计意图：给学生提供了动手操作与交流的空间，通过不同制作方法的展示，让学生初步感知圆环的特点。
生1：剪的方法很方便，但剪下的圆环不规则，边上弯弯曲曲的。
生2：描的方法简便，边上也比较光滑。如果要画更大一些的圆环就又要找其他物品了，这也会很麻烦的!相比较，用圆规画圆环又方便又美观。
师：同学们说得真好。这三种制作圆环的方法各有所长。但借助圆规画出的圆环更加科学规范。该怎样画出一个圆环呢?请闭上眼睛，在脑海中想想画的过程。
学生闭目在脑中画图。
设计意图：短暂地闭目思考，排除了动手操作带来的外界干扰，使学生的思维能集中指向作图的具体过程，为进一步理解圆环的特征提供了直观印象。
师：瞧一瞧，黑板上哪一幅图和你想象中的类似。
学生齐说：D
师：其他几个图形为什么不是圆环呢?
生：A图中小圆在大圆的外面；图B、C中的小圆没有在大圆的中间；只有图D中的小圆在大圆的正中间，所以它才是圆环。，
师：怎样画才能使小圆正好在大圆的正中间?
生1：先画一个圆，然后扩大或缩小圆规两脚间的距离，圆心不变，再画一个圆就可以了。
生2：画圆环时，大圆和小圆的圆心在同一点上就可以了。
师：对，圆环就是由同一个圆心，大、小不同的两个圆构成的。圆环里面的小圆叫做内圆，外面的大圆叫做外圆。现在请同学们动手画一画。
学生操作画圆，展示交流。
设计意图：从动手操作和判断辨析两个层次建立圆环的特征，并完成归纳过程。层层感悟、体验，使学生对概念的理解更充分。
三、探究圆环的面积
师：同学们画得都很好。同桌间比一比，你俩谁画的圆环大?
生1：我画的圆环要大一些。
生2：看上去，我画的圆环小一些。
生3：我画的圆环又大又细，他画的圆环又粗又小，不好比大小。
通过目测，比较不出两个圆环面积的大小，该怎么办呢?
想一想，再和同桌交流一下想法。
设计意图：教师创设的比一比情境，让学生感受到探究圆环面积的必要性，激发了学生的学习欲望。
生：可以用计算的方法，从大圆面积中减去中间小圆的面积，计算出圆环的面积。
师：你是怎样想到的?
生：刚才那位同学从圆纸片上剪掉一个同心小圆，剩下的图形就是一个圆环，说明圆环的面积就是用大圆的面积减去小圆的面积。
师：说得真好!
结合课件介绍：把一个圆形纸片对折再对折，两次折痕的交点就是这个圆形的圆心；再以此为圆心，用圆规画出一段弧，沿弧线剪开，展开就是一个圆环了。
师：同一种方法制作圆环，为什么老师制作的圆环与刚才同学们做的大小不同呢?圆环的面积与什么有关?
生1：圆环的面积与环形的宽度有关。
生2：圆环的面积与外圆、内圆的面积有关。
生3：因为圆的面积与半径有关，所以圆环的面积应与外圆、内圆的半径有关。
师：计算圆环的面积必须知道哪些条件?
生l：知道内圆和外圆的半径就可以了。
生2：知道内、外圆的直径也可以。
生3：知道内、外圆的周长也可以。
师：同学们的思路真开阔。根据直径、周长与半径的关系，我们都可以间接知道内圆和外圆的半径，这样利用内圆和外圆的半径计算圆环的面积时就更加简便。请大家依据这个思路，汁算出你和同桌绘制的圆环面积，再精确比较出这两个圆环面积的大小。需要时可以借助计算器。
设计意图：利用计算器的快速计算功能，让学生摆脱繁杂的机械计算，把节省的时间用于探索方法及总结规律上，使学生的思考更全面更深刻。
学生测量相关数据，列式计算。
交流算法，并板书：
3.14×52－3.14×22
3.14×(42－22)
3.14×4.52－3.14×2.22
3.14×(6.82－3.22)
3.14×7.32－3.14×1.62
师：如果用r表示内圆半径，用及表示外圆半径，观察左边的三个算式，你能用字母表示出圆环的计算公式吗?
生：圆环的面积等于πR2－πr2。
师：像右边这样计算圆环面积行吗?
生l：可以。
生2：这样算是利用了乘法分配律。
师：那么，这时圆环的面积公式又该怎样表示呢?
生：圆环的面积等于π(R2－r2)。
设计意图：充分利用课堂生成的教学资源，引导学生通过观察、分析、比较，归纳出圆环面积的简便计算公式。教师的适时指导与点拨，体现了教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。
四、实际应用
师：通过刚才的学习，我们已经了解了圆环的特征，探讨了圆环面积的计算方法。生活中你在哪里见到过圆环?(随着学生的回答出示相应的图片)
生1：妈妈佩戴的耳环侧面看上去就是一个圆环。
生2：有的机器零件的表面是一个圆环。
生3：飞镖的靶面上也有许多一圈一圈的圆环。
生4：有的钟表表面的外圈就是圆环的形状。
生5：光盘的银色部分是一个圆环。
………
1．出示甬路问题。(教材第54页例7)
某公园内有半径为3米的圆形喷水池，在喷水池周围有一条1米宽的甬路。甬路的占地面积是多少平方米?
学生独立完成，全班交流。
(1)喷水池和甬路的占地面积：
3.14×(1＋3)2＝3.14×16＝50．24(平方米)
(2)喷水池的占地面积：
3.14×32＝3.14×9＝28.26(平方米)
(3)甬路的占地面积：
50.24－28.26＝21.98(平方米)
答：甬路的占地面积是21.98平方米。
2．出示环形铸铁零件问题。(教材第54页例8)
学生读题并观察示意图。
怎样计算圆环的面积呢?同桌间相互讨论、交流。然后教师指名学生说算法。
生l：我是这样算的：
3.14×202－3.14×162
＝1256－803.84
＝452.16(平方厘米)
答：环形的面积是452.16平方厘米。
生2：我是这样算的：
3.14×(202－162)
＝3.14×144
＝452.16(平方厘米)
答：环形的面积是452.16平方厘米。
师：同学们，你们认为他们两个的计算正确吗?
生：正确。
师：那么他们两个的计算方法哪个更简单呢?
生：第二位同学的。
师：不错。看来大家都掌握了圆环的计算方法，能把所学的知识应用到实际问题中。
设计意图：让学生自己完成例题的解法，加强学生对圆环面积公式的掌握，提高学生应用所学知识解决实际问题的能力。
五、拓展应用
师：掌握了圆环的特点，你能制作一副老师刚开始展示的五环标志吗?请同学们以小组为单位合作制作这样一面奥运会旗，同时计算出五个圆环的总面积。比一比哪个小组完成的又好又快!
学生分小组制作五环旗，并计算五个圆环的总面积。
全班展示、交流、评价。
教师强调：
1．五个圆环的总面积＝一个圆环的面积×5
2．五个圆环应大小相同，粘贴时注意五种颜色的顺序。
设计意图：综合应用所学知识解决实际问题，分工合作完成奥运五环旗，让学生体验到合作的愉悦。
（三）巩固新知：
1.
广场中央有一个圆形草坪，草坪的直径是20米，在草坪的中间有一个圆形花坛，花坛的直径是10米。
(1)草坪的形状是什么形?
(2)草坪的实际占地面积是多少?
2.
小琴的哥哥是个射击爱好者，经常到射击中心去打靶。一天，小琴也和哥哥一同去射击场。小琴仔细看了看靶子，原来箭靶是由10个同心圆组成的。已知这个靶上面相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径。最里面的小圆叫做10环，最外面的圆环叫做1环。小琴在学校里刚刚学到了《圆的面积》，她很快运用学到的知识，算出了10环面积是1环的几分之几。
你会算吗?答案是多少?
答案：
1.
由圆环的意义可知，草坪的形状是环形。求草坪的占地面积就是把草坪的面积去掉花坛的面积。
(1)草坪的形状是环形(如上图)。
(2)花坛的面积：3.14×(10÷2)2＝78.5(平方米)
草坪的实际占地面积：
3.14×(20÷2)2－78.5＝235.5(平方米)
2.
10环的面积是：1×1×π＝π
1环的面积是：10×10×π-9×9×π=19π
π÷19π=
（四）达标反馈
1．填空。
(1)一个圆的半径是1分米，它的周长是(
)分米，面积是(
)平方分米。
(2)有一个圆环，外圆周长是62．8厘米，内圆周长是56．52厘米，这个圆环的面积是(
)平方厘米。
(3)一个圆环，内圆半径是外圆半径的÷，这个圆环的面积是内圆面积的(
)倍。
1.
光盘银色部分是一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是6厘米，它的面积是多少?
3.
一个环形铁片，内圆半径是6
cm，圆环宽是4cm，求这个环形铁片的面积是多少?
4.
一个玻璃水杯的底面直径是6厘米，高是20厘米。请你设计一个长方体包装箱，要求每箱装24个玻璃水杯。
5.
一种麻辣酱包装罐的底面周长是15.7厘米，高8厘米。这种麻辣酱的包装箱长25厘米，宽20厘米，高18厘米。一箱麻辣酱有多少罐?
答案：
1．(1)6.28
3.14
（2)59.66
(3)8
2.
已知内圆半径和外圆半径，根据圆环面积的计算方法直接计算就可求出。
3.14×62－3.14×22
＝3.14×36－3.14×4
＝113.04－12.56
＝100.48(平方厘米)
或
3.14×(62－22)
＝3.14×(36—4)
＝3.14×32
＝100.48(平方厘米)
答：银色圆环部分的面积是100.48平方厘米。
3.
3.14×(6＋4)2－3.14×62
＝3.14×102－3.14×62
＝314－113.04
＝200.96(平方厘米)
答：这个铁片的面积为200.96平方厘米。
4.
把24改写成三个数连乘的形式，能写出几个连乘算式，就有几种摆放方式，通过比较，其中既安全又便于搬运的有这样两种：
每排8个，摆3排。包装箱的长：6×8＝48(厘米)
宽：6×3＝18(厘米)
每排6个，摆4排。包装箱的长：6×6＝36(厘米)
宽：6×4＝24(厘米)
所以较好的设计有两种：
第1种：长48厘米，宽18厘米，高20厘米
第2种：长36厘米，宽24厘米，高20厘米
5.
15.7÷3.14＝5(厘米)
25÷5＝5(罐)
20÷5＝4(排)
（五）课堂小结
六、全课总结
师：奥林匹克旗帜五个圆环连接在一起象征五大洲的团结，象征全世界的运动员以公正、公平的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上友好相见，欢聚一堂。今天，课堂上每个小组的同学也像这环环相扣的五环，团结协作完成了一幅幅精美的五环作品，相信同学们也会如奥运精神“更快、更高、更强”在学习上获得更大的进步!
设计意图：分组合作完成奥运五环旗，既是对本节课知识的进一步理解，又巧妙地渗透了爱国主义、合作学习的教育。
（六）布置作业
计算下面各图阴影部分的面积。
2．在O处有一个发电厂，由于发电厂的噪音比较大，因此决定在以O处为圆心，以60米为半径的外围种植绿化带，如图，绿化带的面积是多少平方米?若绿化带的建造面积为每平方米500元，则共需资金多少元?
3.如下图，一个圆形鱼池，它的内直径为40m，中间圆形假山的直径为4m，则鱼池水面面积是多少?
4.某种饮料瓶的底面是圆形，周长是21．98厘米，将24罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个纸箱的长、宽至少各是多少厘米?
6．幸福村在街心广场修建一个圆形花坛，周长是31．4米，在花坛四周又修了一条宽1米的小路，这条小路的面积是多少平方米?
7．三个同心圆的半径比为1：2：3(如下图)，则阴影部分的面积和空白部分的面积之比是多少?
答案：
1．(1)251.2
(2)18.84
(3)20
2．3.14×[(60＋5)2－602]＝1962.5(平方米)
500×1962.5＝981250(元)
3．3.14×[(40÷2)2－(4÷2)2]＝1243.44(平方米)
4．21.98÷3.14＝7(厘米)
长：7×6＝42(厘米)
宽：7×4＝28(厘米)
6．31.4÷3.14÷2＝5(米)
5＋1＝6(米)
3.14×(62－52)＝34.54(平方米)
7．1：2
板书设计
圆环的面积
圆环里面的小圆叫做内圆，外面的大圆叫做外圆
圆环的面积＝外圆面积一内圆面积
S＝S＝πR2－πr2
S＝π(R2－r2
）
教学资料包
（一）
教学精彩片段
设计意图：
一、创设情景，生成问题?
激趣导入：1、?这幅图，你知道了什么？?
2、?中国第一次参加奥运会…?
上一届奥运会中获得金牌总数世界第三位。?
3、?这次成功申奥，是全国人民的光荣，我们要热爱祖国、热爱运动，积极参加体育锻炼。?
??????????????????????一大一小的同心圆?
?????????????
?环形的特点????????
???设计意图：从学生应该掌握的常识，和身边发生过的事情入手，让学生体会到数学就在生活中就在我们身边，同时渗透学生热爱祖国和热爱运动的思想。?
二、探索交流，解决问题。?
（一）画、剪、制环形：?
1?、师：请同学们在硬纸板上画个半径为10厘米和5厘米的同心圆。?
生：按照要求画同心圆。?
2、师：请同学们先剪下所画的大圆再剪下所画的小圆????
?问：剩下的部分是什么图形？?
生：环形。?
师：（拿着学生剪的环形）?
提问：“这个环形是怎样得到的？”?
生：从外圆中去掉一个内圆。?
师：在日常生活中你见过环形或截面是环形的物体吗？请举几例．?
（屏幕显示生活中有环形的物体，并闪动环形让学生观察．）?
设计意图：这过程以学生“画——剪——制”的亲身实践贯穿始终，同时在这一过程中渗透一些学法、如动手操作、合作交流，观察、分析等学习方法，使学生在学习中运用，在运用中掌握，学生通过自己动手操作，把环形从一般图形中分离出来，使学生很快抓住了环形的本质特征，形成环形的概念，发展学生的空间观念。?
（二）探索环形面积的计算方法．?
小组讨论：根据你们对环形的理解，你认为应如何计算环形的面积？?
汇报交流：这个环形的面积实际就是=外圆面积-内圆面积?
师：那求圆的面积时题中给出的已知条件有几种情况？怎样求出圆面积？?
?????已知半径求面积??????S=πr2?
?????已知直径求面积??????S=π（
）2?
?????已知周长求面积??????S=π（
）2?
设计意图：因为学生有了亲身实践的体验，在小组的合作下总结环形面积的计算方法水到渠成。?
（二）
数学资源
1．下图阴影部分是个环形，它的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米，求它的面积。
分析：本题可用两种方法解答。求圆环的面积，实际上就是求两个半径不同的圆的面积之差，可用外圆的面积减去内圆的面积。
答案：方法一：
3.14×152－3.14×102＝706.5－314＝392.5(平方厘米)
方法二：3.14×(152－102)＝3.14×125＝392.5(平方厘米)
答：圆环的面积是392．5平方厘米。
点拨：计算环形面积的关键在于正确利用环形面积计算公式。
2．一个高压锅垫圈的内直径是24厘米，垫圈宽1．5厘米，这个垫圈的面积是多少平方厘米?
分析：垫圈的面积就是一个环形面积，圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，而要求这两个圆的面积，其大圆半径和小圆半径是关键。内直径也就是小圆的直径，这样就能求出小圆的半径，大圆的半径是小圆半径与垫圈宽的和。
答案：小圆的半径：24÷2＝12(厘米)
小圆的面积；3.14×122＝452.16(平方厘米)
大圆的半径：12＋1.5＝13.5(厘米)
大圆的圆积：3.14×13.52＝572.265(平方厘米)
垫圈的面积：572.265－452.16＝120.105(平方厘米)
答：这个垫圈的面积是120.105平方厘米。
点拨：求图形的面积，要先确定图形的形状，根据相应的公式计算面积。
3.
求阴影部分的面积。
分析：仔细看图，其实是求圆环面积的一半，只要求出内圆的半径5－1＝4(米)，就可以根据S＝π(R2－r2)求出阴影部分面积的一半。
解答：5－1＝4(米)
3.14×(52－42)
＝3.14×9
＝28.26(平方米)
28.26÷2＝14.13(平方米)
答：阴影部分的面积是14.13平方米。
技巧与方法：对于较复杂的组合图形求面积，要正确分析图形的组合特点。比如上图中阴影部分的面积正好是圆环面积的一半。
?三、资料链接
奥运五环常识
奥林匹克标志最早是根据1913年顾拜旦的提议设计的，起初国际奥委会采用蓝、黄、黑、绿、红色作为五环的颜色，是因为它能代表当时国际奥委会成员国国旗的颜色。1914年在巴黎召开的庆祝奥运会复兴20周年的奥林匹克大会上，顾拜旦先生解释了他对标志的设计思想：“五环——蓝、黄、绿、红和黑环，象征世界上承认奥林匹克运动，并准备参加奥林匹克竞赛的五大洲，第六种颜色白色——旗帜的底色，意指所有国家都毫无例外地
能在自己的旗帜下参加比赛。”因此，作为奥运会象征、相互环扣一起的5个圆环，便体现了顾拜旦提出的可以吸收殖民地民族参加奥运会，为各民族间的和平事业服务的思想。
体会奥赛
在一个长8米、宽5米的长方形花池中，建了一个最大的圆形花池，圆池内种牡丹花，圆池外种茉莉花，各占地多少平方米?
思路分析：在长方形中，最大的一个圆的直径等于长方形的宽。根据题意，可先求出圆形花池的半径，再求花池的面积。用长，方形的面积减去圆形花池的面积，就是茉莉花占地面积。
解答：
牡丹花占地面积：3.14×(5÷2)2＝19.625(平方米)
茉莉花占地面积：8×5－19.625＝20.375(平方米)
归纳总结：在长方形中最大的圆的直径等于长方形的宽。第4课时
圆的面积(二)
教学内容
冀教版小学数学六年级上册50～53页。
教学提示
学生已经掌握了圆面积的计算方法，因此在本节课中应注重运用公式解决实际问题的能力的培养，通过具体的情景使之对知识的进一步升华。
教学目标
1．结合具体事例，经历灵活运用圆的面积公式解决简单实际问题的过程。
2．掌握已知直径求面积的计算方法，能解决生活中简单的实际问题。
3．感受数学与生活的密切联系，增强学生的应用意识，提高运用知识解决实际问题的能力。
重点、难点
重点
正确并灵活的运用公式进行计算。
难点
正确并灵活的运用公式解决生活中的问题
教学准备
教师准备：圆规，多媒体课件一套。
学生准备：圆规，直尺。
教学过程
（一）新课导入：
师：同学们，国庆长假期间，你们出去游玩了吗?把你认为最漂亮的地方给大家说一说吧。
学生回答。
师：同学们去的地方真多，下面我带着你们去一个地方。
(多媒体出示本市市区休闲广场景象)
生：广场上喷泉真漂亮!
师：如果知道圆形喷水池的半径是5米，你能算出喷水池面积有多大吗?
学生回答，在练习本上书写解答过程。
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5(平方米)
答：喷水池的面积是78.5平方米。
师：你们运用的公式是什么?
生：圆的面积计算公式S＝πr2。
(板书：S＝πr2)
师：同学们对上节课所学知识掌握得不错!今天我们继续学习圆的面积。
设计意图：从学生感兴趣的问题入手，引起学生的注意，使学生尽快进入学习状态。同时紧紧抓住新知的生长点展开教学，并由此导入新课，使学生明确新旧知识间的联系，为后继学习做好铺垫。
二、引导探究，解决问题
1．出示教材第50页草坪面积问题。(课件出示)
某公司要在办公大楼前建一个圆形草坪。
算一算：需要多少平方米草皮?(得数保留整数)
师：谁能说一说该怎么计算?
生：要先计算出草坪的半径是多少米。
师：怎样列式呢?
学生回答，指名板书：
3.14×()2
＝3.14×30.25
≈95(平方米)
答：大约需要95平方米草皮。
师：我们要注意，先计算等于5.5，再计算5.52。
设计意图：让学生独立思考，找出新旧知识的内在联系，有利于提高学生的解题能力。
2．多媒体出示“水缸木盖”问题。
(1)读题：要给右面的水缸加一个圆形木盖，木盖的直径要比缸口直径长10厘米。木盖的面积是多少平方厘米?
(2)合作探究。
师：同桌间互相商量一下，要解决这个问题，需要哪些条件?先求什么，再算什么。用你自己喜欢的方式把它表示出来并解答。
设计意图：引导学生想一想，议一议，说一说。不仅发挥了合作学习的优势，同时又开拓了学生的解题思路。培养学生创新求异的意识。
(3)学生汇报。
生1：求木盖的面积是多少先求出木盖的半径，可以先求出水缸的半径90÷2＝45(cm)，然后加上木盖比水缸多的10厘米45＋10＝55(cm)，求出木盖的半径，然后就能求出木盖的面积了。
生2：我也是先求水缸的半径为90÷2＝45(cm)，但是木盖的半径比缸口半径多10÷2＝5(cm)。所以木盖的半径应是45＋5＝50(cm)。然后再利用圆的面积公式进行计算。
生3：我是先求木盖的直径是多少：90＋10＝100(厘米)，然后再求木盖的半径，最后利用圆面积公式求木盖的面积。
(4)比较算法。
师：他们的算法对吗?各有什么优缺点?
(让学生进行讨论，通过比较判断对错，能发现哪种方法比较简便)
(5)对比小结。
师：刚才同学们都非常积极，谁来总结一下。
生1：第一位同学的解法是错误的，他误把多出的“直径”看作了半径。
生2：第二位同学和第三位同学的思路都是正确的。但第三位同学的方法比较简便。
师：的确如此，在解决较复杂的问题时，更要看清楚条件和问题，分析题中的数量关系，选取简便的方法来解答。
(请第三位同学按他的方法板书)
设计意图：引导学生自己去判断解法的正误，以及尽量选取简便方法的思想，有利于学生形成良好的认知结构，促进学生逻辑思维能力的发展。
3．自主探究教材第52页“蒙古包占地”问题。
(1)多媒体出示问题。
一个底面是圆形的蒙古包，沿地面量得周长是25.12米。它的占地面积是多少平方米?
(2)自主探究。
学生根据以前的经验可知：要先利用圆的周长公式求出蒙古包的半径或直径，才能计算占地面积。
师：我们在算蒙古包半径时用算术法和方程法都可以，哪种更简单?
生：列方程解，思路统一，便于理解。
师：请同学们在练习本上把过程写完整!
指名学生板演。
4．自主探究教材第52页“选台布”问题。
圆桌面的直径是120厘米。
(1)多媒体出示三块不同规格的台布：
110cm×110cm；120cm×120cm；140cm×140cm
(2)合作探究。(教师需引导学生知道"110cm×110cm"等表示的意义)
生1：因为桌面面积：3.14×()2＝11304(平方厘米)
边长是110厘米的台布面积：110×110＝12100(平方厘米)
12100＞11304
所以边长是110厘米的台布能用，因为它的面积比圆桌面的面积大。
生2：边长是110厘米的台布不能用，边长是110厘米的台布最大只能遮盖直径是110厘米的圆桌面。
(教师引导学生知道，只比较面积的大小不行，还要看台布能不能盖全圆桌)
通过学生比较第2种和第3种台布，使学生知道边长是140厘米的台布不但比圆桌面的面积大，而且铺在上面周围都能垂下一部分，这样比较美观，台布不容易被掀起，所以选择边长是140厘米的台布更合适些。
设计意图：通过所学知识来解决问题，使学生更加明确数学来源于生活，运用于生活，提高学生学习数学的兴趣。
三、联系实际，巩固提高
1．巩固练习。
学生独立解决第51页“练一练”第1、2、3题。
2．提高练习。
教材第51页第4题，第53页第1、2、3题。
3．拓展延伸。
探究教材第53页“问题讨论”。
四、全课总结，畅谈收获
通过本节课的学习，你们有哪些收获?
设计意图：经过上面的教学活动，学生所获得的知识往往是零散的、不完整的，让学生对本课的知识进行归纳小结，便于学生形成自己的知识体系，真正的掌握知识。另外教学中注重培养学生的反思能力，这样能提高学生学习的效果。
（三）巩固新知：
1．直径是2米的圆纸片，它的周长是(
)，面积是(
)。
2．某小区一块圆形草坪的半径是5米，它的周长是(
)米，面积是(
)平方米。为了扩大绿地面积，将草坪的半径扩大为原来的3倍，它的直径扩大了(
)倍，周长扩大了（
)倍，面积扩大了(
)倍。
3．一个圆的半径是2
m，如果将这个圆的半径增加l
m，面积就会增加(
)m2。
4．求下面各圆的面积。
5.一个圆的半径是6厘米，它的画积是多少平方厘米?
6．花园中圆形花坛的周长是25．12米，花坛的面积是多少?
7.有大、小两个圆，小圆的周长是12．56米，大圆直径是小圆直径的2倍，大圆的面积是多少?
1.
6.28米
3.14平方米
2.
31.4
78.5
3
3
9
3．15.7
4.
50.24平方厘米
78.5平方米
153.86平方分米
5．3.14×62＝113.04(平方厘米)
6.
3.14×(25.12÷3.14÷2)2＝50.24(平方米)
7．3.14×[(12.56÷3.14÷2)×2]2＝50.24(平方米)
（四）达标反馈
1.
一个球横截面的直径是26厘米，它的横截面的面积是多少平方厘米?
圆形铁片的直径是20米，它的面积是多少平方米?
测得一个圆盘的周长是87.92厘米，你能求出它的面积吗?
一个圆形蓄水池的底部周长是25.12米，这个蓄水池的占地面积是多少?
一个圆的半径扩大2倍，它的面积扩大几倍?
6.—个圆的直径是4厘米，现在把它的直径增加到12厘米。现在圆的面积是原来圆的面积的多少倍?
7.小明家有一个直径是1.2米的圆桌，妈妈要买一块圆形台布，并且台布盖住桌面后各边要下垂10厘米，那么圆形台市的面积是多少平方米?
答案：
1.
要想求球的横截面的面积必须知道半径，半径是(26÷2)厘米，再利用S＝πr2来求。
3.14×()2＝3.14×132＝530.66(平方厘米)
答：它的横截面的面积是530.66平方厘米。
2.方法一：20÷2＝10(米)
3.14×102＝3.14×100＝314(平方米)
方法二：3．14×()2＝3.14×102＝3.14×100＝314(平方米)
答：圆形铁片的面积是314平方米。
3.
可以先根据周长求出圆的半径，再利用面积公式求出圆的面积。
C＝2πr
87.92＝2×3.14×r
87.92＝6.28r
r＝14
S＝πr2＝3.14×142＝615.44(平方厘米)
答：圆盘的面积是615.44平方厘米。
4.方法一：25.12÷3.14÷2＝4(米)
3.14×42＝3.14×16＝50.24(平方米)
方法二：3.14×(25.12÷3.14÷2)2＝3.14×42＝3.14×16＝50.24(平方米)
5.
因为S＝πr2，π是一个固定的数，r是不固定的量，所以圆面积的变化与该圆的半径有关。一个圆的半径扩大2倍，它的面积就扩大4倍。
6.
12÷4＝3
3×3＋9
答：现在圆的面积是原来圆的面积的9倍。
7.
10厘米＝0.1米
直径为1.2＋O.1×2＝1.4(米)
面积：3．14×()2＝1.5386(平方米)
（五）课堂小结
通过今天的学习，大家有什么收获?
设计意图：让学生说出自己的收获，不仅能全面归纳所学知识，还能使学生学会思考，在思考中探究，使学生的数学思维得到有效发展。
（六）布置作业
1．求下面图形中阴影部分的面积。(单位：厘米)
2．用一张长12厘米、宽8厘米的长方形彩纸剪一个最大的圆。
(1）这个圆的面积是多少平方厘米?
(2)剪去部分的面积是多少平方厘米?
3.一花坛的形状如下图的阴影部分，它的周长和面积各是多少?
4．一个正方形的面积是10平方米，在它的里面画一个最大的圆，求圆的面积。
工人师傅要给一个底面直径40厘米的水桶换底。现有两种规格的铁皮，工人师傅应选用哪一种?
45cm×45cm
40cm×40cm
6.王阿姨家的餐桌直径是1米。为了干净美观，王阿姨计划买一块台布把餐桌盖上。市场上有三种规格的台布(正方形)供王阿姨挑选。第一种：90cm×90cm；第二种：100cm×100cm；第三种：110cm×ll0cm。请你帮助王阿姨选—选，用哪种规格的台布合适?
答案：
1．3.14×(3÷2)2＝7.065(平方厘米)
3.14×22÷2＝6.28(平方厘米)
2.(1)3.14×(8÷2)2＝50.24<平方厘米)
(2)12×8－50.24＝45.76(平方厘米)
3.
周长；3.14×6＋lO×2＝38.84(米)
面积：10×6＝60(平方米)
4．如图，圆的面积是S＝πr2，求圆面积的一般方法，即先求r，再求S，因为d＝2r＝a所以r＝，圆面积：
S＝3.14××＝3.14×a2÷4
＝3.14×10÷4＝7.85(平方米)
5．用边长45厘米的铁皮。
6.⑴比面积：餐桌的面积是3.14×(1÷2)2＝0.785(平方米)，0.785平方米＝7850平方厘米。第一种台布的面积是：90×90=8100(平方厘米)，通过比较第一种台布的面积大于餐桌的面积。从面积来看，这三种规格的台布都合适。⑵比直径：由90cm×90cm可知第一种台布的边长是90厘米，90厘米<1米，盖不住桌面，不合适；第二种台布的边长是100厘米，100厘米＝1米，虽然能盖住桌面，但易掀起也不美观，也不合适；第三种台布的边长是110厘米，110厘米>1米，不但能盖住桌面，还能下垂一部分，这样比较美观，台布不易被掀起，较合适。
所以：
第三种台布较合适。
板书设计
圆的面积(二)
S＝πr2
l.3.14×()2
＝3.14×30.25
≈95(平方米)
答：大约需要95平方米草皮。
2．
90+10＝100(厘米)
3.14×()2
＝3.14×2500
＝7850(平方厘米)
答：木盖的面积是7850平方厘米。
3．2×3.14×r＝25.12
3.14×42
r＝25.12÷6.28
＝3.14×16
r＝4
＝50.24(平方米)
答：蒙古包占地面积50.24平方米。
教学资料包
（一）
教学精彩片段
1．教学教材第50页“草坪面积”问题。
⑴课件出示“草坪面积”问题。
学生读题，找出题中的条件和问题。
⑵引导学生思考：需要多少平方米草皮实际上是求什么?已知草坪的直径怎样求草坪的面积?
⑶学生独立解决问题。教师巡视指导。
⑷交流学生计算的过程和方法。
设计意图：引导学生抓住问题的关键所在，加强对题意的理解，形成良好的认知能力和解题能力。
2．教学“水缸木盖”问题。
⑴多媒体出示例题。
⑵让学生认真读题，结合图形理解题意。让学生说—说求木盖的面积是多少，要先求出什么，然后再独立计算。
⑶鼓励学生能用多种方法解答。
⑷指名说说计算方法。
设计意图：引导学生用不同的方法，从不同角度解决问题。
（二）
数学资源
?
1．已知正方形的周长为80厘米，求圆的面积。
分析：观察图形可知，圆的直径与正方形的边长相等。
答案：正方形的边长＝周长÷4＝80÷4＝20(厘米)
s＝πr2＝3．14×()2＝3．14X102＝314(平方厘米)
答：圆的面积是314平方厘米。
y3纳总结：解此类问题的关键是求圆的半径。
·
2．北京天坛的祈年殿是一座底部周长大约是76米的圆形大殿，它的占地面积大约是多少平方米?(得数保留两位小数)
分析：求祈年殿的占地面积实际就是求圆的面积，要先求出圆的半径。题目中只给出了底部周长也就是圆的周长，所以首先要根据周长与半径的关系求出半径。
答案：祈年殿的底部半径：
2×3.14×r＝76
r＝76÷6.28
r≈12.10
祈年殿的占地面积：
3.14×12.102
＝3.14×146.41
≈459.73(平方米)
答：它的占地面积大约是459.73平方米。
归纳总结：在复杂的题目中，仔细分析条件和问题，是解题的关键。
已知图中圆的面积是28.26平方厘米，那么正方形的面积是多少平方厘米?
分析：要想求正方形的面积，必须求出正方形的边长，可以通过正方形中的内切圆的面积这一中间条件来求。由图我们可以知道正方形的边长等于圆的直径。所以已知圆的面积，根据；圆的面积公式可以求出圆的半径，圆的半径乘以2就得到直径：最后再求正方形的面积。
答案：28.26÷3.14＝9
整数范围内只有3×3＝9，所以可知圆的半径为3厘米，直径为6厘米。
正方形的面积为6×6=36(平方厘米)
技巧与方法：正方形的内切圆的直径和正方形的边长相等，解答此类问题时可以根据直径＝边长这一特点进行解答。
体会奥赛
以一个边长为4厘米的正方形的边长为直径向外画4个半圆，求所得图形的周长和面积。
思路分析：所得图形的周长，相当于直径为4厘米的两个圆的周长。面积等于两个圆的面积加上正方形的面积。
答案：周长：
3.14×4×2
＝12.56×2
＝25.12(厘米)
面积：3.14×(4÷2)2×2＋4×4
＝3.14×22×2＋16
＝3.14＋4＋2＋16
＝25.12＋16
＝41.12(平方厘米)
答：所得图形的周长是25.12厘米，面积是41.12平方厘米。
归纳总结：求组合图形的周长和面积要看各个图形之间的关系。
三、资料链接
圆在生活中有哪些应用?
圆是几何图形中最普通、最实用，而又最完美的图形。在日常生活、工农业生产、交通运输、土木建筑等方面，都可以见到圆的形象，圆的有关性质被广泛应用。
为什么草原上的蒙古包是圆形的?蒙古包为天穹式，呈圆形，木架外边用白羊毛毡覆盖。因为它是圆形的，所以立在草原上在大风雪中阻力小，在再大的地震中也不会变形，顶上又不积雨雪。寒气不易侵入，是非常安全的住所。第3课时
圆的面积(一)
教学内容
冀教版小学数学六年级上册第47～49页。
教学提示
本节课的教学是在学生已经掌握了平行四边形转化成长方形推导面积公式的基础上学习的，学生已经具备了一定转化能力，因此在本节课圆面积计算公式的推导中可把圆转化为已学过的长方形，由长方形面积公式推导出圆的面积计算公式。
教学目标
1．经历估算飞镖板面积、动手操作、讨论等探索圆面积计算公式的过程。
2．理解并掌握圆的面积公式，能运用公式正确进行计算。
3．体验圆面积公式推导的可行性和结论的确定性，感受转化和无限分割等数学思想。
重点、难点
重点
圆面积的剪拼及圆面积计算公式的推导。
难点
极限思想的渗透与公式的推导。。
教学准备
教师准备：圆规，直尺，课件，圆纸片。
学生准备：长方形纸，圆规，直尺，三角板，剪刀，一个轮廓为圆的物体等。
。
教学过程
（一）新课导入：
师：同学们在课下都喜欢玩哪些游戏呢?
(学生自由发言)
师：同学们的爱好可真多，咱们看看亮亮喜欢什么?
(多媒体显示)
生：是飞镖板!
师：仔细看图，你发现了什么?
生：飞镖板被平均分成了20份，每份都像一个小三角形。
师：如果我们要估算一下飞镖板表面的面积，该怎么办呢?
学生讨论，交流、汇报结果。
生1：把飞镖板的表面看作是由20个小三角形组成，每个小三角形的底约是圆周长的元，高可近似地看作圆的半径。先求出一个小三角形的面积，再求出20个小三角形的面积。
生2：我们把飞镖板剪开，拼成近似的长方形。长方形的长约为圆周长的一半，宽可近似地看作圆的半径，然后用长方形的面积公式计算。
师：有没有更直接的方法呢?
二、新授
I探究公式。
(1)确定策略。
师：我们知道，圆的半径决定了圆的大小，那么圆的面积和半径究竟有怎样的关系呢?请同学们猜猜看。
(学生自由发言)
师：同学们猜测的究竟对不对呢?我们来想办法验证一下。同学们回忆一下，当我们还不会计算平行四边形面积的时候，是利用什么方法推导出了平行四边形的面积计算公式呢?
生：我们是利用“割补法”把平行四边形转化成长方形推导出来的。
师：三角形和梯形的面积计算公式又是怎么推导出来的呢?
生：都是通过转化，把三角形或梯形的面积转化成学过的平行四边形或长方形的面积推导出来的。
设计意图：让学生回忆旧知，引导学生应用旧知类比迁移。这样，既实现了有意识地学法指导，又帮助学生找到了解决问题的策略。
(2)尝试转化。
师：那你准备用什么方法来推导圆面积的计算公式呢?
生：看是否能把圆转化成学过的图形从而推导出它的面积计算公式。
师：想法不错，怎样才能把圆转化成学过的其他图形呢?老师先给大家一点提示。
课件演示：我们把一个圆平均分成16等份(如下图左)，那么每一份都是一个近似的等腰三角形(如下图右)。请同学们观察一下，这个近似的等腰三角形腰和底分别和原来这个圆有什么关系?
生：这个近似的等腰三角形的腰等于圆的半径，底边等于圆周长的。
师：我们把这些近似的三角形重新拼组，就可以将这个圆形“转化”成其他图形了。同学们，现在请你们拿出准备好的圆形纸片，以小组为单位，动手拼一拼，把这个圆形“转化”成我们已学过的其他图形好吗?开始吧！
(学生分组操作，把圆形纸片剪裁、拼组转化成学过的其他图形)
设计意图：给学生提供了自主剪拼的时间，也有意识地给学生提供了解决问题的方法和途径。分组操作，能有效激发小组成员的干劲，更能促进不同层次的学生在原有水平上得到不同程度的提高与发展。
展示学生作品。
(3)寻找联系。
师：刚才同学们都试图把圆形转化成学过的长方形、三角形或梯形，不管转化成哪种图形，什么是始终不变的?
生：面积。
师：对，我们以长方形为例，那么就有“圆的面积＝近似的长方形的面积”(板书)。同学们可以想象一下，如果把这个圆继续分下去，32等份、64等份、128等份、256等份……一直这样下去分成很多份，拼成的图形又会怎样呢?
生：就会变成真正的长方形。(课件演示，如图)
课件演示：
设计意图：极限意识的渗透能促使学生形成正确的“转化”表象——“圆形转化为长方形”。
(4)推导公式。
师：现在请同学们观察一下，这个长方形的长和宽与原来的圆有什么联系?如果圆的半径为r，那么这个长方形的长和宽是多少?请同学们在小组里讨论。
学生讨论后，汇报：
生1：这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。
生2：如果圆的半径为r，那么这个长方形的长就是πr，宽就是r。
师：同学们的意见都是这样吗?那请看大屏幕。
课件演示：长方形的长，宽与圆的关系。
教师板书：
圆的面积
圆周长的一半
圆的半径
长方形的面积
长
宽
师：我们知道长方形的面积；长X宽，那么圆的面积呢?现在你能说一说怎样计算圆的面积吗?
生：用圆周长的一半乘圆的半径。
师：如果用S表示圆的面积，那么圆的面积S等于什么?
生：S＝πr2。
设计意图：利用课件演示，化静为动，化虚为实，帮助学生把抽象的内容具体化，进而加深对圆面积公式推导过程的理解。
教师结合学生的发言将板书补充完整。
师；同学们通过猜测、验证、讨论、总结，自己发现了圆面积的计算方法。真了不起，课后同学们还可以再研究研究是否能转化成三角形和梯形，如果能，它们和原来的圆又有怎样的关系，是否也能推导出圆面积的计算公式呢?
2．初步运用。
师：现在请同学们用圆的面积公式fL算飞镖板的面积，试试看。
学生独立解决。
3．运用新知，解决问题。
师：那我们来看——看教材第49页“练一练”第1、2、3题。
学生独立解决，发现规律。
师：同学们做得很好，这几道题有什么规律?
生：都是已知半径，求圆的面积，可以直接用圆的面积计算公式，
师：好！我们再来看一道题；一个圆形茶几，桌面的直径是l米，它的面积是多少平方米?
学生讨论，指名汇报：
生1：如果知道茶几的半径就能求它的面积了。
生2：可以先求半径再求面积。
师：同学们回答得不错，遇到求圆的面积的问题，一定要先求出圆的半径。
师：第49页“练一练”第4题，要求学生独立完成。先自己用圆规画出一个圆，然后再计算面积。生独立完成。
（三）巩固新知：
1．填一填。
(1)将圆转化成长方形后，长方形的面积相当于圆的面积。长方形的长相当于圆的(
)，长方形的宽相当于圆的(
)。因为长方形的面积＝(
)，所以圆的面积＝(
)；(
)。
(2)把一个半径为2分米的圆剪拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是(
)分米，宽是(
)分米。
(3)把半径为4厘米的圆转化成一个长方形后，面积为(
)平方厘米。
(4)一个圆的半径是5厘米，它的面积是(
)平方厘米。
(5)一个圆的半径是6厘米，这个圆面积的言是(
)平方厘米。
求下面各圆的面积。
3．一张光盘的半径是S厘米，这个光盘的面积是多少?
4．和平公园的草地上有一个自动旋转喷灌装置，这个喷灌装置的射程是12米。它能喷灌的面积是多少平方米?
答案：
1．⑴周长的一半
半径
×宽
×r
πr2
⑵6.28
2
⑶50.24
⑷78.5
(5)62.8
2．⑴28.26m2
⑵78.5cm2
3．3.14×62＝113.04(平方厘米)
4．3.14×122＝452.16(平方米)
（四）达标反馈
1．求下面各圆的面积。
2．—块圆形铁板的半径是8分米。它的面积是多少平方分米?
3．一种麦田的自动旋转喷灌装置的射程是20米。它能喷灌的面积有多少平方米?
4．求阴影部分的面积。
5．一只手表的分针长o．8厘米，经过1小时后，这根分针扫过的面积是多少平方厘米?
答案：
1．(1)379.94
dm2
(2)1256
m2
2．3.14×82＝200.96(平方分米)
3．3.14×202＝1256(平方米)
4．(1)100.48平方厘米
(2)3.44平方分米
5．3.14×0.82＝2.0096(平方厘米)
（五）课堂小结
师：同学们，回顾一下这节课学习的内容，你学到了什么?是怎样学会这些知识的?
学生自由发言。
小结：今天我们一起研究了圆的面积，成功地推导出了圆的面积计算公式，并学会了应用。希望同学们在今后的学习中能更好地运用转化的方法去学习更多的数学知识。
设计意图；通过总结、梳理新知，形成体系，培养学生的口头表达能力，使学生有一种成就感，体验数学学习的乐趣；同时小结也体现了学法指导，使学生由“学会”转化为
“会学”，促使学生实现认知上的飞跃。
（六）布置作业
1．我是聪明的小法官。
(1)若小圆和大圆的半径的比是1：2，则小圆和大圆面积的比
是1：2。
(
)
(2)r2表示r×2。
(
)
(3)一个半径是1cm的圆，它的周长和面积相等。
(
)
(4)一个圆中直径与周长的比是1：π。
(
)
2.求下面图中阴影部分的面积。
3．如图所示，正方形的周长是20厘米，图形的总面积是多少平方厘米?
4．求花坛的面积(如下图)。
5.一个正方形养鱼池边长是20米，中间有一个圆形小岛，半径是4米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米?5．如下图中ABC是一个面积为6平方米的水池，四周是草地。A处木桩上拴着一只羊，拴羊的绳长9米。问羊可能吃到的草地面积最大是多少平方米?
答案：
1．⑴×
⑵×
⑶×
⑷√
2．86cm2
3．正方形边长：20÷4＝5(厘米)
两圆重合部分：3.14×52××2－5×5＝14.25(平方厘米)
图形总面积：3.14×52×2－14.25＝142.75(平方厘米)
4．答案：圆的面积：3.14×(10÷2)2×2
＝3.14×25×2
＝157(平方厘米)
正方形面积：10×10＝100(平方厘米)
花坛面积：157＋100＝257(平方厘米)
答：花坛面积是257平方厘米。
5．20×20－3.14×42＝349.76(平方米)
板书设计
圆的面积(一)
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
圆的面积＝近似的长方形的面积
圆的面积
圆周长的一半
圆的半径
长方形的面积
长
宽
S＝πr2
教学资料包
（一）
教学精彩片段
一、导入。
师：还记得这些平面图形的面积计算公式吗？
师：平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。
小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式，这是今天我们要学习的内容。板书：圆的面积
设计意图：在复习引导中让学生回想一下什么叫面积，理解平面图形的面积，然后让学生回忆长方形的面积是怎样计算的，为学习圆的面积公式作铺垫，同时回忆平行四边形、三角形和梯形等图形的面积计算公式的推导过程。通过直观的演示，激发学生积极主动地学习。引导学生复习长方形的面积计算公式，渗透了要求圆的面积也需从转化的思想放手。
二、新授。
师：请你摸一摸哪里是圆的面积？
师：圆所占平面的大小就是圆的面积。
师：圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？
生：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。
师：如何化曲为直呢？
引导学生操作：
师：（拿出一个圆片）我们怎么剪？圆的大小是由什么决定的？（直径、半径）
生：（圆的大小由直径或半径决定。）沿直径或半径剪。
师剪第一刀，再问:第二刀怎么剪？
师:我们要把圆通过剪成多份并用拼的方法转化成学过的规则图形，为了计算上的方便，我们把圆平均分成多份。
将一个圆分别平均分成2份、4分、8分、16份，分别罗列排好。请学生观察四组图。
师：随着等分份数的不断增加，你有什么发现吗？
A：随着等分份数的不断增加，曲线越来越直。
B：随着等分份数的不断增加，每一小份越来越接近三角形。
设计意图：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算公式是本节课的重点；由于圆与以前学习的直线图形性质有很大不同，对“曲线图形”转化为直线图形学生是第一次接触，对学生已有知识和经验都是一种挑战，因此，“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受是本节课的难点。
（二）
数学资源
圆的面积
在半径为只的圆中，当内接正多边形的边数不断地成倍增加时，正多边形的面积就越来
越接近于圆的面积。
如上图，AB是圆O的内接正n边形的一边，OD垂直于AB(它的长度用r表示)，所以
△AOB的面积等于AB·r。正n边形的面积等于△AOB的面积的n倍，因此，正n边形的面积＝AB·r·n＝(AB·n)·r。因为正n边形的周长p＝AB·n，所以正n边形的面积
＝p·r。
当正n边形的边数不断地成倍增加时，正n边形的面积越来越接近：厂圆的面积，同时，正”边形的周长夕也越来越近于圆的周长2πR。r也越来越接近于圆的半径R。因此，圆的面积S＝pr＝×2πR×R＝πR2。
体会奥赛
下图是一块长20米、宽16米的长方形草地，若在A、B、C三处各用一根长4米的绳子拴一只羊。这三只羊最多各能吃多少平方米的草?
思路分析：羊在A点吃到草的形状是圆，在B点吃到的草的形状是圆，在c点吃到的草的形状是一个圆，如图。
答案：A：3．14×42×＝12.56(平方米)
B：3.14×42×＝25.12(平方米)
C：3.14×42＝50.24(平方米)
三、资料链接
规矩和直尺、圆规
规和矩发明于中国，是古人用来测量、画圆形和方形的两种工具。“规”就是画圆的圆规；“矩”就是折成直角的曲尺，尺上有刻度。古人说“不以规矩，不能成方圆”就是这个意思。
规矩发明的确切年代已无法查清，但在公元前15世纪的甲骨文中，已有规、矩二字了。汉朝著名史学家司马迁著的《史记》中有这样的记载：夏禹治水的时候，是“左准绳，右规矩”，这意思是说，夏禹是左手拿着水准绳，右手拿规和矩进行测量，规划出治水方案的。说明在夏禹治水的年代(约公元前2000年)就有了规和矩这两种几何工具了。
规矩的使用，对于我国古代几何学的发展，有着很重要的意义。周代数学家商高曾对“用矩之道”作过理论总结：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。”这一段话，精炼地概括了矩的广泛而灵活的用途。“平矩以正绳”，是指把矩的一边放置水平，另一边靠在一条竖立的线上，可以判定绳子是否垂直。“偃矩以望高”是指把矩的一边仰着另一边放平，可以测量高度。“覆矩以测深”是把上述测高的矩颠倒过来，就能测量深度。“卧矩以知远”是指上述测高的矩平躺在地面上，就可以测出远处两地间的距离。
古希腊人研究几何问题时，一般用直尺和圆规这两种工具。这种直尺没有刻度，只能画直线。古希腊人作图只能从最基本的工具——直尺和圆规开始，完成尽可能多的几何图形。
由此产生了两方面的问题：一是能否用直尺圆规画出这个图形，二是如果能画出，怎么画。对用直尺圆规作图的研究，致使许多数学定理的发现。
圆面积公式的来源
约翰尼斯·开普勒是德国天文学家，他发现了行星运动的三大定律，这三大定律可分别描述为：所有行星分别是在大小不同的椭圆轨道上运行；在同样的时间里行星半径在轨道平面上所扫过的面积相等；行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。这三大定律最终使他赢得了“天空立法者”的美名。为哥白尼的日心说提供了最可靠的证据，同时他对光学、数学也做出了重要的贡献，他足现代实验光学的奠基人。
开普勒当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割的次数。但是，不管分割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分咸无穷多等分才行。
开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一开始就把圆分成无穷多个小扇形。圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长2πr，所以有S＝πr2，这就是我们所熟悉的圆面积公式。
开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。第2课时
圆的周长公式的拓展应用
教学内容
冀教版小学数学六年级上册45—46页。
教学提示
在教学中可举出已知半径、直径分别求圆周长的例子，加深对圆的周长公式：C＝πd或C＝2πr的应用。
教学目标
1．结合具体事例，经历灵活运用圆周长公式解决实际问题的过程。
2.能灵活运用圆周长公式解决简单的实际问题，能表达解决问题的思路和方法。
3．了解现实生活中有许多与圆周长有关的问题，获得运用知识解决问题的成功体验。
重点、难点
重点
灵活运用公式求圆的半径和直径。
难点
运用圆周长公式解决实际问题。
教学准备
教师准备：小黑板。
教学过程
（一）新课导入：
师：同学们，我们已经学习了圆的周长公式，现在我们来回忆一下如何求圆的周长。
生1：有直径，可利用公式C＝πd求出圆的周长。
生2：有半径，可利用公式C＝2πr求出圆的周长。
师：同学们说的真好，今天我们接着学习用圆的周长公式来解决我们生活中的问题。
设计意图：通过复习，巩固圆的周长公式，为今天的教学做铺垫。
二、新课组织
师：学校的操场上有一个圆形花坛，它的周长是17.27米，它的直径是多少米?(教材第45页例题4)
引导学生读题，说说题中的已知条件和所求的问题。
师：已知花坛的周长，怎样求它的直径?(教材第45页说一说)
学生讨论交流。
生1：可以利用圆的周长公式C＝πd求直径，用周长除以π，即d＝C÷π。(教师板书)
生2：可以把花坛的直径看作是χ米，再根据圆的周长公式C＝πd，即3.14χ＝17.27，把χ求出即求出直径。
师：同学们真了不起，接下来就请用你喜欢的方法把花坛的直径求出来吧!
．
学生独立做，教师巡视，个别指导。
全班交流，重点说说列方程是怎样想的。
方法一：17.27÷3.14＝5．5(米)
答：花坛的直径是5.5米。
方法二：利用公式C＝πd列方程解答。
解：设花坛的直径是χ米。
3.14χ＝17.27
χ＝17.27÷3.14
χ＝5.5
答：花坛的直径是5.5米。
师：大家表现真棒，现在求出了花坛的直径，那么怎样求花坛的半径呢?
(1)学生独立解答。
(2)组织交流。
方法一：：利用公式C＝2πr列方程解答。
解：设花坛的半径是χ米。
2×3.14×χ＝17.27
χ＝17.27÷3.14÷2
χ＝2.75
答：花坛的半径是2.75米。
方法二：利用公式C＝2πr可以得出r＝C÷π÷2
17.27÷3.14÷2＝2.75(米)
答：花坛的半径是2．75米。
设计意图：帮助学生理解圆的周长、圆周率的概念，还能让学生综合运用有关知识解决简单的实际问题。
师：某中学新建了一个绿茵操场，示意图如下。(出示教材第45页例题5)
教师引导学生看图，使学生知道绿茵操场是由两个半圆和一个长方形组成，示意图上的蓝线是跑道，求沿跑道一圈的长度实际上就是求蓝线的长度。
师：我们知道了求跑道的长度就是求两个半圆弧线的长度加上长方形的两条长边之和，长方形的两边的长度从图中便可得知，两个半圆弧线的长度是多少呢?
学生自主探究，合作交流，此环节要给予学生足够的时间。
生：我们可以把两个半圆看作一个完整的圆，所以求两个半圆弧线的长度就是求圆的周长。
师：太棒了，现在就请大家算一算，看看沿跑道跑一圈是多少米?
学生两两合作，教师巡视，再交流展示。
生：我们先把两个半圆弧线的长度也就是圆的周长求出，通
过观察示意图，我们可以知道圆的半径是36.5米，利用公式C＝2πr，就能求出圆的周长，然后再加上长方形的两条长边。
2×36.5×3.14＝229.22(米)
229.22＋85.39×2＝400(米)
答：沿跑道跑一圈是400米。
此题计算强度比较大，教师可组织学生两两合作，做完后再用计算器验算。
三、解决问题
教材第46页“练一练”。以下4题分别加上教材46页图
第1题。
教师引导学生读题并且认真看图，使学生知道3根铁箍的长度就是3个相同的圆的周长之和。
师：我们知道了3个圆的周长之和是282.6厘米，怎样求出一个圆的周长呢?
生：用282.6除以3就可以。
师：求出一个圆的周长，你能求出一个圆的直径即桶底面的直径吗?
学生独立做，教师巡视。
生：利用公式C＝πd可以得出d＝C÷π。
282.6÷3＝94.2(厘米)
94.2÷3.14＝30(厘米)
答：桶面的直径是30厘米。
第2题。
教师引导学生读题，使学生知道车轮转动25周前进31.4米实际上就是说25个相同的车轮的周长是31．4米，因此可以先求出一个车轮的周长是多少米，即车轮的周长，然后根据周长公式即可求出车轮半径。
(1)车轮的周长。
31.4÷25＝1.256(米)
(2)求车轮的半径。
1.256÷3.14÷2＝0.2(米)
第3题。
学生在教师的引导下读题，求自行车通过这座大桥所用的时间，应用大桥的长度除以自行车车轮每分钟走的路程，关键是求出自行车车轮每分钟走的路程。
师：仔细观察这道题，发现本题单位不统一，我们应如何做呢?
生：把570米变成57000厘米或者把65厘米变成0．65米(教师可组织学生简单回忆米和厘米的进率，及由大单位向小单位应如何变换，小单位向大单位应如何变换)
师：我们如何求出自行车车轮每分钟走的路程呢?
学生交流。
师：因为自行车每分钟转100周，可以先求出转动一周走的距离，再乘100就是自行车每分钟走的距离。
师：非常好，现在这道题就交给大家自行解决。(学生；独立做，教师巡视，再展示)
方法一：65厘米＝0.65米
3.14×0.65×100＝204.1(米)
570÷204.1≈3(分)
答：大约需要3分钟。
方法二：3.14×65×100＝20410(厘米)
570米＝57000厘米
57000÷20410≈3(分)
答：大约需要3分钟。
师：这么复杂的问题都被大家征服了，老师相信你们一定可以帮聪聪把他家所遇到的问题帮他解决掉。
第4题。
学生在教师的组织下仔细观看图，使学生知道每上下两个木条的长度是相等的。
师：我们先来解决第一个小问题，上半圆的高度是多少厘米？
学生自主探究，合作交流。
生：我们通过观察发现上半圆的高度实际上就是最上面半圆的半径，半圆的直径是76厘米，半径是直径的一半，所以半径是38厘米，即上半圆的高度是38厘米。(教师要及时规范学生的语言，针对第一小题学生展示完后，教师要及时表扬学生)
师：聪聪家的餐厅门的门框是用木条装饰的，你能求出木条的长度吗?
通过观察，学生发现求木条的长度是最上面的半圆形的木条的长度即圆周长的一半和两根长为190厘米的木条之和。
师：那我们如何求出餐厅门的—亡半圆的木条的长度呢?
生：我们可以先把圆的周长求出，再除以2就是上半圆木条的长度。
师：好。现在请同学们自己算出上半圆木条的长度。
学生独立做，教师巡视。
76÷2＝38(米)
3.14×38÷2＝59.66(米)
教师再组织学生计算餐厅门框木条的总长度。
59.66＋190×2＝439.66≈439.7(米)
教师可组织学生简单回忆保留近似数的方法，保留一位小数应看小数的第二位，小于5的直接去掉，大于等于5的向前一位进1再去掉。
（三）巩固新知：
1．填一填。
(1)一个圆周长是12.56米，它的直径是(
)米，半径是(
)米。
(2)用圆规画一个周长16.84厘米的圆，圆规两脚之间的距离是(
)，
2．小华量得一根树干的周长是75.36厘米，这根树干的直径大约是多少厘米?
3．下图是由四个半圆组成的，这个图形的周长是多少厘米?
4．一个运动场如下图，两端都是半圆形，中间是长方形，这个运动场的周长是多少米?
5．一根铁丝可围成边长是3.14厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆，圆的半径是多少厘米?
答案：
1．⑴4
2
⑵3厘米
2．24
3．37.68厘米
4．295.6米
5．3.14×4÷3.14÷2＝2(厘米)
答：圆的半径是2厘米。
（四）达标反馈
1．求下面各圆的周长。
2．一种汽车的方向盘的半径是30厘米，它的周长是多少厘米?
3．—个圆形花坛的周长是62.8米，这个圆形花坛的直径是多少米?
4．一个圆形花坛的直径是12米，小刚绕着花坛跑了3圈，小刚跑了多少米?
5．小圆的半径是3厘米，大圆的半径是5厘米，它们的周长相差多少厘米?
6．用一条8米长的绳子围着一根圆木桩绕4圈，还余1.72米。这根木桩的直径是多少米?
7．一个圆形鱼塘半径是12米，将它改造成一个正方形鱼塘但不改变鱼塘的周长。正方形鱼塘的边长是多少米?
8．张大叔家有一个圆形的牛栏，它的直径是30米。如果每隔2，米埋一根木桩，大约要埋多少根木桩?
9．求出下面各图中阴影部分的周长。
10．一辆自行车轮胎的外直径大约是0.7米，如果每分钟转80周，通过一座长879.2米的桥，需要几分钟?
答案：
1．56.52cm
50.24cm
25.12cm
2．2×3.14×30＝188.4(厘米)
答：它的周长是188.4厘米。
3．62.8÷3.14＝20(米)
答：这个圆形花坛的直径是20米。
4．3.14×12×3＝113.04(米)
答：小刚跑了113.04米。
5．3.14×5×2－3.14×3×2＝12.56(厘米)
答：它们的周长相差12.56厘米。
6．(8－1.72)÷4÷3.14＝0.5(米)
答：这根木桩的直径是0.5米。
7．2×3.14×12÷4＝18.84(米)
答：正方形鱼塘的边长是18.84米。
8．3.14×30÷2≈47(根)
答：大约要埋47根木桩。
9．(1)3.14×10＋20×2＝71.4(cm)
(2)3.14×8×2÷4＋8×2＝28.56(cm)
(3)3.14×2×6÷2＝18.84(cm)
10．879.2÷(3.14×0.7×90)＝5(分钟)
答：需要5分钟。
（五）课堂小结
师：今天，我们一起探究了已知圆的直径或半径，求周长的方法，你们还有什么问题需要解决吗?
师：生活中的数学问题还有很多，希望你们善于运用所学知识解决这些问题，为生活服务，从中收获更多的快乐。
设计意图：通过对本课的总结，对所讲的知识及时查漏补缺，及时巩固反馈，提高学生运用知识解决生活实际问题的能力，同时也培养了学生的总结、概括能力。
（六）布置作业
1.求下面图形中阴影部分的周长。(单位：厘米)
2.用一条长20米的绳子围绕一棵树干绕了4圈，还余下1.16米，这棵树干的直径大约是多少米?
3.一个半圆的周长是15.42厘米，这个半圆的直径是多少厘米?
答案：
1．3.14×8＝25.12(厘米)
答：阴影部分的周长是25.12。
2．(20－1.16)÷4÷3.14＝1.5(米)
答：这棵树干的直径大约是1.5米。
3．设这个半圆的直径为d厘米。
3.14d÷2＋d＝15.42
d＝6
答：这个半圆的直径是6厘米。
板书设计
圆的周长公式的拓展应用
利用周长公式C＝πd可以得出d＝C÷π。
利用周长公式C＝2πr可以得出r＝C÷π÷2。
教学资料包
（一）
教学精彩片段
在一个半径是5米的圆形场地周围栽树，每隔1．57米栽一棵树，一共可以栽多少棵?
(出示小黑板)
师：沿河边种一排树，要想知道一共可以栽树多少棵，大家需要知道哪些条件呢?
学生合作交流。
生1：需要知道河边的总长度是多少米。
生2：还需要知道每隔多少米种一棵树。
师：大家说得没错，同样的道理，要想知道圆形场地周围共栽树多少棵需要知道哪些条件呢?
生：需要知道圆形场地周长和每两棵树之间的距离。
师：每两棵树之间的距离大家知道吗?
生：1.57米。
师：已知条件已经给出，那圆形场地周长呢?
生：不能直接求出，但告诉了圆形场地的半径，可以利用公式C＝2πr求出来。
2×3.14×5＝31.4(米)
师：大家知道了圆形场地周长和每两棵树之间的距离，如何求出一共可以栽多少棵?
学生讨论，教师可做引导，使学生知道用圆形场地的周长除以1.57米就可以求出一共栽的棵数。
31.4÷1.57＝20(棵)
答：一共可以栽20棵。
设计意图：此环节的练习，学生加深了对圆周长公式的应用，使学生感受到数学来源于生活，运用于生活，培养学生应用所学知识解决实际问题的意识。
（二）
数学资源
1.小红想测量一根古代建筑中的大红圆柱的周长，她先用一条绳子在这根圆柱上绕了5圈，量出这段绳子长12.56米。你能求出这根大红圆柱的直径吗?
分析：大家须知道这段绳子的长度实际上就是圆柱的5个周长之和，先求出圆柱的周长，然后利用周长公式C＝πd可以得出d＝C÷π计算。
答案：12.56÷5÷3.14＝0.8(米)
点拨：在用圆的周长公式进行计算时，大家要特别注意的是求的数据是直径还是半径，再选择相应的计算公式。
2.
用一条长20米的绳子围绕一棵树干绕了6圈，还余1.16米，这根树干横截面的半径是多少米?
分析：
方法一：树干横截面周长的6倍比20米少1.16米。
方法二：树干横截面的周长的6倍加上1.16米等于20米。
答案：
方法一：设树干横截面的半径是χ米。
2×3.14×χ×6＝20－1.16
χ＝0.5
方法二：设树干横截面的半径是χ米。
2×3.14×χ×6＋1.16＝20
χ＝0.5
答：这棵树干横截面的半径大约是0.5米。
3.体会奥赛
有一只蚂蚱和一只青蛙进行跳远比赛，如果它们跳起来的路线都是一个半圆，那么蚂蚱三次跳的路线和青蛙一次跳的路线长度哪个长?为什么呢?
答案：设青蛙一次跳的半圆直径为d，则青蛙一次跳的路线长度为πd，蚂蚱三次跳的半圆直径分别是πd1、πd2，πd3，则蚂蚱三次跳的路线长度为πd1＋πd2＋πd3，＝π(d1＋d2＋d3)。因为d1＋d2＋d3，所以π(d1＋d2＋d3)＝πd。即蚂蚱三次跳的路线和青蛙—次跳的路线一样长。
三、资料链接
圆周率趣闻
1973年，有人就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了。1989年突破10亿大关，1995年10月超过64亿位。1999年9月30日，《文摘报》报道，日本东京大学教授金田康正已求到2061．5843亿位的小数值。如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字，那么，这些纸摞起来将高达五六百米。来自最新的报道：金田康正利用一台超级计算机，计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数，改写了他本人以前创造的纪录。据悉，金田教授与日立制作所的员工合作，利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机，使用新的计算方法，耗时四百多个小时，才计算出新的数位，比他1999年9月计算出的小数点后二千零六十一亿位提高了六倍。圆周率小数点后第一兆位数是二，第一兆二千四百一十一亿位数为五。如果一秒钟读一位数，大约四万年后才能读完。
趣味数学故事
我们知道，祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，这一成就在世界上领先了约1000年。但是你们知道吗?在我国，首先是由魏晋时期杰出的数学家刘徽得出了较精确的圆周率的值。他采用“割圆术”得到圆周率的近似值是3．14。刘徽的方法是用圆内接正多边形从一个方向逐步接近圆。用正多边形接近圆，计算量很大，再向前推进，必须在方法上有所突破。电子计算机的出现带来了计算方面的革命，小数点后面的精确数字越来越多。2000年某研究小组将圆周率计算到了小数点后12411亿位。第1课时
圆的周长公式
教学内容
冀教版小学数学六年级上册第42～46页。
教学提示
圆的周长是指围成圆的封闭曲线的长度，圆的周长一般用字母“C，，来表示。可用绳测法、滚动法等动手操作的形式解决圆的周长问题，在操作中加深对圆这个封闭曲线图形的认识，再从操作提升为总结性地引入圆周率与直径、半径、周长的关系，使知识上升为用公式法来解决圆的周长。
教学目标
1.在观察、讨论、测量等活动中，经历探索圆周率以及总结圆周长公式的过程。
2．认识圆周率，理解并掌握圆的周长公式，能运用周长公式正确进行计算。
3．体验数学与日常生活的密切联系，了解圆周率的探索历史，激发民族自豪感。
重点、难点
重点
引导学生在活动中探索圆的周长的计算方法。能灵活运用圆的周长公式解决简单的实际问题。
难点
学生以合作实践，讨论交流的方式探究圆周率的含义，理解圆的周长与直径的关系。灵活运用公式求圆的半径和直径。
教学准备
教师准备：多媒体课件一套，模型圆，几个直径不同的圆，线，直尺。
学生准备：每组1份实验报告单、圆形纸片、1元硬币、1条大约100厘米的没有弹性的线，直尺。
教学过程
（一）新课导入：
(屏幕显示教材第42页情境图)
师：同学们，你们能从图中看到什么?想说些什么?
生1：一位小朋友和他的爸爸妈妈去郊游。
生2：他们去的地方景色很美。
师：同学们观察得非常仔细，那么车轮转动一周，谁的车走得远?为什么?小组讨论?(教材第42页议一议)
生：爸爸的自行车车轮转动一周，走得远，因为他的自行车车轮大。
师：很好，咱们一起来看。(课件演示动画随鼠杯点动，围成车轮的弧线闪动)
生：我发现车轮转动一周走的距离就是车轮一周的长度，也就是车轮的周长。
让学生描述其他物体上圆形的周长。(圆桌、洗脸盆、光盘等)
教师在黑板上用圆规画一个圆，并说明什么是圆的周长。
(围成圆的曲线的长度就是圆的周长)
师：车轮转动一周走的距离和什么有关系?(教材第42页议一议)
学生通过思考交流，初步感知车轮的周长与车轮辐条的长度有关，也就是直径(或半径)有关，学生很容易联想到圆的周长和直径有关。
师：同学们说的对不对呢?下面我们来继续研究圆的周长
板书：圆的周长。
二、探究新知
1．探究圆的周长。
(1)测量方法。
师：请同学们拿出你准备的一元硬币指出它的周长，想—想怎样才能知道硬币的周长是多少呢?
生：可以通过测量。
师：你准备怎么测量?先独立思考，然后把你的想法与同桌交流。(学生交流)
师：同学们想出办法来了吗?谁来给大家演示—下你是怎么测量的?
学生演示测量方法：滚动法、绕线法。
师：刚才同学们用的滚动法、绕线法都是曲线化为直线，再去测量直线的长度，这是“化曲为直”转化的方法，这种转化方法在数学学习中很常见。
设计意图：通过尝试性地实际测量，很好地培养了学生动手操作能力，在这个过程中也使学生切身体会到“化曲为直”的思想。
(2)探究公式。
师：(出示一个更大的圆)，怎样量出这个圆的周长呢?(学生纷纷上台，测量)
师：这样测量你有什么感想?
生：太麻烦啦。
设计意图：使学生发现测量的局限性，并产生探究一般方法的迫切愿望。
师：是啊，看来用滚动法、绕线法可以测量出圆的周长但有—定的局限性，我们能不能探讨出求圆周长的一般方法呢?
生：如果有计算公式就好啦。
师：是啊，用公式来计算是很方便。大家知道，半径越大，直径越大，囡就越大，即圆的周长越长，那圆的周长和直径到底有什么关系呢?现在小组合作，测量三个大小不同的圆形纸片，把数据填在下表中。(教材第43页例题1)
周
长
直
径
周长÷直径
1号
2号
3号
计算可用计算器进行，测量结果精确到1毫米，计算结果保两位小数，交流各组测量、计算的结果，尽可能多地展示每个小组的结果，使数据带有普遍性。
师：观察得到的数据，有什么发现?
生：圆的周长是直径的3倍多一些。
师：很好，刚才，同学们测量了大小不同的圆，但却有相同的发现：圆的周长是直径的3倍多一些。其实这个倍数是一个固定数，我们把它叫做圆周率，通常用字母π表示。
板书：圆的周长与它的直径的比值——圆周率。
师：刚才我们用几分钟的时间，发现了人们用几千年时间才研究出的结果，同学们真了不起，经过周密的计算，现在我们知道圆周率是一个无限不循环小数。
板书：π＝3.1415926……
自学资料，激发情感。
让学生阅读第43页“兔博士网站”的内容，了解圆周率及其发展史。
师：圆周率π的值到底是多少呢?请同学们认真读一读教材第43页的“兔博士网站”。(课件出示)你知道了什么?（生自由发言)
生：π是一个无限不循环小数，它在3.1415926～3.1415927之间；
生：比外国的数学家得到相同结果要早约1000年。
师：同学们看得很仔细！大约公元1500多年前，中国有位伟大的数学家祖冲之，他计算出圆周率应在3.1415926～3.1415927之间，成为世界上第—个把圆周率的值精确到小数点后7位的人，他的这项伟大成就比国外数学家得出这样精确数值的时间至少早一千年。
设计意图：通过学生读“兔博士网站”的内容，让他们感受科学技术发展的同时，使学生认识无限不循环小数的特点，并产生为了计算方便取近似值的需要，从而更轻松地体会数学知识；同时也了解到先人的探索精神，产生崇敬之情，增强对数学学习的兴趣。
师：在计算时我们利用这个数据方便吗?
生：不方便。
师：因此，为了计算方便，计算时，我们只取它的近似值。保留两位小数，π≈3.14(板书)
师：你能根据圆的周长和直径的关系来计算圆的周长了吗?
生：圆的周长＝直径×圆周率。
师：如果用C表示圆的周长，π表示圆周率，d表示直径，那么如何用字母表示求圆周长的公式?(学生说，教师板书：C＝πd)
师：那如果C表示圆的周长，π表示圆周率，r表示半径，如何用字母表示圆的周长呢?
生：先把直径求出来，根据d＝2r，再求圆的周长，即C＝2πr。(教师板书)
2．解决问题。
师：看来我们只要知道了圆的直径和半径就能求出一个圆的周长，现在我们就来解决—些实际问题。(出示教材第44页例题3)
(1)读题，说说金属条的长指的是什么?(镜面的周长)
(2)题目中已知的条件是什么?怎样求镜面的周长?
让学生做，学生计算时，教师深入到学生之间，及时指导学生。再组织学生交流。
四、应用公式，解决问题
1.小强每天绕直径为20厘米的花坛跑15圈，每天要跑多少圈？
在教师的引导下学生读题，了解小强每天跑15圈的长度就是求花坛的15个周长。
学生先独立做再交流，教师巡视。
设计意图：求圆周长问题的综合应用。培养学生灵活解题的意识。
2.一个时针的时针长12厘米，这根时针的尖端24小时走了多少厘米?
在教师的引导下读题，学生明白时针实际上是圆的半径，且时针24小时会转2周。
此题比较难，学生之间可以合作探究后再解决。
设计意图：培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，使学生感受到数学与生活的密切联系，激发学生学习的兴趣。
三、巩固练习
1．完成“练一练”第1题。(教材第44页)
学生独立完成后再组织交流，加深了学生对圆的周长公式认识。
2．引导学生读第2题，使学生知道菜墩的周长和一根铅条的长度相等，求出菜墩的周长就是一根铅条的长度。
设计意图：练习设计，既帮助学生理解圆的周长、圆周率概念，又能让学生运用公式直接计算圆的周长，还能让学生综合运用有关知识解决简单的实际问题。
3．引导学生读第3题，讨论一下怎样计算，使学生知道铁环转一圈的长度就是铁环的周长，转60圈所滚的路程就是求60个铁环的周长，可让学生尝试计算，交流计算的过程和结果，注意学生能不能恰当地使用约等于号。
（三）巩固新知：
1.填空。
⑴围成圆的(
)的长叫做圆的周长。
⑵圆的周长总是直径的(
)倍多一些，圆的周长和直径的(
)叫做圆周率，用字母(
)表示。
⑶圆的周长＝π×直径：2×π×半径，用字母表示这一关系式(
)。
2．一种口杯的圆形杯口直径为7.8厘米，杯口周长是多少厘米?
3．大、小两种自行车车轮的直径比是3：2，小自行车车轮的周长是50厘米，求大自行车车轮的周长是多少?
4．某杂技团有一种独轮表演，车轮直径是20厘米，要走完15.7米长的钢丝绳，车轮需滚动几周?
5．一辆自行车轮胎的外直径约是71厘米：如果平均每分钟转动100周，通过一座1100米长的桥，大约需要几分钟?(得数保留整数)
答案：
1.⑴曲线
⑵3
比值
π
⑶C＝πd＝2πr
2．3.14×7.8＝24.492(厘米)
答：杯口周长是24.492厘米。
3．50×＝75(厘米)
答：大自行车车轮的周长是75厘米。
4．20厘米＝0.2米
15.7÷(3.14×0.2)＝25(圈)
答：车轮需滚动25周。
5．71厘米＝0.71米
1100÷(3.14×0.71×100)≈5(分钟)
答：大约需要5分钟。
（四）达标反馈
1.选一选。
⑴圆周率π是（
）。
A．等于3.14
B．有限小数
C．循环小数
D．无限不循环小数
⑵一个圆的半径扩大2倍，周长扩大(
)。
A．2倍
B．4倍
C
．6.28倍
⑶直径是3分米的圆，在1米的距离内可滚动(
)。
A．1周多
B
．2周多
C．
3周多
D．不到1周
2.计算下面圆的周长。
⑴d＝2.6厘米
⑵r＝8.18米
⑶r＝7分米
3．判断题。
⑴一个圆的周长是它半径的π倍。
(
)
⑵两个圆的半径比是1：2，那么这两个圆的周长比是1：2。
(
)
4.
怎样测量一张圆形铁片的周长?
5.小强每天绕直径为20m的花坛跑15圈，每天要跑多少米?
6.
一个鱼缸的圆形底面周长是18.84dm，它的半径是多少分米?
答案：
1．⑴D
⑵A
⑶A
2．⑴8.164厘米
⑵19.782米
⑶43.96分米
3.⑴×
⑵√
4.用滚动法或线绕法求圆的周长。
5.
3.14×20×15＝942(米)
6.
1884÷314÷2＝3(dm)
（五）课堂小结
四、全课小结
师：今天，我们一起探究了圆的周长。有关圆的周长，你们还有什么问题要问吗?
师：生活中的数学问题还有很多，希望你们善于发现，善于探索，善于总结，相信你们一定会拥有更多的智慧，收获更多的快乐。
设计意图：最后对本课做出总结，对所讲的知识及时查漏补缺，及时巩固反馈，也培养了学生的总结、概括能力。
（六）布置作业
1.
要为直径是5厘米的圆镜镶边框(如下图)，如何边框的长?(镜框厚度忽略不计)
2.
一种汽车轮胎的外直径是1．02米，每分钟转50周，车轮每分钟前进多少米?
3.有一棵周长为314
dm的古树，你能想办法算出这棵树的横截面的直径吗?
4.
求下面图形的周长。
5.
一只蚂蚁(如下图)，如果从A点到B点直线爬行共要爬行25厘米，那么这只蚂蚁从A
点到B点沿弧线爬行需要爬行多少厘米?
答案：
1.
方法一：在圆上点一点A，使点A对准直尺的。刻度，然后使圆镜在直尺上滚动一周，点A，所指的刻度就是圆的周长。
方法二：在圆上点一点A，使点A对准线的一个端点，然后使线从点A开始绕圆镜一周，再测量绕圆镜一周线的长度即圆的周长。
2.
3.14×1.02×50＝160.14(米)
3.
31.4÷3.14＝10(dm)
4.
3.14×5÷2＝7.85(厘米)
3.14×5÷2＝7.85(厘米)
3.14×(5×2)÷2＝15.7(厘米)
7.85＋7.85＋15.7＝31.4(厘米)
5.
3．14×25÷2＝39.25(厘米)
板书设计
圆的周长公式
圆的周长与它的直径的比值——圆周率。
圆周率是无限不循环小数，π≈3．14
C＝πd或C＝2πr
教学资料包
（一）
教学精彩片段
提出问题，揭示课题。(出示课件及实物)
师：老师手里有两块不同形状的镜片，一块正方形的，一块圆形的，还有一条50cm长的铝合金材料，不知道能给哪块镜片镶边，谁来帮老师想想办法呢?(镜框厚度忽略不计)
生：第一块不行，因为正方形的周长等于边长乘4，如果要镶边需要52cm，不够长，
师：那么第二块又不知道，应怎样解决呢？
生：
可以想采用围一围的方法。
师：我们刚才是怎么知道给正方形镜片镶边不够长的呀?
生：算算正方形的周长就知道了。
师：哦，原来镶边的长度就是正方形的周长，那如果我们要给圆形镜片镶边也得知道它的什么?
生：周长。
设计意图：从身边实际出发，让学生感受到数学来源于生活，生活中处处有数学。
（二）
数学资源
1.这是一个有趣的问题，两只小蚂蚁分别绕正方形和圆跑(正方形的边长与圆的直径相等)，跑完一圈，谁跑的路程多?
分析，正方形的周长：2×4＝8(厘米)，圆的周长：2×3.14＝6.28(厘米)，6.28＜8，所以沿正方形跑的蚂蚁跑的路程长。也可以这样分析：正方形的周长是边长的4倍，圆的周长是正方形边长的3倍多，所以沿正方形跑的蚂蚁跑的路程长。
2.一幅圆形书法作品的直径是6分米，沿它的四周装饰一圈花边，花边的长度是多少?
分析：首先明确，花边的长度就是这个圆形书法作品的周长，然后利用周长计算公式C＝πd计算。
答案：3.14×6＝18.84(分米)
点拨：直接计算周长时，要特别注意给出的数据是直径还是半径，再根据给出的数据选择相应的计算公式。
三、资料链接
祖冲之与圆周率
祖冲之(公元429～500年)，河北省涞水县人。他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。
祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算。秦汉以前，人们以“径一周三”作为圆周率，这就是“古率”。后来发现古率误差太大，圆周率应是“圆径一而周三有余”，不过究竟余多少，意见不一。直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法——“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长。刘徽计算到圆内接96边形，求得＝3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的”值越精确。祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间。并得出了π分数形式的近似值，取为约率，取为密率，其中取六位小数是3.141593，祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查。若设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16384边形，这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊!
由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的。祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议π叫做“祖率”。
祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元。
祖冲之还与他的儿子祖暅(也是我国著名的数学家)一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是：“幂势既同，则积不容异”意即位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。这一原理，在西方被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为“祖暅原理”。第四单元
圆的周长和面积
教材分析
本单元内容是在学生认识了圆，探索并掌握了长方形、平行四边形、三角形等面积计算公式的基础上学习的。主要内容有：探索圆的周长公式、圆的面积公式，解决问题。
圆的周长和面积是《标准》“空间与图形”领域的重要内容，具体目标是：探索并掌握圆的周长和面积公式，强调让学生经历探索圆周长和面积公式的过程并学习基本的数学思想和方法，娟数学活动经验。本单元在内容安排和活动设计上有以下特点。
重视动手操作活动，让学生经历圆周长公式和圆面积公式探索的全过程。在探索圆的周长公式时，教材设计了四个方面的活动。
第一，让学生利用滚动法、缠绕法等自主测量硬币和圆形纸片的周长和直径，通过观察、估算测量的数据，初步感受圆朋长与直径的关系，获得测量圆的周长和直径的活动经验。
第二，小组合作，测量三个大小不同的圆的周长和直径，并计算月长除以直径的值。为归纳圆周率积累素材，体验探索方法。
第三，观察大家测量、计算出的数据，发现周长是直径的3倍多一些的现象，获得初步结论和活动经验。第四，让学生了解圆周率的发展史和我国数学家在研究圆周率中的贡献，确信探索结果的准确性，获得成功的体验。探索圆的面积公式时，也设计了四妨面的活动。第一，估算飞镖板面积。通过把飞镖板剪开拼成一个近似长方形估算，为探索活动打基础。第二，让学生把圆形纸片分别平均分成16份、32份，剪开后拼成近似长方形，观察比较，体会两个近似长方形的变化。第三，提出“平均分的份数越多，拼成的图形会怎样”，让学生在操作的基础上，通过想象得出：平均分的份数越多，拼成的图形越像长方形。第四，讨论
“拼成的长方形和圆有什么关系”，进而总结出圆的面积公式。在这个探索活动中，让学生把圆转化成长方形的过程中，体会了转化思想和极限思想，经历圆的面积公式探索的全过程。
重视数学与生活的联系，发展应用意识。本单元教材注意选择学生熟悉的、现实的问题情境和活动，使学生感受数学与生珊密切联系，获得运用数学解决问题的成功体验，提高学生解决问题的能力，发展应用意识。如，探索圆的周长公式时，教材创设了“全家骑不同型号自行车去郊游”的情境，让学生结合已柏生活经验，在讨论“车轮转动一周，谁的车走得远”的过程中，理解圆周长的概念，初步感受车轮周长与直径的关系，体会数学与生活的密切联系，感受数学就在自己的身边。再如探索圆的面积公式时，设计了“计算圆形草坪需要多少草皮”“水缸的木盖需要多大”“给圆桌选择台布”等实际问题。这些问题的设计，既加强了数学与现实世界的联系，也突出了数学的应用价值。让学生在解决实际问题的过程中，形成解决问题的能力，促进学生发展数学的应用意识。
教学目标
1．通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值；探索并掌握圆的周长和面积公式。能运用公式解决简单的问题。
在观察、操作、推理活动中．发展合情推理能力．能进行有条理地思考，能比较清楚地表达自己思考的过程与结果。
3．能探索分析和解决问题的有效方法．能表达解决问题的思路和方法，增强应用意识．提高实践能力。
4.积极参加数学活动．获得探索圆面积公式的经验．在运用圆的周长长和面积知识解决问题的过程中，认识数学的价值。
重点、难点
重点
求圆的周长与面积。
能真正理解圆周率的意义；在理解的基础上熟记一些主要的计算公式。
难点
对圆周率“π”的真正理解；
圆面积计算公式的推导以及画具有定半径或直径的圆。
教学建议
在教学过程中渗透数学文化，结合圆周率的探索活动，可参考“兔博士网站”的文字，让学生了解圆周率的发展史，感知圆周率的研究、发展历程，感受人类对数学知识的探索过程。同时，结合古代数学名著《周髀算经》和数学家祖冲之研究圆周率取得的成就，激发学生的民族自豪感。
教学圆的面积采用转化的教学思想，通过直观教具演示和由计算机设计的动画，以生动、形象、直观的实验，揭示知识的内在规律，明白方、圆、曲、直之间的内在联系与相互转化关系。这样，不仅使学生理解和掌握圆面积计算方法的来龙去脉，同时也发展了学生的空间观念和抽象思维能力。
让学生亲自动手操作发现新知，感受学习的乐趣。采用演示法，激活学生思维，使其形象、逼真地体验到公式的由来。
课时安排
本单元用4课时完成教学。
课题
课时
圆的周长
1
圆的面积（一）
1
圆的面积（二）
1
圆环的面积
1
