数学人教A版（2019）必修第一册1.3集合的基本运算——并集、交集（课件）(共27张PPT)

(共27张PPT)
集合的基本运算
并集、交集
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
1．并集
自然语言描述：“对于两个给定集合A、B由______________________的元素组成的集合”．
符号语言表示：A∪B＝{_______________}．
Venn图表示：
2．交集
自然语言描述：对于两个给定集合A、B，由_____________________的元素组成的集合．
自学导引
属于集合A或属于集合B
x|x∈A，或x∈B
属于集合A且属于集合B
符号语言表示：A∩B＝{_______________}．
Venn图表示：
3．运算性质
(1)并集运算性质；
A∪B＝B∪A；A∪A＝__；A∪?＝__；A?B?A∪B＝B.
(2)交集运算性质；
A∩B＝B∩A；A∩A＝
__
；A∩?＝
__
；A?B?A∩B＝A.
x|x∈A，且x∈B
A
A
A
?
1．能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？
答：不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝?.
自主探究
2．怎样理解并集概念中的“或”字？对于A∪B，能否认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？
答：其中“或”字的意义，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A，但x?B，x∈B，但x?A；x∈A，且x∈B.
对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，违反了集合中元素的互异性．因为A与B可能有公共元素，公共元素只能算一个．
1．设集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∪B等于(　　)
A．{1,2,2,3}
B．{2}
C．{1,2,3}
D．?
答案：C
2．设集合A＝{x|－5≤x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于
(　　)
A．{x|－5≤x<1}
B．{x|－5≤x≤2}
C．{x|x<1}
D．{x|x≤2}
答案：A
预习测评
3．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x－1}，则A∩B＝________.
答案：{(2,5)}
4．已知Q＝{x|x是有理数}，Z＝{x|x是整数}，则Q∪Z＝________.
解析：Q∪Z＝{x|x是有理数}∪{x|x是整数}＝{x|x是有理数}＝Q.
答案：Q
1．正确理解“且”、“或”的内涵
(1)“且”即“并且”、“而且”，“x∈A且x∈B”，即x是A与B的公共元素；
(2)并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义是不同的，生活用语中的“或”是“或此”、“或彼”，只居其一，并不兼有；并集概念中的“或”是“或此”、“或彼”、“或此彼”，可以兼有．“x∈A或x∈B”包含三种情形：①x∈A且x∈B；②x∈A但x?B；③x∈B但x?A.这三部分元素构成了A∪B.
要点阐释
(3)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．
2．交集与并集的性质
(1)A∩A＝A；A∩?＝?；A∩B＝B∩A；A∩B?A；A∩B?B.
(2)A∩B＝A?A?B；A∪B＝B?A?B.
(3)A∪A＝A；A∪?＝A；A∪B＝B∪A；A?A∪B；B?A∪B；A∩B?A∪B.
3．含参数的交、并集问题
(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形；
(2)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来；
(3)求出有关集合中方程、不等式的解，不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．运算时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍．
题型一　交集、并集的运算
【例1】
求下列两个集合的并集和交集．
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{－1,0,1,2,3}；
(2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}．
解：(1)如图所示，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}，A∩B＝{1,2,3}．
典例剖析
(2)结合数轴(如图所示)得：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－5点评：求两个集合的交集依据它们的定义，借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况，有利于准确写出交集．
1．(1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2(　　)
A．{x|x>－2}
B．{x|x>－1}
C．{x|－2D．{x|－1(2)若将(1)中A改为A＝{x|x>a}，求A∪B.
解析：(1)画出数轴，故A∪B＝{x|x>－2}．
答案：A
解：(2)如图所示，
当a<－2时，A∪B＝A；
当－2≤a<2时，A∪B＝{x|x>－2}；
当a≥2时，A∪B＝{x|－2a}．
题型二　已知集合的交集、并集求参数
【例2】
设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,
2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.
解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
∵a2＋1≠－3，
∴①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，
综上可知a＝－1.
点评：本题考查交集的定义，并考查集合中元素的性质，注意分类讨论思想的运用，在确定集合中的元素时，要注意元素的互异性这一属性以及是否满足题意．
2．已知A＝{x|a5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
解：由a5}，
在数轴上标出集合A、B的解集，如图．
要使A∪B＝R，
解得－3≤a<－1.
综上可知：a的取值范围为－3≤a<－1.
题型三　交集、并集性质的运用
【例3】
若A＝{x|x2＋px＋q＝0，x∈R}，B＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，A∪B＝B，求p，q满足的条件．
解：B＝{1,2}，而A∪B＝B，则A?B，
故A＝?或A＝{1}，{2}，{1,2}．
①若A＝?，则x2＋px＋q＝0无解，
即Δ＝p2－4q<0，∴p2<4q时，A?B.
②若A＝{1}，
则x2＋px＋q＝0有两相等实根1，
显然p＝－2，q＝1，
即p＝－2，q＝1时，A?B.
③若A＝{2}，则x2＋px＋q＝0有两相等实根2，
显然p＝－4，q＝4，
即p＝－4，q＝4时，A?B.
④若A＝{1,2}，则x2＋px＋q＝0的两根为1,2，
由根与系数的关系易求出p＝－3，q＝2，
即p＝－3，q＝2时，A?B.
综上可知，p，q满足条件为p2<4q；
点评：在解答集合的交、并运算时，常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题．解答时应充分利用交集、并集的有关性质，准确转化条件，有时也借助数轴分析处理．另外还要注意“空集”这一隐含条件．
3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：∵A∪B＝A，∴B?A.
若B＝?时，2a>a＋3，即a>3，
解得：－1≤a≤2，
综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2或a>3}．
误区解密　因没有明确描述法表示集合时的
代表元素而出错
【例4】
设集合A＝{y∈R|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B等于
(　　)
A．{(0,2)，(1,2)}
B．{0,1}
C．{1,2}
D．{y∈R|y≥1}
错解2：在解方程组的基础上，注意到M、N中代表元素是y，故选C.
错因分析：没有理解集合的描述法的含义，元素的表达式符号是“y”，而不是“(x，y)”，有的同学盲目地将两约束条件联立求得其交点坐标，其实质是误将元素表达式“y”理解成“(x，y)”．
正解：A＝{y∈R|y≥1}，B＝{y∈R|y∈R}，
∴A∩B＝{y∈R|y≥1}，
故选D.
答案：D
纠错心得：这里的集合A、B是用描述法表示的，要首先明确代表元素是什么，再看元素的属性，从而确定该集合表示的意义，是数集，还是点集，是x的取值范围还是y的取值范围，解决这一类问题时，一定要抓住集合及其元素的实质．
1．求两个集合的交集或并集时，要先看清两个集合中的元素是什么；
2．善于借助Venn图、数轴解决集合问题，特别是一些含字母的范围问题；
3．A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B，这两个性质非常重要，另外，在解决有条件A?B的集合问题时，不要忽视A＝?的情况．
课堂总结