数学人教A版（2019）必修第一册1.3集合的基本运算——补集（课件）(共30张PPT)

(共30张PPT)
集合的基本运算——补集
1．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
2．能运用Venn图及补集知识解决有关问题．
1．全集的定义
一般地，如果一个集合含有我们____________
元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
.
2．补集
(1)定义：对于一个集合A，由全集U中________的所有元素组成的集合称作集合A相对于全集U的补集，记作
.
(2)集合表示：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
自学导引
所研究问题中
所涉及的所有
U
不属于A
?UA
(3)Venn图表示：
(4)运算性质：?UU＝
，?U?＝
，?U(?UA)＝
.
?
U
A
1．全集一定包含任何一个元素吗？一定是实数集R吗？
答：(1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素．
(2)全集是相对于研究问题而言的，如只在整数范围内研究问题时，则Z为全集；而当问题扩展到实数时，则R为全集，故并非全集都是实数集R.
自主探究
2．怎样理解全集与补集的概念？符号?UA的含义是什么？
答：(1)全集只是一个相对的概念，只包含所研究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的全集而言．
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不同的集合在同一个全集中的补集也不同．
(3)符号?UA包含三层意思：
①A?U；②?UA表示一个集合，且?UA?U；
③?UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
1．已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，则A等于(　　)　　　　　　　　　　　
?A．{0}
B．{1}
C．?
D．{0,1}
解析：∵?UA＝{2}，∴A＝{0,1}．
答案：D
2．已知全集U＝R，A＝{x|x<2}，则?UA等于
(　　)
A．{x|x>2}
B．{x|x<2}
C．{x|x≥2}
D．{x|x≤2}
答案：C
预习测评
3．若A＝{x∈Z|0AB＝________，?AC＝________.
解析：∵A＝{1,2,3，…，9}，B＝{1,3,4}，C＝{3,5,6,7}，
∴?AB＝{2,5,6,7,8,9}，?AC＝{1,2,4,8,9}．
答案：{2,5,6,7,8,9}　{1,2,4,8,9}
4．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(?UC)＝________.
解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，?UC＝{1,2,5}，
∴(A∪B)∩(?UC)
＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．
答案：{2,5}
1．全集的相对性
(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，则R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
要点阐释
(2)对于一个给定的集合，全集选择不同，则补集不同．
2．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
数形结合的思想是数学重要的思想方法之一，数形结合的解题方法的特点是：具有直观性、灵活性、深刻性、并跨越各科的界线，有较强的综合性．
3．补集思想
对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现．
这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
补集作为一种思想方法，给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”，从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
题型一　补集的运算
【例1】
已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，求集合B.
解：解法一：A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}
解法二：借助Venn图，如图所示，
典例剖析
点评：根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出补集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限多时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3(1)求?UA，?UB；
(2)判断?UA与?UB的关系．
解：(1)∵A＝{x|x≥－3}，
∴?UA＝?RA＝{x|x<－3}．
又∵B＝{x|－3∴?UB＝{x|x≤－3或x>2}．
(2)由数轴可知：
显然，?UA??UB.
解：把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
∵?RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|2题型二　交集、并集、补集的综合运算
【例2】
设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2点评：(1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
2．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<
－1}，B＝{x|－1≤x≤1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)，?U(A∩B)，?U(A∪B)．
解：在数轴上将各集合标出，如图．
由图可知：?UA＝{x|－1≤x≤3}，
?UB＝{x|－5≤x<－1或1(?UA)∩(?UB)＝{x|1(?UA)∪(?UB)＝{x|－5≤x≤3}＝U，
?U(A∩B)＝U，?U(A∪B)＝{x|1题型三　利用集合的运算求参数
【例3】
设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，?UA＝{5}，求实数m.
解：因为?UA＝5，
所以5∈U但5?A，
所以m2－m－1＝5，
解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足?UA＝{5}；
当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．
综上可知m＝3.
点评：由补集定义5?A,5∈U知A?U且?UA?U，在求得m＝3或m＝－2之后，检验其是否符合隐含条件A?U是必要的，否则容易产生增解而出错．
3．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，若A＝{b,2}，?UA＝{5}，求a，b.
【例4】
设全集U＝R，M＝{m|方程mx2－x－1＝0有实数根}，N＝{n|方程x2－x＋n＝0有实数根}，求(?UM)∩N.
误区解密
因未对方程二次
项系数进行讨论而错
错因分析：这个结果虽然正确，但解答过程不正确，未对m＝0和m≠0分别讨论．
1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．另外全集是一个相对概念．
2．符号?UA存在的前提是A?U，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件是我们解题的一个突破口．
3．补集的几个性质：
?UU＝?，?U?＝U，?U(?UA)＝A.
课堂总结
谢谢