数学人教A版（2019）必修第一册3.2函数的基本性质——奇偶性（课件）(共22张PPT)

(共22张PPT)
函数的基本性质
——奇偶性
1.
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．掌握判断函数奇偶性的方法．
3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．
学习目标
课前自主学案
温故夯基
y轴
原点
1．函数奇偶性的定义
(1)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内____一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做_______．
(2)一般地，如果对于函数f(x)的_______内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)就叫做_______．
知新益能
任意
f(－x)＝f(x)
偶函数
定义域
f(－x)＝－f(x)
奇函数
2．函数奇偶性的图象特征
(1)如果一个函数是______，则它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以____为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是______，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于____对称，则这个函数是偶函数．
奇函数
原点
偶函数
y轴
1．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)等于什么？
提示：根据奇函数的定义，有f(－0)＝－f(0)，故f(0)＝0.
2．有没有函数的图象既关于y轴对称又关于原点对称？
提示：有．如函数f(x)＝0，x∈(－a，a)，它既是偶函数又是奇函数．
问题探究
课堂互动讲练
直接根据函数奇偶性的定义或其图象的对称性来判定．
考点一
简单函数的奇偶性
考点突破
【思路点拨】　先判断函数定义域是否关于原点对称，再由f(－x)与f(x)的关系判断函数奇偶性．
例1
【名师点拨】　函数的定义域不能依据化简后的解析式来求，要从原函数解析式求定义域．(3)中易错为x∈R.
分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性，是否符合奇偶性的定义．
考点二
分段函数的奇偶性
例2
【思路点拨】　分x＞0或x＜0两种情况计算f(－x)，然后再判断f(－x)与f(x)的关系．
【解】　函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
①当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1
＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．
②当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1
＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，
都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
【名师点拨】　分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图象判定．
偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
如图所示为偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
考点三
奇偶函数的图象问题
例3
【思路点拨】　作出关于y轴对称的部分图象，利用图象求解．
【解】　作出[－3，－1]的图象关于y轴对称的图象x∈[1,3]．
由图象知f(3)＞f(1)．
【名师点拨】　偶函数在对称区间内，单调性相反．
互动探究2　本例函数若是奇函数，结果如何?
解：法一：由图象知，
f(－3)＞f(－1)，又f(x)是奇函数，
∴f(－3)＝－f(3)，f(－1)＝－f(1)，
∴f(3)＜f(1)．
法二：因为y＝f(x)是奇函数，故由对称性可作出x∈[1,3]时的图象，由图象知，f(3)＜f(1)．
方法技巧
1．若函数的定义域不关于原点对称，则就是非奇非偶函数．
2．对于初等函数，可根据奇偶性质判定：
(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
(2)奇函数的和、差仍为奇函数；
(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
方法感悟
失误防范
1．化简函数解析式要注意定义域的一致性．
2．对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与－x所满足的对应关系．(如例2)
谢
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