新人教A版 高中数学选修4-5 原创综合测试题（一）
满分150分 完卷时间120分钟
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．下列各函数中，最小值为的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．函数的最小值为（ ）
（A） （B） （C）不存在 （D）
4．已知满足，则的最小值为（ ）
（A）8 （B）6 （C） （D）
5．已知，则下列不等式中正确的是（ ）
( A ) ( B )
( C ) ( D )
6．不等式的解集为（ ）
（A）[-5.7] （B）[-4,6]
（C） （D）
7．不等式的解集为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8．函数的最小值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)……(n＋n)=2n·1·3·5·……·(2n－1)时，从k变到k＋1时，左边应增添的因式是（ ）
（A）2k＋1 （B） （C） （D）2(2k＋1)
10．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
（A）假设a，b，c都是偶数 （B）假设a、b，c都不是偶数
（C）假设a，b，c至多有一个偶数 （D）假设a，b，c至多有两个偶数
11．设，且恒成立，则的最大值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
12．设不等的两个正数满足，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，满分16分.
13．若，，则的取值范围是 ．
14．已知集合，则集合=________.
15．已知，则函数的最大值是________.
16．比较大小
三、解答题，本大题共6小题，共84分，其中第17题到第21题每题12分，第22题14分.
17．设不等式的解集为集合M．
求集合M；
若a，b∈M，
（1）试比较ab+1与a+b的大小；
（2）证明：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a至少有一个不大于.
18．设函数
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为R，试求的取值范围。
19．选择适当的方法证明下列问题
（1）设均为正数，证明：；
（2）设证明：。
20．运用数学归纳法证明：
21．利用柯西不等式解答下列问题
（1）已知，求的最小值。
（2）求函数的最大值
22．已知函数.
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若=对一切实数x恒成立，求实数的取值范围。
（Ⅲ）在（Ⅰ）（Ⅱ）的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围。
新人教A版 高中数学选修4-5 原创综合测试题（一）
满分150分 完卷时间120分钟
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择A；
解法一（试值法）：令，排除B、C两项；再令，可排除D；
解法二（作差比较法）：对于A，，由于，则，又因为，所以，所以，所以A选项正确；对于B，，所以；对于C选项，因为，，所以，所以；对于D选项，因为，，所以，所以.故排除D。
【点评】本小题主要考查了不等式的性质。对于该类问题，笔者给出了两种解法；方法一为“试值法”，主要通过代入一些特殊值得到具体的答案，此类方法可以节省时间，一般适用于选填时操作；方法二为“比较法”，结合不等式的一些性质，得到具体的答案，此类方法综合性较强。
2．下列各函数中，最小值为的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选择A；
B、D中tanx和x可能分别取到负值，所以最小值不会是2，C选项中等号成立的条件为，即，即，这是不可能的，故C选项取不到2。对于A选项，满足使用基本不等式的三个条件。
【点评】本题主要考察两个正数的基本不等式使用的三个条件：一正、二定、三相等；首先两个数的基本不等式使用的前提条件是要有两个正数的存在；其次，要想等号成立就必须注意所给不等式是否满足等号成立的条件，如果不满足，则等号不能取到。本题还可以增加如下选项让学生加以判定，例如、、、、、等，使得学生对于两个数的基本不等式的认识能力、变化能力得到提升。
3．函数的最小值为（ ）
（A） （B） （C）不存在 （D）
【解析】选择B；
因为，所以，当且仅当时等号成立，即。
【点评】对于三个正数的均值不等式的条件类似于两个正数的均值不等式的条件，都是一正二定三相等，三个数的均值不等式一般采用的形式进行化简、运算；在凑出运用均值不等式时，一般在三个式子中会有两个是一样的量，这样可以保证等号成立（例如：本题中，与均为），这是化简过程中一个重要的标准。
4．已知满足，则的最小值为（ ）
（A）8 （B）6 （C） （D）
【解析】选择C；
因为，所以，所以
=，当且仅当，即时等号成立。
【点评】本题是均值不等式的指数形式的运用，笔者认为，本道题目还可做如下变式：
变式1：已知满足，则的最小值为 ．
（考查三个数的均值不等式的运用）
变式2：已知满足，则的最大值为 ．
（考查对数形式的均值不等式的运用）
变式3：已知正数满足，则的最大值为 ．
（考查了“和定积最大”的应用）
5．已知，则下列不等式中正确的是（ ）
( A ) ( B )
( C ) ( D )
【解析】选择B；
解法一（试值法）：令，，可知B选项成立；、
解法二（公式法）：利用绝对值三角不等式进行判定：
①；②。
【点评】本题主要考察了绝对值三角不等式的应用，绝对值三角不等式分为两个部分，①是，②；运用时一定要注意弄清每个等号成立的条件到底是什么，防止使用绝对值三角不等式时产生失误。
6．不等式的解集为（ ）
（A）[-5.7] （B）[-4,6]
（C） （D）
【解析】选择D；
由不等式的几何意义知，式子表示数轴的点与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确
【点评】解决双绝对值的问题主要有三种方法。第一，利用数轴，转化为绝对值的几何意义—距离问题进行求解，此类方法的关键在于找到等号成立的条件；第二，利用“零点分区间法”，讲中的绝对值符号脱掉，再在各个区间上面求出相应的解集；第三，数形结合的方法，通过构造函数与，观察两个函数的图像得到结论，方法三为方法二的延伸。笔者认为，三种方法中，方法二的适用性较强，建议平时应多进行方法二的训练，
7．不等式的解集为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选择D；
，得
【点评】连续不等式转化为与它等价的不等式进行处理。
8．函数的最小值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择A；
利用绝对值三角不等式：
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的运用，可以将本题的结论一般化，具体如下：
①若，则；
②若，则，。
9．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)……(n＋n)=2n·1·3·5·……·(2n－1)时，从k变到k＋1时，左边应增添的因式是（ ）
（A）2k＋1 （B） （C） （D）2(2k＋1)
【解析】选择D；
归纳假设：假设当时结论成立，即；
则当时，等式左边=
=
【点评】本题考查了数学归纳法的“归纳递推”的过程；此类问题注意列出与时对应的式子，进行比较即可。
10．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
（A）假设a，b，c都是偶数 （B）假设a、b，c都不是偶数
（C）假设a，b，c至多有一个偶数 （D）假设a，b，c至多有两个偶数
【解析】选择B；
至少有一个”的否定应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．
【点评】当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有
一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”．
11．设，且恒成立，则的最大值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择C；
解法一（均值不等式）：
，而恒成立，得；
解法二（柯西不等式）：
【点评】本题灵活性较强，先通过分离变量法将n独立出来，再通过填项、拆项构造出均值不等式或者柯西不等式进行运算，讲解时应该注意思路的引导。
12．设不等的两个正数满足，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择B；
均值放缩：，而
所以，得
【点评】本题考查了放缩法的使用；常见的放缩手法如下
1． 基本放缩：通过放大或缩小一些特定的数或量实现放缩的目的，
例如；
2． 均值放缩：利用中等式链进行放缩，即设
则
3. 分式放缩：①；②
4. 单调性放缩：利用函数的单调性进行放缩。
二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，满分16分.
13．若，，则的取值范围是 ．
【解析】
因为，，所以，所以，
所以。
【点评】本题属于求不等式的取值范围类的题目，解该类问题需要利用已知条件结合不等式的性质进行求解。值得注意的是，在求取值范围的过程中，若遇到求、的取值范围，应当转化为、进行求解。
14．已知集合，则集合=________.
【解析】；
∵，
，
∴.
【点评】本题为2011年高考天津卷理科第13题，综合性较强，但处理起来比较简单，主要考查了解绝对值不等式的能力，运用基本不等式的能力，集合运算的能力。
15．已知，则函数的最大值是________.
【解析】；
易知，当时，函数能够取到最大值，此时
，当且仅当即时等号成立。
【点评】类比两个数的均值不等式的原理，我们可以得到三个数的均值不等式有如下两个原理：
①积定和最小：；②和定积最大：；
两个式子之间可以相互转换、灵活应用。
16．比较大小
【解析】；
设，则，得
即，显然，则
【点评】对于比较两个数或式的大小，有多种的方法；常用的方法有作差、比商、引入中间量、构造参量、公式法等。本题通过构造参量实现了比较大小的目的，做题时，需要学生突破常规的思维，是一道比较新颖的问题。
三、解答题，本大题共6小题，共84分，其中第17题到第21题每题12分，第22题14分.
17．设不等式的解集为集合M．
求集合M；
若a，b∈M，
（1）试比较ab+1与a+b的大小；
（2）证明：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a至少有一个不大于.
【解析】（I）由；所以
（II）（1）由（I）和，
所以故；
（2）假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a都大于，
即（1-a）b、（1-b）a且（1-c）a，
则（1-a）b（1-b）c（1-c）a——①；
因为，
所以（1-a）a，（1-b）b，（1-c）c；
当且仅当a=b=c=时等号成立，
所以（1-a）a（1-b）b（1-c）c；
这与①式矛盾，所以假设不成立，
所以（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a至少有一个不大于.
【点评】本题为“2011年高考福建卷理科第21题”改编而成的题目，主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。问题（II）的第二问是笔者自己添加的，意在考察学生对于反证法的理解程度；本问出现了“至少有一个”这样的字眼，成为了反证法的标志性提示。
18．设函数
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为R，试求的取值范围。
【解析】（1）由题设知：，在同一坐标系中作出函数和的图象, 知定义域为．
（2）由题设知，当时，恒有，
即，又由（1），∴ 。
【点评】本题主要考查了学生处理绝对值不等式问题的能力。第一问，主要是考察学生对“零点分区间法”的掌握程度，通过零点分区间的方法来脱掉不等式的绝对值，从而考查了分类讨论的思想；第二问主要考查了恒成立的问题，要想恒成立，只需a小于或等于的最小值即可，进而将问题转化为去求的最小值。
19．选择适当的方法证明下列问题
（1）设均为正数，证明：；
（2）设证明：。
【解析】（1）证明：
即得
（2）证明：由于，所以
要证明：
只要证明：
只要证明：
只要证明：
只要证明：
由于，上式显然成立，所以原命题成立。
【点评】本题主要考查了证明不等式问题中常用的两种方法，综合法与分析法。
综合法是顺推的过程，强调由因到果；而分析法是逆推的过程，强调执果索因。
20．运用数学归纳法证明：
【解析】证明：1.当时,左边=，右边=，
左边右边，所以不等式成立；
2.假设当时结论成立，则当时，
不等式左边=
所以当时不等式也成立；
综上所述，对任意的，都有。
【点评】本题主要考查了数学归纳法证明不等式问题能力，在数学归纳法的第二步中，运用了放缩法实现了不等式的传递性，进而得到想要证明的结果。
21．利用柯西不等式解答下列问题
（1）已知，求的最小值。
（2）求函数的最大值
【解析】（1）
所以，当且仅当
（2）由柯西不等式，得当且仅当时等号成立，所以的最大值是10。
【点评】本题考察了柯西不等式的基本使用方法。
22．已知函数.
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若=对一切实数x恒成立，求实数的取值范围。
（Ⅲ）在（Ⅰ）（Ⅱ）的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围。
【解析】（Ⅰ）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得；
（Ⅱ）当时，，，于是
=，所以
当时，；当时，；当时，；
（Ⅲ）令，可知该直线过顶点，问题转化为为何值时的图像会落在图像的下方；
在同一直角坐标系内做出与的图像可知
如图所示，或，所以的取值范围为
【点评】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，数形结合的能力。
