新人教A版 高中数学选修4-5 原创综合测试题（二）
满分150分 完卷时间120分钟
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，那么下列条件中正确的是（ ）
（A） （B）（C） （D）
2．若a、b为实数，则a＞b＞0是a＞b的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3．若，且, ，则与的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．下列结论正确的是 （ ）
5．若，且，则有( )
（Ａ）最大值18 （Ｂ）最小值 （Ｃ）最小值18 （Ｄ）最大值
6．不等式的解集是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7．函数的最小值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．若,则的最小值为 ( )
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
9．用数学归纳法证明某命题时，左边为从k变到k＋1时，左边应增添的代数式是（ ）。
（A） （B）＋
（C）＋＋ （D）＋＋……＋
10．的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
11．若，则函数有（ ）
（A）最小值 （B）最大值 （C）最大值 （D）最小值
12．，设，则下列判断中正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，满分16分.
13．函数的最大值为 。
14．不等式的解集为( 。
15．设，则与的大小关系是_________。
16．已知，比较与的大小关系为 。
三、解答题，本大题共6小题，共84分，其中第17题到第21题每题12分，第22题14分.
17．解不等式.
18．解关于的不等式：
19．（1）设为正数，且，证明：
（2）已知正数满足，求证：。
20．已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.
（I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。
21．（1）已知，求证：；
（2）已知a,b都是正数，x,y∈R，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2 。
22．已知，求证：
新人教A版 高中数学选修4-5 原创综合测试题（二）
满分150分 完卷时间120分钟
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设，那么下列条件中正确的是（ ）
（A） （B）（C） （D）
【解析】选择C；
解法一：（试值法）取，可知选择C；
解法二： （作差法），所以；；
所以；所以。
【点评】本小题主要考查了不等式的性质。对于该类问题，一般存在两种处理方法；方法一为“试值法”，主要通过代入一些特殊值得到具体的答案，此类方法可以节省时间，一般适用于选填时操作；方法二为“作差比较法”，结合不等式的一些性质，得到具体的答案，此类方法综合性较强。
2．若a、b为实数，则a＞b＞0是a＞b的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【解析】选择A；
因为反之不成立，所以选择A
【点评】不等式与简易逻辑的交汇也是历年高考的热点。
3．若，且, ，则与的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择A ；
解法一（试值法）：
令可知，；所以，可以验证当且仅当时等号成立，所以仅有；
解法二（作商比较法）：，所以；
解法三（作差比较法）：
，所以。
解法四（均值不等式）：
，即
【点评】本题“比较大小”笔者给出了四种解法，其中解法二和解法三统称为比较法，比较法原理如下：
；；
值得注意的是，运用运用作商比较法进行比较的前提是，上面只给出了的情况，可类比推出的情形。
4．下列结论正确的是 （ ）
【解析】选择B；
A选项不满足“一正”的条件；C选项不满足“三相等”的条件，D选项中
令，，又因为，结合函数的单调性可知。
【点评】本题主要考察两个正数的基本不等式使用的三个条件：一正、二定、三相等；首先两个数的基本不等式使用的前提条件是要有两个正数的存在；其次，要想等号成立就必须注意所给不等式是否满足等号成立的条件，如果不满足，则等号不能取到。
5．若，且，则有( )
（Ａ）最大值18 （Ｂ）最小值 （Ｃ）最小值18 （Ｄ）最大值
【解析】选择C；
解法一（均值不等式）：
因为，；
当且仅当，即时等号成立；
解法二（均值不等式）：
因为，且所以
，当且仅当，即时等号成立； 解法三（柯西不等式）：，
当且仅当，即时等号成立。
【点评】本题是属于均值不等式中关于“1”的活用的问题，对于本题还可做如下变式：
变式1：若，且，则有
变式2：若，且，则有
变式3：若，且，都有，则实数的取值范围为
变式4：设，且，若，的取值范围为
因此，在判断清楚满足均值不等式的前提下，问或者的最值时可考虑将两者相乘，使用均值不等式。
6．不等式的解集是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选择D；
解法一：令，满足不等式，所以排除A、B；令，排除C；
解法二：或，解得；
解法三：或，
解得。
【点评】解法二、解法三给出了不等式的两种等价变化；解法二的思路是先等价，再脱绝对值；解法三的思路是先脱绝对值，再等价。
7．函数的最小值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择A；
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的运用，可以将本题的结论一般化，具体如下：
①若，则；
②若，则，。
8．若,则的最小值为 ( )
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
【解析】选择C；
因为，所以，当且仅当，
即时等号成立。
【点评】本题考查三个数的均值不等式的使用；对于三个正数的均值不等式的条件类似于两个正数的均值不等式的条件，都是一正二定三相等，三个数的均值不等式一般采用的形式进行化简、运算；在凑出运用均值不等式时，一般在三个式子中会有两个是一样的量，这样可以保证等号成立。
9．用数学归纳法证明某命题时，左边为从k变到k＋1时，左边应增添的代数式是（ ）。
（A） （B）＋
（C）＋＋ （D）＋＋……＋
【解析】选择D；
【点评】本题主要考察学生对数学归纳法两个步骤的理解程度。
10．的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择D；
【点评】本题主要考察了柯西不等式的使用。
11．若，则函数有（ ）
（A）最小值 （B）最大值 （C）最大值 （D）最小值
【解析】选择C；
；
【点评】本题主要考察了均值不等式的使用。
12．，设，则下列判断中正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择B；
解法一（试值法）：令，所以，故选择B；
解法二（放缩法）：
即，，，，
得，
即，得，所以
【点评】放缩法在选择题中可以利用特殊值的带入来实现判定。
二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，满分16分.
13．函数的最大值为 。
【解析】；
因为，所以，当且仅当，
即时等号成立
【点评】基本不等式两个重要原理：
①和定积最大：，当且仅当时等号成立；
②积定和最小：，当且仅当时等号成立。
14．不等式的解集为( 。
【解析】
当≤－2时，原不等式可以化为≥5，
解得≤－3，即不等式组的解集是.
当时，原不等式可以化为≥5，
即3≥5，矛盾.所以不等式组，的解集为，
当≥1时，原不等式可以化为≥5，解得≥2，
即不等式组的解集是.
综上所述，原不等式的解集是;
【点评】对于两个绝对值的不等式一般采用零点分段法进行求解。
15．设，则与的大小关系是_________。
【解析】
【点评】通过放缩法来比较不等式之间的大小。
16．已知，比较与的大小关系为 。【解析】
构造单调函数，则，
，即，恒成立，
所以，即
【点评】构造函数法是判断不等式的一个重要方法。
三、解答题，本大题共6小题，共84分，其中第17题到第21题每题12分，第22题14分.
17．解不等式.
【解析】；即，
所以{x| 1【点评】解单个绝对值不等式主要分为两类问题：
第一类：，此时需判定的正负性；
第二类：，此时无须判定的正负性，直接套用公式进行求解即可。
18．解关于的不等式：
【解析】不等式即为
令，得：
（1）时，不等式即为，解得：
（2）时，不等式即为，解得：，无解
（3）时，不等式即为，解得：
故原不等式可化为：
【点评】本题考查了两个绝对值的不等式的解法以及换元的思想；通过换元的手段构造出了的形式进行求解；对于两个绝对值不等式的解法，一般使用采用“零点分段法”进行处理。
19．（1）设为正数，且，证明：
（2）已知正数满足，求证：。
【解析】（1）证法一（综合法）：
因为，所以，即
；
又因为，所以，当且仅当时等号成立；
证法二（分析法）：
要证 ；
只需证明 ；
因为；
只需证明 ；
只需证明 ；
只需证明 ；
只需证明 ；
因为设为正数，所以，当且仅当，
即时结论成立；所以；
证法三（反证法）：
假设，
因为；
又因为，所以，当且仅当时等号成立；这与假设矛盾，所以假设不成立，所以；
证法四（比较法）：
主要通过作差比较法和作商比较法进行，思路同证法一，故过程略。
（2）证法一（构造函数法）：
因为，所以，所以
，令，
所以，所以；
证法二（放缩法）：
因为，所以，所以；又因为（当且仅当时等号成立），所以
，所以；
证法三（三角换元法）：
令，因为为正数，所以，所以
，因为，所以
；
【点评】本题的两个小题笔者各给出了三种不同的解法，综合复习了证明不等式时常用的几种方法，比较法、分析法、综合法、反正、放缩法、构造函数法、三角换元法等，本题还有其他的解法，可鼓励学生进行发散性思维。
20．已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.
（I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。
【解析】（I）
当，所以
（II）由（I）可知，
当的解集为空集；
当；
当.
综上，不等式
【点评】本题为2011年高考辽宁卷理科第24题，主要考查了学生街绝对值不等式的能力以及分类讨论的思想。
21．（1）已知，求证：；
（2）已知a,b都是正数，x,y∈R，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2 。
【解析】(1)
；
(2)ax2+by2=(ax2+by2)(a+b)。
【点评】本题综合考查了柯西不等式的使用。
22．已知，求证：
【解析】证明：（1）当时，，即时命题成立．
（2）假设当时命题成立，即，
当时，
故当时，命题成立．
由（1）和（2）可知，对，不等式都成立．
【点评】运用数学归纳法证明不等式的问题经常会结合放缩法进行辅助，得到最后的结论；在使用放缩法的时候，一定要综合比较归纳假设的内容以及要证明的结论再进行放缩，这样可以防止使用放缩法时产生的失误。
