新人教A版 高中数学选修4-5 原创综合测试题（三）
满分150分 完卷时间120分钟
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．的一个充分不必要条件是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2．设，，，则的大小顺序是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．设, ，则的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．若，且恒成立，则的最小值是（ ）
（A） （B） （C）1 （D）
5．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
6．若，则的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8．对于实数x，y，若，，则的最大值为（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）4
9．对于不等式，某学生的证明过程如下：
（1）, 不等式成立。
（2）假设时不等式成立，即不等式成立。
由上述（1）、（2）得原不等式成立（ ）
（A）过程全部正确 （B）n=1时验证不正确
（C）归纳假设不正确 （D）从n=k到n=k+1的推理不正确
10．若 则的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）8
11．设，且，若，则必有（ ）
（A） （B） （C） （D）
12．若，则的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，满分16分.
13．已知，则的最小值为__________。
14．若，则的最小值是_____________。
15．用数学归纳法证明：当是31的倍数时，当n=1时原式为___________，从k到k+1时增添的项是__________________。
16．若是正数，且满足，用表示
中的最大者，则的最小值为__________。
三、解答题，本大题共6小题，共84分，其中第17题到第21题每题12分，第22题14分.
17．设函数；
（1）当时，求不等式的解集；
（2）如果不等式的解集为，求的值。
18．已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．
19．（1）已知，求证：
（2）证明：
20．（1）当a≥2时，求证：－<－.
（2）已知数列{bn}的通项公式为bn＝n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
21．（1）已知
（2）求证：
22．已知数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列中，，，
证明：，．
新人教A版 高中数学选修4-5 原创综合测试题（三）
满分150分 完卷时间120分钟
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．的一个充分不必要条件是（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】选择C；
若，根据不等式的同向可加性，所以，反之不成立。
【点评】本题考察不等式的性质；对于不等式的性质，主要由以下八条：
2．设，，，则的大小顺序是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选择B；
，即；
又，
即，所以。
【点评】本题改编自人教A版数学选修4-5课本例题；解题时需注意观察数字的结构（含根号），得知应当使用分析法的思路进行比较大小。
3．设, ，则的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择B；
解法一（试值法）：取，则，，可得结论；
解法二（放缩法）：，即。
【点评】本题改编自人教A版数学选修4-5课本例题，通过观察式子的结构特征，可知应当使用放缩法进行处理。
4．若，且恒成立，则的最小值是（ ）
（A） （B） （C）1 （D）
【解析】选择B ；
解法一：，
，而，
即恒成立，得；
解法二：因为恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，因为，所以只需即可，所以，因为，所以
【点评】本题通过了两种解法演示了基本不等式的应用。
5．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选择C；
取即可验证C不恒成立。
【点评】本题综合的考查了不等式的知识。
6．若，则的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择A；
解法一（均值不等式）：由得，而。
解法二（构造函数）：由得，此时， ，
所以当时取到极小值，也是最小值，所以。
【点评】本题考查了三个数的均值不等式的使用；解法二通过构造函数，讨论极值，也可以得到函数的最小值。
7．若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选择D；
因为所以存在实数解，有，所以或。
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的运用，可以将本题的结论一般化，具体如下：
①若，则；
②若，则，。
8．对于实数x，y，若，，则的最大值为（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）4
【解析】选择A；
【点评】本题主要考察了绝对值三角不等式的应用，绝对值三角不等式分为两个部分，①是，②。
9．对于不等式，某学生的证明过程如下：
（1）, 不等式成立。
（2）假设时不等式成立，即不等式成立。
由上述（1）、（2）得原不等式成立（ ）
（A）过程全部正确 （B）n=1时验证不正确
（C）归纳假设不正确 （D）从n=k到n=k+1的推理不正确
【解析】选择D；
【点评】本题主要考察学生对数学归纳法两个步骤的理解程度。
10．若 则的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）8
【解析】选择A；
。
【点评】本题主要考查了柯西不等式的使用。
11．设，且，若，则必有（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择D ；
【点评】一次使用多个均值不等式的时候，要保证每一个均值不等式的等号都能够取得到而且相互之间不矛盾。
12．若，则的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选择D；
解法一：设，则，即
再令，
即时，是的减函数，得时，；
解法二：令，所以，
，所以，，
所以，所以。
【点评】本题较为灵活，具有良好的区分度。
二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，满分16分.
13．已知，则的最小值为__________。
【解析】18
∵，∴，
∴.
【点评】本题较为新颖，考查均值不等式在指对数中的使用。
14．若，则的最小值是_____________。
【解析】
【点评】本题考查三个数的均值不等式的使用，关键在于凑出应有的项，并且
注意等号成立的条件。
15．用数学归纳法证明：当是31的倍数时，当n=1时原式为___________，从k到k+1时增添的项是__________________。
【解析】
【点评】本题考查对数学归纳法两个步骤的认识，将归纳假设与归纳递推进行对比即可得到结论。
16．若是正数，且满足，用表示
中的最大者，则的最小值为__________。
【解析】
，即
【点评】本题主要考察放缩法的使用。
三、解答题，本大题共6小题，共84分，其中第17题到第21题每题12分，第22题14分.
17．设函数；
（1）当时，求不等式的解集；
（2）如果不等式的解集为，求的值。
【解析】（Ⅰ）当时，不等式，可化为，
，所以不等式的解集为
（Ⅱ）因为，所以，，可化为，
即
因为，所以，该不等式的解集是，再由题设条件得
【点评】本题选自高考题库，主要考查含有一个绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性；解一个绝对值不等式主要分为两类问题：
第一类：，此时需判定的正负性；
第二类：，此时无须判定的正负性，直接套用公式进行求解即可；本题考察了两类不等式的解法，属于综合性较强的问题，可作为检验学生的标准。
18．已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)|x＋1|≥2|x|，即x2＋2x＋1≥4x2，解得－≤x≤1，∴解集为.
(2)存在x∈R使|x＋1|≥2|x|＋a，∴存在x∈R使|x＋1|－2|x|≥a.
令φ(x)＝|x＋1|－2|x|，a≤φ(x)max，
φ(x)＝
当x≥0时，φ(x)≤1；当－1≤x<0时，－2≤φ(x)<1；当x<－1时，φ(x)<－2.
综上可得φ(x)≤1，∴a≤1.
【点评】本题主要考查处理两个绝对值不等式的解法，主要使用零点分段法进行求解，一定要找好相应的零点。
19．（1）已知，求证：
（2）证明：
【解析】（1）证明一：
，
证明二：
证明三：
即，
（2）证明：
【点评】本题分为两个小问题，其中第一个小问题主要考查了运用综合法证明问题的能力，主要结合基本不等式的一些性质配合证明；第二个小问题主要考查了常见的放缩法，在证明的过程中，除了直接放缩外，还可以使用数学归纳法进行放缩，使得问题更加简单化。
20．（1）当a≥2时，求证：－<－.
（2）已知数列{bn}的通项公式为bn＝n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
【解析】（1）【证明】要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证a＋1＋a－2＋2
只需证<，
只需证(a＋1)(a－2)只需证－2<0，显然成立，
∴－<－
（2）证明：假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rbs>br，则只可能有2bs＝br＋bt成立．∴2·s－1＝r－1＋t－1.
两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s，
由于r【点评】问题1是含有根号的式子，应想到用平方法去根号，且在平方时应保证两边为正，同时要有利于再次平方，因此需移项，故选用分析法进行证明；问题二从证明难以入手，因此从反面考虑；一般地，当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”．
21．（1）已知
（2）求证：
【解析】（1）证明：
=16
（2）证明：
，即。
【点评】本题综合考查了柯西不等式的基本使用，在使用柯西不等式的过程中，应当注意观察好条件与结论，然后进行配凑，得到希望的结果。
22．已知数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列中，，，
证明：，．
【解析】：（Ⅰ）由题设：
，．
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
，即的通项公式为，．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当时，因，，所以，结论成立．
（ⅱ）假设当时，结论成立，即，也即．
当时，
，
又，
所以
．
也就是说，当时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．
【点评】运用数学归纳法证明不等式的问题经常会结合放缩法进行辅助，得到最后的结论；在使用放缩法的时候，一定要综合比较归纳假设的内容以及要证明的结论再进行放缩，这样可以防止使用放缩法时产生的失误。
