广东省四校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题 (Word版含答案)
文档属性
| 名称 | 广东省四校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题 (Word版含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 592.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-19 10:40:29 | ||
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文档简介
惠州一中
汕头金山中学
深圳实验学校
珠海一中
2020-2021学年度下学期期中考试
高一年级
数学试卷
一、单项选择题
1．已知向量，，且，则（
）
A．
B．2
C．
D．1
2．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在中，，点是的中点，设，，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知为正方体，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，，则的面积的最大值为（
）
A．
B．2
C．
D．3
7．已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题
9．以下是真命题的是（
）
A．已知，为非零向量，若，则与的夹角为锐角
B．已知，，为两两非共线向量，若，则
C．在三角形中，若，则三角形是等腰三角形
D．若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心
10．已知点为正方体内（含表面）的一点，过点的平面为，以下描述正确的有（
）
A．与和都平行的有且只有一个
B．过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交
C．与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个
D．过点可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等
11．已知圆锥的母线长为2，底面半径为，平面为轴截面，点为底面圆周上一动点（可与点，重合），则（
）
A．三棱锥体积的最大值为1
B．直线与所成角的范围为
C．三角形面积的最大值为
D．三角形为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为
12．若，是两个非零向量，且，，则以下可能是与的夹角的是（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则______．
14．已知，是单位向量，且，则______．
15．已知三角形的斜二侧画法的直观图是边长为2的正三角形（如图所示），则______．
16．在三棱锥中，已知平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题
17．已知，，．
（1）若，，三点共线，求与满足的关系式；
（2）若，求点的坐标．
18．如图，已知点，，，在同一平面内，且，，，，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
19．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
（可能会用到的公式：，）
20．如图，在四棱锥中，，，，，为锐角，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
21．如图，四棱锥的底面为平行四边形，是的中点，过，，的平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）求平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比．
22．如图直角坐标系内，在半径为1的上半圆上，，是以为直角的等腰直角三角形，设，且．
（1）求（用表示）；
（2）求点的坐标（用表示）；
（3）求的面积的最大值．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】BD
10．【答案】CD
11．【答案】ABD
12．【答案】ABC
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】26
16．【答案】
17．【答案】解：（1），，
因为，，三点共线，所以向量与也共线，所以，
所以与满足的关系式为．
（2）由，可得，或，
当时，有，；
当时，有，；
所以点的坐标为或．
18．【答案】解：（1）连，在中，由余弦定理可得，
，
所以，所以，所以．
（2），
，
，
所以的面积为．
19．【答案】解：（1）由题意及余弦定理可得
，
由正弦定理，
可得，
∵，，∴，∴，∴．
（2）由（1）可得
，
∵，∴，
所以．
20．【答案】解：（1）证明：在平面内过作于，
因为平面平面，又平面平面，
所以平面，
∵平面，所以，
过，分别作、于、，
易得，即，
∵，且、平面，所以平面，∵平面，
所以，因为，，
平面．
（2）二面角的平面角与二面角的平面角互补，
由（1）可得，为二面角的平面角，
在中，为与平面所成的角，由其正弦值为，
可得，因为，所以，所以，
所以二面角的余弦值为．
21．【答案】解：（1）证明：∵，所以平面，
因为平面与平面的交线为，且，所以，
因为平面，所以平面．
（2）设与交于，易得为的中点，
连，，，，
设四棱锥的体积为，
所以，
又，∴，
所以平面截四棱锥所得的下面部分几何体的体积为
，所以上面部分的体积为，
所以平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为3:5．
22．【答案】（1），，
（2）（法一）设，由余弦定理可得，，，
由正弦定理可得，，
所以，
，
点的坐标为．
（法二）假设此直角坐标系为复平面直角坐标系，
所以对应的复数为，
所以，
所以的坐标为．
（3），
所以，当时，的面积取最大值，且为．
汕头金山中学
深圳实验学校
珠海一中
2020-2021学年度下学期期中考试
高一年级
数学试卷
一、单项选择题
1．已知向量，，且，则（
）
A．
B．2
C．
D．1
2．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在中，，点是的中点，设，，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知为正方体，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，，则的面积的最大值为（
）
A．
B．2
C．
D．3
7．已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题
9．以下是真命题的是（
）
A．已知，为非零向量，若，则与的夹角为锐角
B．已知，，为两两非共线向量，若，则
C．在三角形中，若，则三角形是等腰三角形
D．若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心
10．已知点为正方体内（含表面）的一点，过点的平面为，以下描述正确的有（
）
A．与和都平行的有且只有一个
B．过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交
C．与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个
D．过点可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等
11．已知圆锥的母线长为2，底面半径为，平面为轴截面，点为底面圆周上一动点（可与点，重合），则（
）
A．三棱锥体积的最大值为1
B．直线与所成角的范围为
C．三角形面积的最大值为
D．三角形为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为
12．若，是两个非零向量，且，，则以下可能是与的夹角的是（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则______．
14．已知，是单位向量，且，则______．
15．已知三角形的斜二侧画法的直观图是边长为2的正三角形（如图所示），则______．
16．在三棱锥中，已知平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题
17．已知，，．
（1）若，，三点共线，求与满足的关系式；
（2）若，求点的坐标．
18．如图，已知点，，，在同一平面内，且，，，，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
19．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
（可能会用到的公式：，）
20．如图，在四棱锥中，，，，，为锐角，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
21．如图，四棱锥的底面为平行四边形，是的中点，过，，的平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）求平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比．
22．如图直角坐标系内，在半径为1的上半圆上，，是以为直角的等腰直角三角形，设，且．
（1）求（用表示）；
（2）求点的坐标（用表示）；
（3）求的面积的最大值．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】BD
10．【答案】CD
11．【答案】ABD
12．【答案】ABC
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】26
16．【答案】
17．【答案】解：（1），，
因为，，三点共线，所以向量与也共线，所以，
所以与满足的关系式为．
（2）由，可得，或，
当时，有，；
当时，有，；
所以点的坐标为或．
18．【答案】解：（1）连，在中，由余弦定理可得，
，
所以，所以，所以．
（2），
，
，
所以的面积为．
19．【答案】解：（1）由题意及余弦定理可得
，
由正弦定理，
可得，
∵，，∴，∴，∴．
（2）由（1）可得
，
∵，∴，
所以．
20．【答案】解：（1）证明：在平面内过作于，
因为平面平面，又平面平面，
所以平面，
∵平面，所以，
过，分别作、于、，
易得，即，
∵，且、平面，所以平面，∵平面，
所以，因为，，
平面．
（2）二面角的平面角与二面角的平面角互补，
由（1）可得，为二面角的平面角，
在中，为与平面所成的角，由其正弦值为，
可得，因为，所以，所以，
所以二面角的余弦值为．
21．【答案】解：（1）证明：∵，所以平面，
因为平面与平面的交线为，且，所以，
因为平面，所以平面．
（2）设与交于，易得为的中点，
连，，，，
设四棱锥的体积为，
所以，
又，∴，
所以平面截四棱锥所得的下面部分几何体的体积为
，所以上面部分的体积为，
所以平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为3:5．
22．【答案】（1），，
（2）（法一）设，由余弦定理可得，，，
由正弦定理可得，，
所以，
，
点的坐标为．
（法二）假设此直角坐标系为复平面直角坐标系，
所以对应的复数为，
所以，
所以的坐标为．
（3），
所以，当时，的面积取最大值，且为．
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