2021－2022-1南师附中秦淮科技高中高三年级暑期检测(一)
数学试卷
本次考试时间120分钟，满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|x2＋x＞0}，N＝{x|ln(x－1)＞0}，则
A．MN
B．MN
C．M∩N＝(1，＋)
D．M∪N＝(2，＋)
2．已知复数z满足示＝2＋i，则复数z的共轭复数为
A．1＋3i
B．1－3i
C．3－i
D．3－3i
3．若圆锥轴截面面积为2，母线与底而所成角为60°，则体积为
A．π
B．π
C．π
D．π
4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为－3，则双曲线上的点到点A(5，0)的最小距离为
A．1
B．2
C．
D．
5．已知sin(α－)＋cosα＝，则sin(2α＋)的值为
A．
B．－
C．
D．－
6．设函数f(x)＝cosx＋x2，若a＝f()，b＝f(log52)，c＝f()，则a，b，c的大小为
A．b＜a＜c
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．a＜b＜c
7．若数列{an}满足a1＝13，a－an＝n，则的最小值为
A．
B．
C．－
D．13
8．设点P为函数f(x)＝x2＋2ax与g(x)＝3a2lnx＋b(a＞0)的图像的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题中，真命题是
A．命题“x∈[0，＋)，x3＋x≥0”的否定是“x0∈[0，＋)，x03＋x0＜0”
B．x∈R，2x＞x2
C．若“x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
10．已知(2x＋)n的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是
A．二项展开式中无常数项
B．二项展开式中第3项为240x3
C．二项展开式中各项系数之和为36
D．二项展开式中第4项的二项式系数最大
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)．点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是
A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为3
C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最小距离为1
12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E、F、G分别是AB、BC、C1D1的中点，则下列说法正确的是
A．B1C⊥D1E
B．D1C∥平面GEF
C．若点P在四边形ABCD内，且D1P//平面GEF，则线段D1P长度的最小值为
D．若点Q在四边形ABCD内，且D1Q⊥B1C，则线段D1Q长度的最小值为
三、填空题(本大题共4小题，每题5分，第16题第一空2分，第二空3分，共20分)
13．用0，1，…，4五个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
．
14．已知抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，过点M(－1，4)作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足|AF|＝|AM|，设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为
．
15．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为
．
16．函数f(x)＝，若存在实数x0，使得对于任意x∈R，都有f(x0)≥f(x)，则实数a的取值范围是
；若存在不相等的x1，x2，x3，满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则实数a的取值范围是
．
四、解答题(本大题共6小题，第17题10分，第18－22题每题12分，共70分)
17．在①asinC－ccosBcosC＝bcos2C；②2ccosB＋b＝2a；③(2b－a)cosC＝ccosA
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且满足
．
(1)求sinC；
(2)已知a＋b＝5，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高h．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，等比数列{bn}的公比q＞1，且b3＋b4＋b5＝28，b4＋2是b3，b5的等差中项．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn＋}的前n项和Tn．
20．“硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿．在华为的影响下，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用x，与年销售量yi
(i＝1，2，3，…，10)的数据，得到如图所示的散点图．
(1)利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dlnx(其中a，b，c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型；(只要给出判断即可，不必说明理由)
(2)数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
根据(1)的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程，并预测投入的年研发费用28千万元时的年销售量；
(3)从这10年的数据中随机抽取3个，记年销售量超过30(千万件)的个数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据和公式：ln2≈0.69，ln7≈1.95．
对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
21．已知斜率为k的直线l与离心率为的椭圆E：(a＞b＞0)交于不同的两点A，B．当k＝0且线段AB的中点为(0，1)时，|AB|＝3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若椭圆E上存在点C使得
(O为坐标原点)，求△AOB的面积．
22．已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2．
(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若x＞0，证明：(ex－1)ln(x＋1)＞x2．2021－2022-1南师附中秦淮科技高中高三年级暑期检测(一)
数学试卷
本次考试时间120分钟，满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|x2＋x＞0}，N＝{x|ln(x－1)＞0}，则
A．MN
B．MN
C．M∩N＝(1，＋)
D．M∪N＝(2，＋)
【答案】A
【考点】集合的综合运算
【解析】由题意可知，M＝{x|x＜－1或x＞0}，N＝{x|
x＞2}，则MN，故答案选A．
2．已知复数z满足示＝2＋i，则复数z的共轭复数为
A．1＋3i
B．1－3i
C．3－i
D．3－3i
【答案】B
【考点】复数的运算、共轭复数
【解析】由题意可知，z＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋i＋2i＝1＋3i，则其共轭复数为1－3i，故答案选B．
3．若圆锥轴截面面积为2，母线与底而所成角为60°，则体积为
A．π
B．π
C．π
D．π
【答案】D
【考点】圆锥体积的计算
【解析】由题意可设圆锥底面的半径为r，由已知×2r×r＝2，解得r＝，所以圆锥体积V＝πr2×r＝π，故答案选D．
4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为－3，则双曲线上的点到点A(5，0)的最小距离为
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质应用
【解析】由题意可知，＝，且c－a＝－3，解得c＝，a＝3，则b2＝c2－a2＝10－9＝1，可设P(x，y)是双曲线上的一点，则|AP|＝，又y2＝－1，所以AP|＝＝，又|x|≥3，所以当x＝时，|AP|min＝＝，故答案选C．
5．已知sin(α－)＋cosα＝，则sin(2α＋)的值为
A．
B．－
C．
D．－
【答案】D
【考点】三角恒等变换
【解析】由题意可知，已知条件可化为sinα－cosα＋cosα＝，即sin(α＋)＝，令t＝α＋，则sint＝，所以sin(2α＋)＝sin(2t－)＝－cos2t＝2sin2t－1＝－，故答案选D．
6．设函数f(x)＝cosx＋x2，若a＝f()，b＝f(log52)，c＝f()，则a，b，c的大小为
A．b＜a＜c
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．a＜b＜c
【答案】A
【考点】函数的性质综合应用
【解析】由题意可知，f(－x)＝cos(－x)＋(－x)2＝cosx＋x2＝f(x)，所以函数为偶函数，又f′(x)＝－sinx＋x，当x∈(0，)时，f′(x)＞0，即f(x)在(0，)上单调递增，a＝f()＝f(－log32)＝f(log32)，则易判断log52＜log32＜1，1＝e0＜＜＝，所以由单调性可得b＜a＜c，故答案选A．
7．若数列{an}满足a1＝13，a－an＝n，则的最小值为
A．
B．
C．－
D．13
【答案】A
【考点】利用数列的累加法求通项公式并求最值问题
【解析】由题意可知，an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－a)＝13＋1＋2＋…＋(n－1)＝13＋n(n－1)，则＝n＋－，而n＋≥2＝，当且仅当n＝N
，又n＝5时，n＋－＝×5＋－＝；n＝6时，n＋－＝×6＋－＝＞，故答案选A．
8．设点P为函数f(x)＝x2＋2ax与g(x)＝3a2lnx＋b(a＞0)的图像的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【考点】导数的几何意义、曲线的公切线问题
【解析】由题意可设由于点P为切点，则x02＋2ax0，又点P的切线相同，则f′(x0)＝g′(x0)，即，即，又a＞0，x0＞0，所以x0＝a，于是＞0)，设h(x)＝(x＞0)，则h′(x)＝2x(1－3lnx)(x＞0)，所以h(x)在)上单调递增，在上单调递减，所以b的最大值为，故答案选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题中，真命题是
A．命题“x∈[0，＋)，x3＋x≥0”的否定是“x0∈[0，＋)，x03＋x0＜0”
B．x∈R，2x＞x2
C．若“x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
【答案】ACD
【考点】命题的否定、条件的判断、利用命题求参数等应用
【解析】由题意可知，对于选项A，命题“x∈[0，＋)，x3＋x≥0”的否定是“x0∈[0，＋)，x03＋x0＜0”，所以选项A正确；对于选项B，当x＝2时，2x＝x2，则选项B错误；对于选项C，x∈[0，]，tanx≤tan＝1，所以m的最小值为1，所以选项C正确；对于选项D，a＞1，b＞1
ab＞1，所以选项D正确；综上，答案选ACD．
10．已知(2x＋)n的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是
A．二项展开式中无常数项
B．二项展开式中第3项为240x3
C．二项展开式中各项系数之和为36
D．二项展开式中第4项的二项式系数最大
【答案】BCD
【考点】二项式定理展开式的应用
【解析】由题意可知，2n＝64，解得n＝6，所以二项展开式的通式为T＝(2x)()r＝2
x，对于选项A，当6－r＝0时，解得r＝4，所以展开式的第5项为常数项，所以选项A错误；对于选项B，二项展开式中第3项为T3＝2
x＝240x3，所以选项B正确；对于选项C，令x＝1，则(2＋1)6＝36，即二项展开式中各项系数之和为36，所以选项C正确；对于选项D，n＝6，则二项展开式中第4项的二项式系数最大，所以选项D正确；综上，答案选BCD．
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)．点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是
A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为3
C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最小距离为1
【答案】ABD
【考点】直线与圆的综合应用
【解析】由题意可设点P(x，y)，由A(－2，0)，B(4，0)，＝，得＝，化简得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，所以选项A正确；对于选项B，曲线C的方程表示圆心为(－4，0)，半径为4的圆，点(1，1)与圆心的距离为＝，与圆上的点的距离的最小值为－4，最大值为＋4，而3∈[－4，＋4]，所以选项B正确；对于选项C，设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|，得＝2，又(x0＋4)2＋y02＝16，联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，所以选项C错误；对于选项D，C的圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离为d＝＝5，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线3x－4y－13＝0的最小距离d－r＝5－4＝1故选项D正确；综上，答案选ABD．
12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E、F、G分别是AB、BC、C1D1的中点，则下列说法正确的是
A．B1C⊥D1E
B．D1C∥平面GEF
C．若点P在四边形ABCD内，且D1P//平面GEF，则线段D1P长度的最小值为
D．若点Q在四边形ABCD内，且D1Q⊥B1C，则线段D1Q长度的最小值为
【答案】ABD
【考点】立体几何中的综合应用：位置关系判断、线段长度的最值
【解析】由题意，连结AC，D1A，BC1，因为B1C⊥BC1，B1C⊥AB，所以B1C⊥面ABC1D1，又因为D1E面ABC1D1，所以B1C⊥D1E，所以选项A正确；又因为EF∥AC，AD1∥GE，∴面AD1C∥面GEF，又因为D1C?面AD1C，所以D1C∥面GEF，所以选项B正确；若P在平面ABCD内，且D1P∥面GEF，则P的轨迹是直线AC，此D1P的最小值为时，在△D1AC中，AC＝2，因为，所以D1P＝AD1sin∠D1AC＝，所以选项C错误；因为B1C⊥面ABC1D1，且D1Q⊥B1C，所以点Q的轨迹是直线AB，所以D1Q的最小值为D1Q⊥AB时，即Q与A重合，此时，，所以选D项正确；综上，答案选ABD．
三、填空题(本大题共4小题，每题5分，第16题第一空2分，第二空3分，共20分)
13．用0，1，…，4五个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
．
【答案】100
【考点】排列组合
【解析】由题意可知，百位上可为1－4，4个数字，十位与个位均可以为5个数字，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为4×5×5＝100．
14．已知抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，过点M(－1，4)作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足|AF|＝|AM|，设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为
．
【答案】－1
【考点】圆锥曲线中抛物线的几何性质应用
【解析】由题意可知，因为|AF|＝|AM|，所以点M在准线上，又因为准线方程为，所以，即p＝2，所以抛物线C的方程为，因为点M坐标为(－1，4)，所以A(4，4)，故直线AB方程为，联立得y2－3y－4＝0，解得y＝4(舍)或y＝－1，故点B纵坐标为－1．
15．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为
．
【答案】
【考点】平面向量的数量积运算
【解析】由题意，⊥，可知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×(－)－λ×9＋4＝0，解得λ＝．
16．函数f(x)＝，若存在实数x0，使得对于任意x∈R，都有f(x0)≥f(x)，则实数a的取值范围是
；若存在不相等的x1，x2，x3，满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则实数a的取值范围是
．
【答案】(－，]；
【考点】分段函数的最值、零点问题
【解析】①由题意可知，f(x)＝，则f′(x)＝，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＝1时，函数f(x)取得最大值为f(1)＝，如图，画出函数的图象，根据题意可得函数的最大值，将x＝a平移可得，当a≤时，f(x)的最大值为f(1)＝，所以a的取值范围为(－，]；(0，1)
②用一条平行于x轴的直线，截图象，有3个交点时，存在x1，x2，x3，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，当a∈(1，＋∞)时，如图，最多有2个交点，所以不成立；
当a∈(0，1)时，如图，存在3个交点，
所以a的取值范围是(0，1)．
四、解答题(本大题共6小题，第17题10分，第18－22题每题12分，共70分)
17．在①asinC－ccosBcosC＝bcos2C；②2ccosB＋b＝2a；③(2b－a)cosC＝ccosA
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且满足
．
(1)求sinC；
(2)已知a＋b＝5，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高h．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用
【解析】
选择条件①：
(1)因为asinC－ccosBcosC＝bcos2C，
所以由正弦定理得，，
即，
故．
又A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以，所以．
由C∈(0，π)，可得．
所以sinC＝sin＝．
(2)由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，解得ab＝3．
于是得△ABC的面积为S，
所以h＝＝＝．
选择条件②：
(1)因为2ccosB＋b＝2a，
由正弦定理得2sinCcosB＋sinB＝2sinA，
即2sinCcosB＋sinB＝2sin(B＋C)＝2sinBcosC＋2cosBsinC，于是sinB(1－2cosC)＝0
在△ABC中，sinB≠0，所以cosC＝，
由C∈(0，π)，可得．
所以sinC＝sin＝．
(2)由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，解得ab＝3．
于是得△ABC的面积为S，
所以h＝＝＝．
选择条件③：
(1)因为(2b－a)cosC＝ccosA，
所以由正弦定理得，(2sinB－sinA)cosC＝sinCcosA，
所以2sinBcosC＝sin(A＋C)＝sinB，
因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，
所以cosC＝，
由C∈(0，π)，可得．
所以sinC＝sin＝．
(2)由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，解得ab＝3．
于是得△ABC的面积为S，
所以h＝＝＝．
18．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，等比数列{bn}的公比q＞1，且b3＋b4＋b5＝28，b4＋2是b3，b5的等差中项．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn＋}的前n项和Tn．
【考点】数列的通项公式、求和
【解析】
∵Sn＝n2＋n，∴当n≥2时，，又n＝1时，满足上式，，
∵b3＋b4＋b5＝28，b3＋b5＝2(b4＋2)，∴b4＝8，b3＋b5＝20，
又∵b3b5＝b42，q＞1，解得b3＝4，b5＝16，；
(2)∵bn＋＝＋，
19．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．
(1)证明：DE∥平面C1BA1：
(2)F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F－BA1－A的正弦值．
【考点】立体几何的位置关系证明、利用线面角求二面角的正弦值
【解析】
(1)证明：连接AB1交A1B于O，连接EO，OC1，
∵OA＝OB1，AE＝EB，
．
又∵，
，因此，四边形为平行四边形，
即ED∥OC1．
∵OC1面C1BA1，ED面C1BA1，
∴DE∥平面．
(II)解：建立空间直角坐标系B－xyz如图，过F作FH⊥BB1，连接AH，
∵BB1⊥面ABC，AB面ABC，
∴AB⊥BB1，
∵AB⊥BC，BC∩BB1＝B，
∴AB⊥面CBB1C1，
∵AB面BAA1B1，∴面BAA1B1⊥面CBB1C1，
∵FH面CBB1C1，FH⊥BB1，面BAA1B1∩面CBB1C1＝BB1，FH⊥面BAA1B1，
即∠FAH为直线AF与平面BAA1B1所成的角，记为θ，则，∴AF＝3，
在Rt△ACF中，AF2＝9．
∴CF＝2，F(0，2，1)，A1(2，3，0)，＝(0，2，1)，＝(2，3，0)，
设平面BA1F的法向量m＝(x，y，z)，
取y＝2，则m＝(－3，2，－4)，
又因为平面BAA1的法向量n＝(0，0，1)，
所以|cos|＝＝，
因此，二面角F－BA1－A的余弦值．
20．“硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿．在华为的影响下，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用x，与年销售量yi
(i＝1，2，3，…，10)的数据，得到如图所示的散点图．
(1)利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dlnx(其中a，b，c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型；(只要给出判断即可，不必说明理由)
(2)数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
(
yi－)
(
yi－)
9.4
29.7
2
366
5.5
439.2
55
其中令wi＝lnxi，＝．
根据(1)的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程，并预测投入的年研发费用28千万元时的年销售量；
(3)从这10年的数据中随机抽取3个，记年销售量超过30(千万件)的个数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据和公式：ln2≈0.69，ln7≈1.95．
对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝－．
【考点】线性回归分析应用、随机事件的概率及分布列
【解析】
(1)由散点图知，选择回归类型，y＝c＋dlnx更适合．
(2)令w＝lnx．先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝10，
＝－＝29.7－10×2＝9.7，
所以y关于w的线性回归方程为：＝9.7－10w，
因此y关于x的回归方程为少＝9.7＋10lnx．
当年研发费用28千万元，即x＝28时，
年销售量y的预报值y＝9.7＋10ln28＝9.7＋10×(2ln2＋ln7)≈43(干万件)
．
(3)由散点图可知这10年的数据中，年销售量超过30(千万件)的个数有4个，所以X的取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝．
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴E(x)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
21．已知斜率为k的直线l与离心率为的椭圆E：(a＞b＞0)交于不同的两点A，B．当k＝0且线段AB的中点为(0，1)时，|AB|＝3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若椭圆E上存在点C使得
(O为坐标原点)，求△AOB的面积．
【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系：求面积
【解析】
(1)由题意可知，＝，且B(，1)，所以有＋＝1，且9c2＝5a2＝9(a2－b2)，
联立解得a2＝9，b2＝4，所以椭圆E的方程为．
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，．
由得(＝0．
其中＝＝144(9k2＋4－m2)＞0，即9k2＋4＞m2．
由韦达定理得，x1x2＝．
∵＋＋＝0，∴x3＝－(x1＋x2)＝，．
在椭圆E上，
∴＋＝＋＝＝1，
∵原点O到直线l的距离，
22．已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2．
(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若x＞0，证明：(ex－1)ln(x＋1)＞x2．
【考点】函数与导数：单调区间求解、恒成立问题、构造新函数证明不等式
【解析】
(1)由题意可知，当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，x∈R，
则f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，则x＝0，当x＞0时，f′(x)＞0；当x＜0时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－，0]上单调递减，在[0，＋)上单调递增．
(2)由条件得f′(x)＝ex－1－2ax，
令h(x)＝ex－1－2ax，则h′(x)＝ex－2a，
①当2a≤1，即a≤时，在[0，＋∞]上，h'(x)≥0，即h(x)单调递增，
所以h(x)≥h(0)，即f′(x)≥f′(0)＝0，
∴f(x)在[0，＋∞]上为增函数，∴f(x)≥f(0)＝0，
时满足条件．
②当2a≥1时，令h'(x)＝0，
解得x＝ln2a，在[0，ln2a]上，h'(x)＜0，h(x)单调递减，
∴当x∈(0，ln2a)时，有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜f′(0)＝0，则f(x)在(0，ln2a)上为减函数，∴f(x)＜f(0)＝0，不合题意．
综上，实数a的取值范围为．
(3)由(2)得，当a＝且x＞0时，ex＞1＋x＋，即ex－1＞x＋＝，
要证不等式(ex－1)ln(x＋1)＞x2，只需证明ex－1＞，
只需证明＞，只需证ln(x＋1)＞，
设F(x)＝ln(x＋1)－(x＞0)，则F′(x)＝－＝(x＞0)，
所以当x＞0时，F′(x)＞0恒成立，故F(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又F(0)＝0．∴F(x)＞0恒成立，∴原不等式成立．
