江苏省苏州市高中2020-2021学年高二下学期7月暑期自主学习质量评估数学试题 （Word版，含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省苏州市高中2020-2021学年高二下学期7月暑期自主学习质量评估数学试题 （Word版，含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 973.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-19 16:55:21 | ||
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文档简介
苏州市高中2020-2021学年暑期自主学习质量评估
高二数学2021.7.31，13：00-15：00
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知集合，，若，则实数的值为（
）
A.
B.0
C.1
D.2
2.若复数满足，则的实部为（
）
A.1
B.
C.2
D.
3.已知函数关于直线对称，且周期为2，当时，，则
A.0
B.
C.
D.1
4.双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（
）
A.2或12
B.2或18
C.18
D.2
5.设等差数列的前项和为，首项，公差，，则最大时，的值为（
）
A.11
B.10
C.9
D.8
6.将函数（）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
7.直线关于直线对称的直线方程为
A.
B.
C.
D.
8.若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9.，下列不等式中成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
10.对于任意向量，，，下列命题正确的是（
）
A.若，，则
B.若，则
C.若，，则
D.若，则
11.下列叙述正确的是（
）
A.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强
B.在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，预报变量平均减少0.2个单位
C.若的斜率，则变量与正相关
D.某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中利用分层抽样抽取20名调查，则男教师应抽取12名
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量$X$所有可能的取值为1，2，…，，且（），，定义的信息熵（
）
A.若，则
B.若，则随着的增大而增大
C.若（），则随着的增大而增大
D.若，随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，（）则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，则______.
14.分别从集合和集合中各取一个数，则这两个数之和为偶数的概率为______.
15.已知函数若，则______；若关于的方程有两个不同零点，则实数的取值范围是______.
16.椭圆的离心率是，斜率为1的直线过且与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，则椭圆的标准方程是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.在中，角，，，的对边分别为，，，已知______（只需序号），.（1）求.
（2）为边上一点，，，求的面积.
18.如图，在直三棱柱中，为直角，，，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若异面直线与所成的角的正弦值是，求三棱锥的体积.
19.已知数列是等差数列，设（）为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，
（1）求数列和的通项公式；
（2）若求数列的前项和.
20.某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将满意度分为四个等级：
调查评分
满意度等级
不满意
一般
良好
满意
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的顾客为400人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）据以往数据统计，调查评分在的顾客购买该公司新品的概率为，调查评分在的顾客购买该公司新品的概率为，若每个顾客是否购买该公司新品相互独立，在抽取的满意度等级为“一般”的顾客中，按照调查评分分层抽取3人试问在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为多少？
（3）该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由.（每组数据以区间的中点值代替）
21.已知椭圆（）的左、右焦点分别是，，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上的一点，，是椭圆上的两动点，且直线，关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值.
22、已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数在处的切线方程.
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
苏州市高中2020-2021学年暑期自主学习质量评估
高二数学答案
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.C
2.B
3.B
4.C
解：由双曲线定义可知：
解得，（舍）∴点到的距离为18，故选C.
5.B
解析：，∵，，，∴，∴，，则最大时，的值为10.故选B.
6.D
解：，（）.
将函数在原点的切线的斜率，
.
由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角大于时，旋转所得的图象与垂直于轴的直线就有两个交点，曲线都不是一个函数的图象，故的最大值是.故选：D.
7.D解析：设直线与直线的交点为
由题意可知解得即.
取直线上点，设点关于直线的对称点为，则直线垂直平分线段，
即解得所以点
直线方程为，即，故选D.
8.B解：设，，
由题意可得在直线下方，
，
恒过定点，设直线与曲线相切于，可得，，消去，可得，解得（舍去）或，则切线的斜率为，解得，又由题设原不等式无整数解，由图象可得当时，，由，可得，由直线绕着点旋转，可得，故选：B.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9.AC
解：由，可得，故A正确；由，可得，故B错误；由可得，故，，故C正确，D错误.故选：AC.
10.CD解：若，，则，如果，则，，可以是任意向量，所以A不正确；若，则，显然不正确，反例：，则，，可以是任意向量，所以B不正确.若，，则，显然正确，C正确；
若，如果，都是非零向量，说明以、为邻边的平行四边形是矩形，则，如果用零向量，也满足，所以D正确；故选：CD.
11.BCD
解：A，线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，所以A不正确；
B，在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，预报变量平均减少0.2个单位，所以B正确；
C，若的斜率，则变量与正相关，满足回归直线的性质，所以C正确；
D，总体是由差异比较明显的男教师和女教师两部分组成，男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中利用分层抽样抽取20名调查，则男教师应抽取12名.所以D正确.
故选：BCD.
12.AC
解：A选项中，由题意知，此时，故A正确；
B选项中，由题意知，且，
设，
则，当时，，
当时，，故当时，随着的增大而增大，
当时，随着的增大而减小，故B错误；
C选项中，由题意知，
故随着的增大而增大，故C正确.
D选项中，由题意知，
，
，故D错误，
故答案为AC.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.
解：∵，∴，
∴，∴.
故答案为.
14.
解：从集合和集合中各取一个数，基本事件共有个，∵两数之和为偶数，∴两数中全是偶数或全是奇数，故基本事件有1与5，3与5，2与4，2与6，共有4个，∴两数之和为偶数的概率是，故答案为.
15.
解析：解方程，得①②
解①无解，解②得.
关于的方程有两个不同零点等价于的图象与直线有两个不同交点，观察图象可知：当时的图象与直线有两个不同交点，即.
16.
解：由题意，，可得，
所以椭圆的方程为：，由题意可得直线的方程为：，
联立，解得或，
所以设，，，
，
所以，
因为，
所以，所以，
所以椭圆的方程是为：.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解：（1）若选条件①，则答案为：
在中，由正弦定理得，
∵，∴，∴，
又，∴，
由题意知，∴，…………4分
若选条件②，则答案为：
∵，
∴，
∴，
由正弦定理得：
又，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴…………4分
（2）如图，在中，设，
∵，
∴在中，.…………6分
∴，
又在中，，，，，
∴，∴，
∴，
∴.…………10分
18.（1）证明：因为为直角，所以，又因为在直三棱柱中，平面，平面，所以，，平面，平面，所以平面，，因为平面，所以，又因为是的中点，，，所以，即，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；……6分
（2）解：因为，所以是异面直线与所成的角或补角，又因为是直角，，异面直线与所成的角的正弦值是，所以，
因为点到平面的距离等于点到平面的距离，所以
，所以三棱锥的体积为4.…………12分
19.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则由得，解得或（舍），
所以，…………2分
，…………4分
（Ⅱ），，得，则…………6分
即
.…………12分
20.解：（1）由频率分布直方得，，
解得，……2分
因为调查评分在的顾客为400人，且评分在的频率为，
所以；…………4分
（2）调查评分在的人数与评分在的人数之比为，
因为按照调查评分分层抽取3人，所以评分在的人数为1，评分在的人数为2，没有一人购买该公司新品的概率为，
故在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为；…………8分
（3）由频率分布直方图可得，顾客满意度评分的均值为：
，
由题意可知，不需要对该公司旗下产品进行调整…………12分
21.（1）解：由已知得，
又，所以，
所以.
所以椭圆的方程为.…………4分
（2）证明：已知点，当直线斜率不存在时显然不满足题意，
所以直线斜率存在，
设直线，即，
由于直线，关于直线对称，
则直线，
设，，
联立
得，…………6分
（方程有一解是），同理，…………8分
则
，
所以直线的斜率为定值…………12分
22.解：（1）因为，，所以，
又，所以，即.…………3分
（2）（ⅰ）由，得对恒成立，
即对恒成立，即对恒成立，
设即对恒成立，
①当时，对恒成立，…………5分
②当时，，在上为增函数，
当时，，
，不合题意；…………8分
③当，设在上为增函数，
又，，
所以使即，
所以，当时，，，为减函数，
当时，，，为增函数，
则当时，
，
所以，
因为，所以，…………11分
综上.…………12分
高二数学2021.7.31，13：00-15：00
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知集合，，若，则实数的值为（
）
A.
B.0
C.1
D.2
2.若复数满足，则的实部为（
）
A.1
B.
C.2
D.
3.已知函数关于直线对称，且周期为2，当时，，则
A.0
B.
C.
D.1
4.双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（
）
A.2或12
B.2或18
C.18
D.2
5.设等差数列的前项和为，首项，公差，，则最大时，的值为（
）
A.11
B.10
C.9
D.8
6.将函数（）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
7.直线关于直线对称的直线方程为
A.
B.
C.
D.
8.若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9.，下列不等式中成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
10.对于任意向量，，，下列命题正确的是（
）
A.若，，则
B.若，则
C.若，，则
D.若，则
11.下列叙述正确的是（
）
A.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强
B.在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，预报变量平均减少0.2个单位
C.若的斜率，则变量与正相关
D.某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中利用分层抽样抽取20名调查，则男教师应抽取12名
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量$X$所有可能的取值为1，2，…，，且（），，定义的信息熵（
）
A.若，则
B.若，则随着的增大而增大
C.若（），则随着的增大而增大
D.若，随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，（）则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，则______.
14.分别从集合和集合中各取一个数，则这两个数之和为偶数的概率为______.
15.已知函数若，则______；若关于的方程有两个不同零点，则实数的取值范围是______.
16.椭圆的离心率是，斜率为1的直线过且与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，则椭圆的标准方程是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.在中，角，，，的对边分别为，，，已知______（只需序号），.（1）求.
（2）为边上一点，，，求的面积.
18.如图，在直三棱柱中，为直角，，，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若异面直线与所成的角的正弦值是，求三棱锥的体积.
19.已知数列是等差数列，设（）为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，
（1）求数列和的通项公式；
（2）若求数列的前项和.
20.某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将满意度分为四个等级：
调查评分
满意度等级
不满意
一般
良好
满意
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的顾客为400人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）据以往数据统计，调查评分在的顾客购买该公司新品的概率为，调查评分在的顾客购买该公司新品的概率为，若每个顾客是否购买该公司新品相互独立，在抽取的满意度等级为“一般”的顾客中，按照调查评分分层抽取3人试问在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为多少？
（3）该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由.（每组数据以区间的中点值代替）
21.已知椭圆（）的左、右焦点分别是，，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上的一点，，是椭圆上的两动点，且直线，关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值.
22、已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数在处的切线方程.
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
苏州市高中2020-2021学年暑期自主学习质量评估
高二数学答案
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.C
2.B
3.B
4.C
解：由双曲线定义可知：
解得，（舍）∴点到的距离为18，故选C.
5.B
解析：，∵，，，∴，∴，，则最大时，的值为10.故选B.
6.D
解：，（）.
将函数在原点的切线的斜率，
.
由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角大于时，旋转所得的图象与垂直于轴的直线就有两个交点，曲线都不是一个函数的图象，故的最大值是.故选：D.
7.D解析：设直线与直线的交点为
由题意可知解得即.
取直线上点，设点关于直线的对称点为，则直线垂直平分线段，
即解得所以点
直线方程为，即，故选D.
8.B解：设，，
由题意可得在直线下方，
，
恒过定点，设直线与曲线相切于，可得，，消去，可得，解得（舍去）或，则切线的斜率为，解得，又由题设原不等式无整数解，由图象可得当时，，由，可得，由直线绕着点旋转，可得，故选：B.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9.AC
解：由，可得，故A正确；由，可得，故B错误；由可得，故，，故C正确，D错误.故选：AC.
10.CD解：若，，则，如果，则，，可以是任意向量，所以A不正确；若，则，显然不正确，反例：，则，，可以是任意向量，所以B不正确.若，，则，显然正确，C正确；
若，如果，都是非零向量，说明以、为邻边的平行四边形是矩形，则，如果用零向量，也满足，所以D正确；故选：CD.
11.BCD
解：A，线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，所以A不正确；
B，在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，预报变量平均减少0.2个单位，所以B正确；
C，若的斜率，则变量与正相关，满足回归直线的性质，所以C正确；
D，总体是由差异比较明显的男教师和女教师两部分组成，男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中利用分层抽样抽取20名调查，则男教师应抽取12名.所以D正确.
故选：BCD.
12.AC
解：A选项中，由题意知，此时，故A正确；
B选项中，由题意知，且，
设，
则，当时，，
当时，，故当时，随着的增大而增大，
当时，随着的增大而减小，故B错误；
C选项中，由题意知，
故随着的增大而增大，故C正确.
D选项中，由题意知，
，
，故D错误，
故答案为AC.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.
解：∵，∴，
∴，∴.
故答案为.
14.
解：从集合和集合中各取一个数，基本事件共有个，∵两数之和为偶数，∴两数中全是偶数或全是奇数，故基本事件有1与5，3与5，2与4，2与6，共有4个，∴两数之和为偶数的概率是，故答案为.
15.
解析：解方程，得①②
解①无解，解②得.
关于的方程有两个不同零点等价于的图象与直线有两个不同交点，观察图象可知：当时的图象与直线有两个不同交点，即.
16.
解：由题意，，可得，
所以椭圆的方程为：，由题意可得直线的方程为：，
联立，解得或，
所以设，，，
，
所以，
因为，
所以，所以，
所以椭圆的方程是为：.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解：（1）若选条件①，则答案为：
在中，由正弦定理得，
∵，∴，∴，
又，∴，
由题意知，∴，…………4分
若选条件②，则答案为：
∵，
∴，
∴，
由正弦定理得：
又，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴…………4分
（2）如图，在中，设，
∵，
∴在中，.…………6分
∴，
又在中，，，，，
∴，∴，
∴，
∴.…………10分
18.（1）证明：因为为直角，所以，又因为在直三棱柱中，平面，平面，所以，，平面，平面，所以平面，，因为平面，所以，又因为是的中点，，，所以，即，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；……6分
（2）解：因为，所以是异面直线与所成的角或补角，又因为是直角，，异面直线与所成的角的正弦值是，所以，
因为点到平面的距离等于点到平面的距离，所以
，所以三棱锥的体积为4.…………12分
19.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则由得，解得或（舍），
所以，…………2分
，…………4分
（Ⅱ），，得，则…………6分
即
.…………12分
20.解：（1）由频率分布直方得，，
解得，……2分
因为调查评分在的顾客为400人，且评分在的频率为，
所以；…………4分
（2）调查评分在的人数与评分在的人数之比为，
因为按照调查评分分层抽取3人，所以评分在的人数为1，评分在的人数为2，没有一人购买该公司新品的概率为，
故在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为；…………8分
（3）由频率分布直方图可得，顾客满意度评分的均值为：
，
由题意可知，不需要对该公司旗下产品进行调整…………12分
21.（1）解：由已知得，
又，所以，
所以.
所以椭圆的方程为.…………4分
（2）证明：已知点，当直线斜率不存在时显然不满足题意，
所以直线斜率存在，
设直线，即，
由于直线，关于直线对称，
则直线，
设，，
联立
得，…………6分
（方程有一解是），同理，…………8分
则
，
所以直线的斜率为定值…………12分
22.解：（1）因为，，所以，
又，所以，即.…………3分
（2）（ⅰ）由，得对恒成立，
即对恒成立，即对恒成立，
设即对恒成立，
①当时，对恒成立，…………5分
②当时，，在上为增函数，
当时，，
，不合题意；…………8分
③当，设在上为增函数，
又，，
所以使即，
所以，当时，，，为减函数，
当时，，，为增函数，
则当时，
，
所以，
因为，所以，…………11分
综上.…………12分
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